吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

高一数学9月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图中阴影部分所表示的集合是（　　） A. B. （A∪B）∪（B∪C） C. （A∪C）∩（∁UB） D. 7. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 设S为实数集的非空子集.若对任意，都有，，，则称S为封闭集.下列命题是真命题的是（ ） A. 集合为封闭集 B. 若S为封闭集，则一定有 C. 封闭集一定是无限集 D. 若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________． 13. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______. 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集,集合,集合为小于6的质数. （1）求; （2）求. 16. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 17. 集合，． （1）若，，求实数的值； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． （3）阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）若，求关于的不等式的解集． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（是点的“上位点”同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． DDCBC ABC 9ABC 10AD 11AB 12 7 13 或 14 5 15 【小问1详解】 由得或 所以 又,所以 【小问2详解】 ,所以 所以 16 试题解析： （1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1， ∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2， ∴a的值为﹣2； （2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0， ∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣， ∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}． 17【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以， 【小问2详解】 因为是的必要条件， 所以，又，， 所以，， 所以， 所以的取值范围为， 【小问3详解】 由三角形性质可得，，，结合结论①证明， ，，再利用结论②完成证明. 18【小问1详解】 因为不等式的解集是， 所以是方程的两个实数根，且， 将代入方程中得：， 则原不等式为：， 即， 所以不等式的解集为， 从而得出， 所以. 【小问2详解】 由不等式得：， 因为，所以不等式变形得到：， 所以对应方程的根为：或， ①当时，即，不等式为， 此时不等式解集为：； ②当时，即， 此时不等式解集为：或； ③当时，即， 此时不等式解集为：或； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：或； 当时，不等式解集为：或. 19【小问1详解】 由， 根据题意的定义可得点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为和． 【小问2详解】 是，证明如下： 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； 【小问3详解】 由题意对任意，都成立， 所以，所以，即 即总存在正整数，使不等式成立， 则对任意，都成立， 所以，即对任意，为正整数恒成立， 所以，所以 所以正整数的最小值为4051. 学科网（北京）股份有限公司 $