专题06 有理数的乘方 同步培优讲义（重点知识梳理+14大核心题型+分层练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题06有理数的乘方同步培优讲义 ✺知识框架 本节依托有理数乘法展开，内容分为四个部分： 1.乘方的相关概念，识别底数、指数、幂； 2.乘方符号法则，进行乘方运算； 3.含有乘方的有理数混合运算； 4.科学记数法与近似数。 核心思路：乘方的本质是多个相同因数相乘，运算时先判定符号，再计算绝对值。 ✺知识梳理 知识点一、有理数的乘方 1.乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果称为幂。 在乘方表达式中，a为底数（参与相乘的相同因数），n为指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：，底数是2，指数是3，表示3个2相乘，即=2×2×2=8。 2.有理数乘方的符号法则 （1）正数的任何正整数次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 速记口诀：正数幂恒正，负数偶正奇负，零的正次幂恒零。 3.特殊有理数的乘方性质 （1）1的任意正整数次幂都等于1； （2）-1的偶次幂为1，-1的奇次幂为-1； （3）0的任意正整数次幂都等于0。 4.重点概念辨析 严格区分与(-a)n的运算意义。 底数为a，表示a的n次方的相反数； (-a)n底数为-a，表示n个-a连续相乘。 ▲二者底数、运算逻辑完全不同，计算结果存在明显差异，是本节最易混淆的考点。 示例：-=-9，=9，二者意义与结果完全不同。 ★注意：任意非零数均可看作自身的一次方，指数1通常省略不写，属于数学规范写法。 知识点二、有理数混合运算 1.运算顺序 ◆先算乘方，再算乘除，最后算加减； ◆同级运算从左至右依次进行； ◆含有括号时，优先计算括号内运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序由内向外逐层计算。 2.核心运算原则 分级运算：数学规定乘方为三级运算、乘除为二级运算、加减为一级运算，运算时优先计算高级运算； 同级运算：只有加减或只有乘除时，严格从左往右依次计算，杜绝随意跳步运算； 括号优先：所有括号内运算优先完成，多层括号由内向外逐层计算。 3.简便运算原则与技巧 在严格遵守运算顺序的前提下，可合理运用运算律重组算式，简化计算、减少失误： （1）加法：结合互为相反数、同分母、可凑整的数优先计算； （2）乘法：巧用交换律、结合律约分凑整，运用乘法分配律展开简化多步运算； （3）同级运算可灵活组合凑整约分，避免机械顺序计算。 知识点三、科学记数法 定义：把大数写成a×的形式（1≤|a| < 10，n为正整数）。 示例：56000000=5.6× 对于小于-10的数也可以类似表示。例如：﹣56000000=﹣5.6× ▲科学记数法的形式a×中a和n的确定方法 ◆将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值. ◆确定n有两种方法： ① 数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几； ② 数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值。 知识点四、近似数与精确度 1.准确数和近似数 准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数. 例如：三班共50人，小明养了3条金鱼，“50”、“3”都是准确数。 近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。 例如：π取3.14，体重约56kg，这里“3.14”和“56”都是近似数。 精确度：四舍五入到哪一位，就称近似数精确到哪一位。 示例：3.1（精确到十分位），3.14（精确到百分位）。 易错点梳理 易错点1：混淆和﹣。误区：认为两个式子结果相等。正解：的底数是-a；﹣的底数是a，代表an的相反数。 易错点2：底数是负数或分数时遗漏括号。误区：将写为﹣。正解：负数、分数作为底数时，必须添加括号。 易错点3：乘方混合运算顺序出错。误区：优先计算乘除，再算乘方。正解：混合运算中，乘方运算优先级最高。 易错点4：科学记数法中a的取值范围出错。误区：a≥10或a<1。正解：1≤a<10。 易错点5：近似数精确度判断错误。误区：仅观察末尾数字，忽略数位，认为2.40与2.4精确度相同。正解：由最后一位有效数字所在的数位确定精确度。 速记口诀 乘方：乘方源自连乘算，底数指数仔细辨；正数任意次为正，负数偶正奇为负；0 的正次幂是 0。 混合运算：先乘方，后乘除，最后算加减；遇括号，先内算，小中大依次计算。 科学记数法：大数写成a乘10的n次方，a介于1到10之间；n等于整数位数减一。 近似数：判断近似数精确度，观察末位所在数位。 ✺题型精讲 题型1.有理数幂的概念理解 1．若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是的倍， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键． 2． 的底数是____指数是____表示_________． 【答案】 2 3 2的3次方的相反数/的相反数 【分析】根据乘方的定义，中，是底数，是指数，是幂． 【详解】解：根据乘方的概念，则的底数是，指数是，表示2的3次方的相反数． 故答案为；；2的3次方的相反数． 【点睛】此题考查了有理数的乘方的概念，注意和的区别，前者底数是，后者底数是，正确区分乘方运算的底数是解题的关键． 3．如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且． (1)______，______； (2)如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合． ①点C表示的数为______； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数． 【答案】(1)，10 (2)①；②或 【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离以及有理数的运算，熟练掌握以上知识点是关键， （1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）①根据折叠确定点C表示的数； ②根据点E与点B之间相距5个单位长度，得到点D与点A的距离也是5，再根据两点间的距离，得到点D表示的数即可． 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴， 故答案为：，10； （2）解：①∵该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合， ∴点C表示的数为：， 故答案为：； ②∵点E与点B之间相距5个单位长度，点E是点D的对应点，点B是点A的对应点， ∴点D与点A的距离也是5． ∴点D表示的数为或． 题型2.有理数的乘方运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数减法法则、乘方法则、绝对值的性质计算即可． 【详解】解：A、，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、，故原计算正确． 2．有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 7的相反数 0 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方运算．先计算卡片正面的数值，再比较大小进行排序，最后对应背面字母得到单词． 【详解】解：的相反数为；；；；．数值由小到大排序为，，，，．对应背面字母依次为，，，，，故单词为． 故答案为：． 3．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)试求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先计算出部分⑥的面积，即可获得答案； （2）利用数形结合的思想，把分数加法和正方形的面积联系起来，通过“正方形的面积减去剩余部分的面积”来简便计算多个分数的和，即可获得答案． 【详解】（1）解：观察图形发现部分①面积为：， 部分②的面积为， 部分③的面积为， …… ∴部分⑥的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． （2）解：结合题意可知，的值等于正方形面积减去阴影部分面积， 即， 所以的值为． 题型3.有理数乘方逆运算 1．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 2．如果，那么___________． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 3．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 题型4.乘方运算的符号规律 1．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 2．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型5.乘方的应用 1．一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，需先依次计算前几次的截取长度，总结出第n次截取长度的规律，再代入求解，即可作答． 【详解】解：∵木棍原长，第1次截取后，剩余长度为， 第2次截取剩余部分的一半，截取长度为. 第3次截取剩余部分的一半，截取长度为. 以此类推，第n次截取的长度为. 当时，第5次截取的长度为， 故选：D． 2．生活在数字时代的我们，很多场合都使用二维码来表示不同的信息，二维码的工作原理基于二进制算法．如图是王强工号的二维码的简易编码，其中黑色方块代表二进制数值“1”，白色方块代表“0”．第一行代表二进制的数字11000，转化成十进制数为：，第二行代表二进制的数字1100，转化成十进制数为12；第三行代表二进制的数字1111，转化成十进制数为15；…将每行编码分别转化为十进制数后，从左到右排序组成一个数字串，就是王强的工号，则王强的工号为_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，将第四行和第五行的二进制数字转化为十进制数，即可得出结果． 【详解】解：由题意，第四行代表二进制的数字为，转化为十进制数为； 第五行代表二进制的数字为，转化为十进制数为； ∴王强的工号为； 故答案为：． 3．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 题型6.程序流程图与有理数计算 1．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出直接输出的输入值必须是，结合程序流程图，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得， 故直接输出的输入值必须是， A、当时，由可得，输出的的值为，故不符合题意； B、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意； C、当时，，则，输出的的值为，故符合题意； D、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意． 2．执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 【答案】 【分析】根据运算的程序进行计算，符合要求时输出即可． 【详解】解：当输入的时，，， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 输出，输出的值为． 3．如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示2，输入的数为，求计算结果； (2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则表示的数是_________． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查与流程图有关的有理数混合运算，依据流程图列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）设表示的数是， ， 解得． 题型7.算“24”点 1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 2．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：他的算式是． 3．学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2） 答：可以，． 题型8.含乘方的有理数混合运算 1．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 2．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再结合有理数的乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型9.计算器——有理数运算 1．如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学计算器，熟练掌握科学计算器使用原理方法，是解题的关键， 此按键顺序是使计算器先自动计算立方，再计算乘除， 【详解】解：根据按键顺序可得算式为：． 故选：B． 2．用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是__________．（参考数据提示：，） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据数字的特点得到分数，化简即可得到结果，根据数字的特点得到分数是解题的关键． 【详解】解：由题可得， ∵，， ∴， 即再按计算器的转换键显示的分数结果是， 故答案为：． 3．如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【答案】(1)6 (2)解：由（1）可推知，从开始的个连续奇数的和是：． 验证猜想：时，， 时，． 验证正确． 【分析】（1）观察图形总结规律解答即可； （2）利用（1）得出的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题可知： ， ， ， ， ， ∴． （3） 略． 题型10.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】先将题目中的速度单位换算为米/秒，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）得到正确结果，判断选项． 【详解】解：∵ 30万千米/秒 = 千米/秒 = 米/秒 米/秒， 符合科学记数法的要求， ∴ 正确选项为D． 2．生物学指出，在食物链中大约有的能量能流动到下一个营养级，在这条食物链中（表示第个营养级，），要使获得800千焦的能量，那么需要提供的能量用科学记数法可以表示为_______千焦． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据题意，求出提供的能量，再利用科学记数法的表示方法进行表示即可．熟练掌握科学记数法的表示方法，为整数，是解题的关键． 【详解】解：（千焦）； 故答案为：． 3．按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 【答案】(1)假设所在地区人口300万，一年需砍棵这样的大树 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树 (2)解：我们应减少一次性筷子的使用，保护森林资源，践行绿色生活（答案不唯一）． 【分析】（1）城市人口数乘以一年的天数分别除以和即可得到一年大约需要多少棵树，科学记数法的形式：，且n为整数； （2）从减少一次性筷子这方面提建议． 【详解】（1）解：假设所在地区人口约为万，一年按天计算， ， ， 所在地区一年需砍棵这样的大树； ， ， 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树． （2） 略 题型11.将用科学记数法表示的数变回原数 1．神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【分析】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 2．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 3．把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． (1)___________． (2)___________． (3)___________ (4)___________． 【答案】(1)3618 (2)-21000 (3) (4)-800000 【分析】本题考查了的是科学记数法的表示方法，解答的关键是理解掌握科学记数法的表示方法. 科学记数法的标准形式为（n为整数）；数据中的，指数n等于3，所以需要把3.618的数小数点向右移动3位，就得到原数，同理解答其他小题. 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 故答案为： （1）3618；（2）-21000；（3）-712.3；（4）-800000． 题型12.求一个数的近似数 1．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 【答案】D 【分析】本题考查近似数的计算，熟练掌握取近似值的各种说法及四舍五入求近似值的方法是解题关键．根据四舍五入法，对0.05019按照各选项的精度要求进行近似计算，判断正误． 【详解】A、∵ 0.05019精确到0.1（十分位）时，百分位为5，应进位， ∴ 近似值为0.1，A正确； B、∵ 精确到0.0001（万分位）时，十万分位为9，应进位， ∴ 近似值为0.0502，B正确； C、∵ 精确到千分位时，万分位为1，应舍去， ∴ 近似值为0.050，C正确； D、∵ 精确到百分位时，千分位为0，应舍去， ∴ 近似值为0.05，但D选项为0.10，错误． 故选：D． 2．2025年是“十四五”规划收官之年，我国经济稳步前行，体现了高质量发展的成效．下表记录了年我国全员劳动生产率的数据． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 全员劳动生产率（万元/人） 用趋势图描述我国年全员劳动生产率的发展趋势，如图所示： 预测2026年我国全员劳动生产率约为___________万元/人（结果精确到）． 【答案】 【分析】先计算这5年我国全员劳动生产率的平均增长值，再预测即可． 【详解】解：根据题意，得年增量为：； 年增量为：；年增量为：； 年增量为：； 平均增量为：， 故预测2026年我国全员劳动生产率约为：万元/人； 3．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 【答案】(1) (2) (3) (4)86 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到十分位）； （3）解：（精确到千分位）； （4）解：（精确到个位）． 题型13.求近似数的精确度 1．下列说法中，正确的是（     ） A．0.009精确到百分位 B．精确到千分位 C．800精确到个位 D．56.7万精确到十分位 【答案】C 【分析】判断近似数精确度需确定末位数字所在数位，带计数单位或科学记数法的数先还原为原数再判断． 【详解】解：A．的末位数字在千分位，精确到千分位，故该选项错误； B．，末位数字在百位，精确到百位，故该选项错误； C．的末位数字在个位，精确到个位，正确，符合题意； D．，末位数字在千位，精确到千位，故该选项错误． 2．一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 【答案】 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 3．经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 【答案】(1)步行 (2)①10千米；②16千克 (3)4棵 【分析】（1）结合三种出行方式的碳排放特点，直接判断最环保的出行方式． （2）①先将单程用时的时间单位统一为小时，因为路程=速度×时间，所以代入平均速度和单程时间即可计算出单程距离．②先计算单日往返的总路程，再结合每千米二氧化碳排放量算出单日排放量，因为一周有5天，所以乘以5得到一周总排放量，再进行单位换算得到以千克为单位的结果． （3）因为需要的树的数量=一周排放的二氧化碳总质量÷一棵树一天吸收的二氧化碳质量，所以代入对应数值，结果根据实际情况取整即可． 【详解】（1）解：步行不产生尾气排放，能源消耗为零，因此步行最环保． （2）①15分钟小时 , （千米） 答：琪琪家离学校10千米． ②（克）千克 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放16千克二氧化碳． （3）（棵） 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要4棵树才能在一天内吸收完． 【点睛】 题型14.近似数推断取值范围 1．数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 2．一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是( )，最小是( )． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数；要考虑是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，即可求解． 【详解】解：一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是，最小是． 故答案为：，． 3．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． ✺分层练习 一、单选题 1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（     ） A．0.1（精确到十分位） B．0.050（精确到百分位） C．0.05（精确到0.01） D．0.0502（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】近似数精确的位数看此数所精确到的数字，该数字所在的位数即是该数的精确位数．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 精确到十分位，，本选项正确，不符合题意； B. 精确到百分位，，本选项错误，符合题意； C. 精确到，，本选项正确，不符合题意； D. 精确到，，本选项正确，不符合题意． 2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星的高度大约是．数据用科学记数法表示为（     ） A． B．C．D． 【答案】D 【详解】解：． 3．下列各式中正确的是（     ） A． B．C．D． 【答案】A 【详解】解：∵ ，， ∴ ，A正确； ∵ ，， ∴ ，B错误； ∵ ，，，， ∴ C、D中等式均不成立． 4．某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序流程图，结合有理数混合运算的法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵输入的数为， ∴，， ∴当输入的数为时，输出的数是． 二、填空题 5．近似值是5.26的最大三位小数是( )，最小的三位小数是( )． 【答案】 【分析】是三位小数的近似数，分“四舍”和“五入”两种情况讨论，“四舍”得到的近似数比原数小，对应最大的三位小数，“五入”得到的近似数比原数大，对应最小的三位小数． 【详解】解：“四舍”得到近似值时，千分位上的数小于，最大可取， 因此最大的三位小数是； “五入”得到近似值时，千分位上的数大于等于，最小可取，此时原数百分位为， 因此最小的三位小数是． 6．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，例如，则________． 【答案】7 【分析】根据定义的新运算法则，代入对应数值计算即可. 【详解】解：∵， ∴当，时，. 7．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 【答案】 30 ． 【分析】（1）根据乘积最大的就是找符号相同且绝对值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，应选择被除数为绝对值尽可能大、除数绝对值尽可能小； （3）用加减乘除只要得数是24即可． 【详解】解：（1）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是； （2）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是； （3）由题意可得， ① ②． 三、解答题 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．“蛟龙”号载人潜水器是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器，是中国人的骄傲．“蛟龙”号的体积约为，长、宽、高分别为、、，最大工作设计深度为．在大海中，每下潜10m，每需要增加承受的压力．计算一下，“蛟龙”号达到最大工作设计深度时，艇身所承受的全部压力约为多少千克（用科学记数法表示，精确到千万位，艇身所承受的全部压力指的是“蛟龙”号所有面受到的压力，因艇自身高度引起的压力变化可忽略不计）？ 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值. 确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解：由题意，得 ． ． 故“蛟龙”号达到最大工作设计深度时，艇身所承受的全部压力约为． 10．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） =﹣2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数的乘方同步培优讲义 ✺知识框架 本节依托有理数乘法展开，内容分为四个部分： 1.乘方的相关概念，识别底数、指数、幂； 2.乘方符号法则，进行乘方运算； 3.含有乘方的有理数混合运算； 4.科学记数法与近似数。 核心思路：乘方的本质是多个相同因数相乘，运算时先判定符号，再计算绝对值。 ✺知识梳理 知识点一、有理数的乘方 1.乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果称为幂。 在乘方表达式中，a为底数（参与相乘的相同因数），n为指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：，底数是2，指数是3，表示3个2相乘，即=2×2×2=8。 2.有理数乘方的符号法则 （1）正数的任何正整数次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 速记口诀：正数幂恒正，负数偶正奇负，零的正次幂恒零。 3.特殊有理数的乘方性质 （1）1的任意正整数次幂都等于1； （2）-1的偶次幂为1，-1的奇次幂为-1； （3）0的任意正整数次幂都等于0。 4.重点概念辨析 严格区分与(-a)n的运算意义。 底数为a，表示a的n次方的相反数； (-a)n底数为-a，表示n个-a连续相乘。 ▲二者底数、运算逻辑完全不同，计算结果存在明显差异，是本节最易混淆的考点。 示例：-=-9，=9，二者意义与结果完全不同。 ★注意：任意非零数均可看作自身的一次方，指数1通常省略不写，属于数学规范写法。 知识点二、有理数混合运算 1.运算顺序 ◆先算乘方，再算乘除，最后算加减； ◆同级运算从左至右依次进行； ◆含有括号时，优先计算括号内运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序由内向外逐层计算。 2.核心运算原则 分级运算：数学规定乘方为三级运算、乘除为二级运算、加减为一级运算，运算时优先计算高级运算； 同级运算：只有加减或只有乘除时，严格从左往右依次计算，杜绝随意跳步运算； 括号优先：所有括号内运算优先完成，多层括号由内向外逐层计算。 3.简便运算原则与技巧 在严格遵守运算顺序的前提下，可合理运用运算律重组算式，简化计算、减少失误： （1）加法：结合互为相反数、同分母、可凑整的数优先计算； （2）乘法：巧用交换律、结合律约分凑整，运用乘法分配律展开简化多步运算； （3）同级运算可灵活组合凑整约分，避免机械顺序计算。 知识点三、科学记数法 定义：把大数写成a×的形式（1≤|a| < 10，n为正整数）。 示例：56000000=5.6× 对于小于-10的数也可以类似表示。例如：﹣56000000=﹣5.6× ▲科学记数法的形式a×中a和n的确定方法 ◆将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值. ◆确定n有两种方法： ① 数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几； ② 数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值。 知识点四、近似数与精确度 1.准确数和近似数 准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数. 例如：三班共50人，小明养了3条金鱼，“50”、“3”都是准确数。 近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。 例如：π取3.14，体重约56kg，这里“3.14”和“56”都是近似数。 精确度：四舍五入到哪一位，就称近似数精确到哪一位。 示例：3.1（精确到十分位），3.14（精确到百分位）。 易错点梳理 易错点1：混淆和﹣。误区：认为两个式子结果相等。正解：的底数是-a；﹣的底数是a，代表an的相反数。 易错点2：底数是负数或分数时遗漏括号。误区：将写为﹣。正解：负数、分数作为底数时，必须添加括号。 易错点3：乘方混合运算顺序出错。误区：优先计算乘除，再算乘方。正解：混合运算中，乘方运算优先级最高。 易错点4：科学记数法中a的取值范围出错。误区：a≥10或a<1。正解：1≤a<10。 易错点5：近似数精确度判断错误。误区：仅观察末尾数字，忽略数位，认为2.40与2.4精确度相同。正解：由最后一位有效数字所在的数位确定精确度。 速记口诀 乘方：乘方源自连乘算，底数指数仔细辨；正数任意次为正，负数偶正奇为负；0 的正次幂是 0。 混合运算：先乘方，后乘除，最后算加减；遇括号，先内算，小中大依次计算。 科学记数法：大数写成a乘10的n次方，a介于1到10之间；n等于整数位数减一。 近似数：判断近似数精确度，观察末位所在数位。 ✺题型精讲 题型1.有理数幂的概念理解 1．若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 2． 的底数是____指数是____表示_________． 3．如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且． (1)______，______； (2)如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合． ①点C表示的数为______； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数． 题型2.有理数的乘方运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 7的相反数 0 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是_________． 3．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)试求出的值． 题型3.有理数乘方逆运算 1．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 2．如果，那么___________． 3．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 题型4.乘方运算的符号规律 1．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 2．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5.乘方的应用 1．一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 2．生活在数字时代的我们，很多场合都使用二维码来表示不同的信息，二维码的工作原理基于二进制算法．如图是王强工号的二维码的简易编码，其中黑色方块代表二进制数值“1”，白色方块代表“0”．第一行代表二进制的数字11000，转化成十进制数为：，第二行代表二进制的数字1100，转化成十进制数为12；第三行代表二进制的数字1111，转化成十进制数为15；…将每行编码分别转化为十进制数后，从左到右排序组成一个数字串，就是王强的工号，则王强的工号为_______． 3．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 题型6.程序流程图与有理数计算 1．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 3．如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示2，输入的数为，求计算结果； (2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则表示的数是_________． 题型7.算“24”点 1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 3．学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 题型8.含乘方的有理数混合运算 1．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 题型9.计算器——有理数运算 1．如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 2．用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是__________．（参考数据提示：，） 3．如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 题型10.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 2．生物学指出，在食物链中大约有的能量能流动到下一个营养级，在这条食物链中（表示第个营养级，），要使获得800千焦的能量，那么需要提供的能量用科学记数法可以表示为_______千焦． 3．按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 题型11.将用科学记数法表示的数变回原数 1．神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 2．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 3．把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． (1)___________． (2)___________． (3)___________ (4)___________． 题型12.求一个数的近似数 1．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 2．2025年是“十四五”规划收官之年，我国经济稳步前行，体现了高质量发展的成效．下表记录了年我国全员劳动生产率的数据． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 全员劳动生产率（万元/人） 用趋势图描述我国年全员劳动生产率的发展趋势，如图所示： 预测2026年我国全员劳动生产率约为___________万元/人（结果精确到）． 3．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 题型13.求近似数的精确度 1．下列说法中，正确的是（     ） A．0.009精确到百分位 B．精确到千分位 C．800精确到个位 D．56.7万精确到十分位 2．一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 3．经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 题型14.近似数推断取值范围 1．数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是( )，最小是( )． 3．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． ✺分层练习 一、单选题 1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（     ） A．0.1（精确到十分位） B．0.050（精确到百分位） C．0.05（精确到0.01） D．0.0502（精确到0.0001） 2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星的高度大约是．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 4．某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．近似值是5.26的最大三位小数是( )，最小的三位小数是( )． 6．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，例如，则________． 7．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 三、解答题 8．计算： (1)； (2)． 9．“蛟龙”号载人潜水器是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器，是中国人的骄傲．“蛟龙”号的体积约为，长、宽、高分别为、、，最大工作设计深度为．在大海中，每下潜10m，每需要增加承受的压力．计算一下，“蛟龙”号达到最大工作设计深度时，艇身所承受的全部压力约为多少千克（用科学记数法表示，精确到千万位，艇身所承受的全部压力指的是“蛟龙”号所有面受到的压力，因艇自身高度引起的压力变化可忽略不计）？ 10．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $