精品解析：云南昭通市镇雄县五德中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 又，所以． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因等价于或， 由显然可推出，则“”是“”的充分条件； 当或时，若取显然不满足，则“”不是“”的必要条件. 是的充分不必要条件. 3. 已知空间向量，则的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 与的取值有关 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 4. 已知平面向量，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平方差公式：，分别算出模长平方再相减得结果. 【详解】. 5. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】，所以的实部为1. 6. 某班级名学生的数学测验成绩（单位：分）为：则这组数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将个成绩从小到大排列为： ， ，因此分位数为. 7. 已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为的夹角为钝角,故， 又不共线，当共线时，，所以的取值范围是. 8. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知函数，下列关于该函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 图象关于点对称 D. 最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【详解】由解析式知，A正确； 当时，，则在上单调递增，在上单调递减，B错误； 由时，，C正确； 令，则的最大值为1，D正确. 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若，，则， 反例：直线有可能在平面内（），不一定平行于平面，A错误； 对于B，若，，则， 这是“面面垂直判定定理”：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，B正确； 对于C，若，，，则， 反例：两个平行平面内的直线，可以异面，不一定平行，C错误； 对于D，若，，则， 这是“线面垂直性质定理”：垂直于同一个平面的两条直线互相平行，D正确． 11. 在正四棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 无论取何值，三棱锥的体积均为定值 C. 当时，点的轨迹长为 D. 当时，四棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量基本定理得出所在的平面，算出点到平面的距离，即可算出三棱锥的体积；根据可以得出，可得点的轨迹为线段，即可算出轨迹长度；求出时点的轨迹，判断该轨迹与平面的位置关系，即可判断四棱锥的体积是否为定值. 【详解】对于选项A和B，因为，由平面向量基本定理得：点在平面内，由正四棱柱性质可得平面平面，且平面，则点到平面的距离为1，三棱锥的体积，所以选项A和B正确； 对于选项C，当时，有，可得点的轨迹为线段，由正四棱柱性质可得，所以，所以选项C错误； 对于选项D，当时，，则点的轨迹为线段，由正四棱柱性质可得平面，所以四棱锥的体积为定值，所以选项D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取2个不同的数字，这两个数字互质的概率为_________. 【答案】##0.9 【解析】 【分析】算出从5个数取2个的总组合数，找出两数不互质的组合，用古典概型求概率. 【详解】抽取的情况包含，共10种情况， 这两个数字互质的情况有9种，则这两个数字互质的概率为. 13. 已知，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【详解】由， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为 14. 对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，_______；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出所需各向量坐标即可由相应距离定义计算求解. 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则，设， 则， 所以，即， 所以； ， 令， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：； 四､解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）求边的长度和的面积. 【答案】（1） （2），的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理即可求解； （2）根据题意，得到，利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理得：， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 的面积. 16. 某工厂为了检验一批新产品的质量，随机抽取了件产品进行检测，得到产品质量指标值的频率分布直方图如图所示： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这批产品质量指标值的平均数和中位数； （3）若质量指标值落在区间内的产品为合格产品，其中为平均数，为标准差，已知这批产品的标准差，估计这批产品的合格率. 【答案】（1） （2）平均数；中位数 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可求解； （2）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的计算公式即可求解； （3）根据题意，得到合格区间，计算合格区间的频率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，， 中位数为，则. 【小问3详解】 由（2）可知，，由于，根据题意，合格区间为，所以合格率. 17. 如图，在平行六面体中，，，，，求： （1）试用表示，再求的长度； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【小问1详解】 由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； 【小问2详解】 设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小值的表达式； （2）若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，分，和，三种情况分类讨论，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的对称性，分和，两种情况分类讨论，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得抛物线的开口向上，且对称轴为， ①当时，函数在区间上单调递增，此时； ②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时； ③ 当时，函数在区间上单调递减，此时， 综上可得，函数的最小值. 【小问2详解】 解：由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，根据抛物线的对称性，可得，解得； 当时，根据抛物线的对称性，可得， 解得，前后矛盾，舍去， 综上可得，实数的值为. 19. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点，点是线段上的点，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，可得平面， 因为平面，所以， 在中，，且点是线段的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，即可得证； 又因为，且平面，所以平面. （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）得到平面的法向量为，求得向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在直三棱柱中，可得平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，且 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以； 设平面的一个法向量为，则 取，可得，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 解：由（1）知：平面，且， 即平面的法向量为， 因为点是线段上的点，且，且， 可得，可得，所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知空间向量，则的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 与的取值有关 4. 已知平面向量，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 5. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 某班级名学生的数学测验成绩（单位：分）为：则这组数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知函数，下列关于该函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 图象关于点对称 D. 最大值为1 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 11. 在正四棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 无论取何值，三棱锥的体积均为定值 C. 当时，点的轨迹长为 D. 当时，四棱锥的体积为定值 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取2个不同的数字，这两个数字互质的概率为_________. 13. 已知，则的最小值为_________. 14. 对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，_______；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_______. 四､解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）求边的长度和的面积. 16. 某工厂为了检验一批新产品的质量，随机抽取了件产品进行检测，得到产品质量指标值的频率分布直方图如图所示： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这批产品质量指标值的平均数和中位数； （3）若质量指标值落在区间内的产品为合格产品，其中为平均数，为标准差，已知这批产品的标准差，估计这批产品的合格率. 17. 如图，在平行六面体中，，，，，求： （1）试用表示，再求的长度； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 18. 已知函数. （1）求函数的最小值的表达式； （2）若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 19. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点，点是线段上的点，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $