云南省昭通市市直中学2025-2026学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

昭通市市直中学2025年秋季学期高二年级第三次月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 圆的圆心到直线的距离为1，则 A. B. C. D. 2 2. 中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 3. 已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 设数列的前项之积为，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 7. 已知抛物线的焦点为，过作两条斜率分别为的直线，且，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 8. 已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（ ） A. 163 B. 165 C. 167 D. 173 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知单调递增的正项无穷等差数列满足：，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，的前项和为 C. 公差的取值范围是 D. 当为整数时，的最大值为7 11. 在计算数学中可用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列.若函数且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是递减数列 D. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆经过椭圆的三个顶点，则圆的标准方程为_____.（写出其中一个即可） 13. 某同学验证著名的“里拉斜塔”问题，将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如图，那么最上层的铁块最多向桌沿外伸出而不掉落.现将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、、第块，将前，块铁块视为整体，若这部分的重心在第块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1，若记第块比第块向桌沿外多伸出的部分的最大长度为，则根据力学原理，可得，且为等差数列.则的通项公式为_____. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列的各项均为正数，满足：，是与的等差中项. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 16. 设函数. （1）若在点处的切线为，求，的值； （2）求的解集. 17. 如图，顶点为的圆锥的母线与该圆锥的底面直径相等，其中是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，为上一点，. （1）当，求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其中双曲线的一条渐近线方程为，. （1）求双曲线的标准方程； （2）设是双曲线左支上一点，，求的周长的最小值； （3）过直线上任意一点作两条倾斜角分别为，的直线，，若直线，与双曲线的右支分别交于、两点和、两点，且满足：，求. 19. 记数列,的前项和分别为,,,（且），当时,有. （1）证明:数列为等比数列； （2）若,当. ①求的通项公式； ②设是正整数,问是否存在,使得等式成立,若存在,求出和的值；不存在请说明理由. 昭通市市直中学2025年秋季学期高二年级第三次月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1），. （2） 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【17题答案】 【答案】（1）证明: [方法一] 当时，由题设，知为等边三角形，不妨设， 则，，所以， . 又为等边三角形，则，所以， ，则，所以， 同理，又且、在平面上，所以平面. [方法二] 当时，由题设，知为等边三角形，不妨设， 则，由圆锥性质知平面， 所以， 所以.因为是的外心，因此. 在底面过作的平行线与的交点为W，以O为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 所以，，. 故，. 所以，. 又且、在平面上，故平面. [方法三] 当时，因为是底面圆的内接正三角形，且为底面直径，所以. 因为（即）垂直于底面，在底面内，所以. 又因为平面，平面，， 所以平面. 又因为平面，所以. 设，则F为的中点，连接，如图. 设，且， 则，，. 因此，从而. 又因为且、在平面上，所以平面. [方法四] 当时，如图所示，圆锥底面圆O半径为R，连接，，易得， 因为，所以. 以，，为基底，平面， 则， ，且，， 所以. 故，所以，即. 同理.又且、在平面上，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明： 当时,有,即:， 从而得,去分母整理得:. 又因当,且,所以. 当,,即,所以,即. 所以由等比中项的定义可知:数列是1为首项,公比为的等比数列. （2）①； ②当且仅当时,存在使得等式成立； 当且仅当时,存在使得等式成立； 当且仅当时,存在使得等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $