第14节 立体几何中的探索性问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学培优 第14节 立体几何探索性问题 详细解析版 一、单项选择题 1． 答案：A 【考点】顶点射影位置。 解：时，在底面射影到三顶点距离相等，为底面外心；正三角形的外心即中心，故射影为底面正三角形的中心。 2． 答案：C 【考点】动点与对角线位置关系。 解：当时，，与交于，故与可以相交；当时二者异面，故“可以相交”正确。 3． 答案：B 【考点】线面垂直判定条件。 解：若、平行，则且不能推出；而可推出内任意直线，故为必要不充分条件。 4． 答案：A 【考点】线面垂直判定定理。 解：由线面垂直判定定理，垂直于平面内两条相交直线的直线垂直于平面，A正确；其余均不能推出。 5． 答案：A 【考点】线面角的正弦值。 解：建系A(0,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，A₁(0,0,1)。E为AD中点E(0,，0)，F为CC₁中点F(1,1，)。EF=(1，，−)，|EF|=/2；平面ABCD法向量n=(0,0,1)，故EF与平面ABCD所成角的正弦值=|EF·n|/|EF|=/(/2)=，选A。 6． 答案：C 【考点】动点垂直恒成立。 解：建系A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A₁(0,0,1)，P在棱DD₁上，设P(0,1,t)，t∈[0,1]。AP=(0,1,t)，BD=D−B=(−1,1,0)，AP·BD=0×(−1)+1×1+t×0=1≠0，故对任意P都不垂直，选C。 7． 答案：D 【考点】线面位置关系判定。 解：建系A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A₁(0,0,1)，C₁(1,1,1)，P为A₁C₁中点P(,,1)。平面B₁BDD₁即对角面BB₁D₁D，方程x+y=1：A(0,0,0)代入得0≠1，A不在该平面；P(,,1)代入得1=1，P在该平面；又AP·(1,1,0)=+≠0，AP不垂直该平面。故AP与该平面斜交，选D。 8． 答案：A 【考点】线面角的最值。 解：建系A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A₁(0,0,1)，D₁(0,1,1)，则平面ABB₁A₁即y=0。设E(0,u,1)，u∈[0,1]，则CE=(−1,u−1,1)，|CE|=√(2+(u−1)²)。设CE与平面ABB₁A₁所成角为θ，取该平面法向量n=(0,1,0)，sinθ=|CE·n|/|CE|=(1−u)/√(2+(1−u)²)。令s=1−u∈[0,1]，sinθ=s/√(2+s²)在[0,1]上单调递增，故s=1（u=0，即E与A₁重合）时sinθ取最大值1/，选A。 二、多项选择题 9． 答案：ABD 解：A：建系A(0,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，A₁(0,0,1)，E为A₁D₁中点E(0,,1)，F为CC₁中点F(1,1，)，EF=(1，，−)，|EF|=/2，EF与底面所成角的正弦=|−|//2=，故余弦=，A正确。B：BD=(−1,1,0)，EF·BD=−1+=−，|BD|=，余弦=|=|/(/2·)=，B正确。C：A₁C₁=(1,1,0)，EF·(1,1,0)=1+≠0，不垂直，C错误。D：F的纵坐标为1，到平面ABB₁A₁（y=0）的距离为1，D正确。故选ABD。 10． 答案：ABCD 解：A：BD⊥AC且BD⊥AA₁，故BD⊥平面AC₁A₁，A正确；B：A₁C₁在平面AC₁A₁内，BD⊥该平面，故A₁C₁⊥BD，B正确；C：B₁C₁∥BC，BC方向向量(0,1,0)，其x分量为0，而平面ADD₁A₁即x=0，故B₁C₁∥平面ADD₁A₁，C正确；D：A₁C₁∥AC，AC⊂平面ABCD，故A₁C₁∥平面ABCD，D正确。 11． 答案：ABD 解：底面边长2，中心O，OA=，高PO==2，A正确。侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，sin∠PAO=PO/PA=2/√6=，B正确；此时∠PAO≈54.7°，不是45°，C错误。取AB中点M，OM=1，PM=√(PO²+OM²)=√5，侧面PAB与底面ABCD所成二面角的正切值=PO/OM=2，D正确。故选ABD。 三、填空题 12． 答案：N为棱BB₁的中点 解：建系A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A₁(0,0,1)，M为CC₁中点M(1,1,)。N在BB₁上设N(1,0,t)，则MN=(0,−1,t−)。平面ABB₁A₁即y=0，法向量n=(0,1,0)。MN⊥平面ABB₁A₁当且仅当MN∥n，即t−=0，t=∈[0,1]。故N为棱BB₁的中点。 13． 答案：P为棱AA₁上距A为的点（AP∶PA₁=1∶3） 解：建系A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A₁(0,0,2)，则B₁(1,0,2)，D₁(0,1,2)。平面AB₁D₁内两个方向向量AB₁=(1,0,2)，AD₁=(0,1,2)，故法向量n=AB₁×AD₁=(−2,−2,1)。设P(0,0,t)，C(1,1,0)，则CP=(−1,−1,t)。CP⊥平面AB₁D₁当且仅当CP∥n，即(−1,−1,t)=λ(−2,−2,1)，解得λ=，t=∈[0,2]。故P为棱AA₁上距A为的点（AP∶PA₁=1∶3）。 14． 答案：的中点 解：时在底面射影到、距离相等，在的垂直平分线上；时为斜边，直角顶点在为直径的圆上，中点为圆心，故射影为中点。 四、解答题 15．（15分）正方体ABCD−的棱长为1，M为CC₁的中点。 解： 15． 答案：（1）cosθ=；（2）存在，N为棱BB₁的中点。 (1) 建系取B(1,0,0)，M(1,1,)，A₁(0,0,1)，C₁(1,1,1)，则=(0,1,)，=(1,1,0)。|BM|=/2，|A₁C₁|=，两向量点积为1。故cosθ=1÷(/2·)=/5。 (2) 设N(1,0,t)，t∈[0,1]，M(1,1，)，MN=(0,−1,t−)。MN∥平面ABCD当且仅当MN水平，即t−=0，t=∈[0,1]。故存在且唯一，N为棱BB₁的中点。 【易错】MN∥平面ABCD只要求MN水平，与N在棱上的位置无关；但t=须落在[0,1]内才合法，端点情形别漏验。 解： 16．（15分）三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC为边长为1的正三角形，PA=。 16． 答案：（1）点到直线的距离为；（2）不存在满足的点。 (1) 到的垂足为中点，，，故，即到的距离为。 (2) 由三垂线定理，当且仅当（为在底面的射影）。建系，，，设，（），则得，故不存在这样的点。 【易错】用三垂线定理时，PD⊥AB等价于PD在底面内的射影AD⊥AB，不能直接把“PD⊥AB”写成“AD⊥AB”；本题解得D落在BC延长线上（t=2），不在线段BC内，故不存在这样的点D。 考点细目表 题号 题型 核心考点 预估难度 分值 1 单选 顶点射影位置 中档 5 2 单选 动点与对角线位置 培优 5 3 单选 线面垂直充要条件 中档 5 4 单选 垂直判定定理 基础中档 5 5 单选 线面角的正弦值 中档 5 6 单选 动点垂直恒成立 培优 5 7 单选 线面位置关系判定 培优 5 8 单选 线面角的最值 中档 5 9 多选 线面角与线线角 中档 6 10 多选 正方体线面位置 培优 6 11 多选 正四棱锥的高与二面角 中档 6 12 填空 线面垂直的点位 中档 5 13 填空 探索垂直点 培优 5 14 填空 直角三角形顶点射影 培优 5 15 解答 向量求角与探索平行 培优 15 16 解答 点面距离与探索垂直 培优 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学培优 第14节 立体几何探索性问题 学生版 姓名：___________班级：___________考号：___________ 【编写说明】探索性问题是近三年新高考立体几何的固定压轴题型。本讲组卷针对一轮复习中暴露出来的四类集中失误——条件探索只答“存在”不验证、动点建系坐标写错、射影位置判不准、线面垂直漏判“相交”——逐项设题。限时70分钟，16题第二问建议分步完成。 满分：103分　　限时：70分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在三棱锥中，，底面为正三角形，则顶点在底面上的射影为（　　） A.底面正三角形的中心 B.一边中点 C.某一顶点 D.任意点 2．在正方体中，为棱上的动点，则直线与（　　） A.一定异面 B.一定垂直 C.可以相交 D.一定平行 3．设、是平面内的两条直线，为平面外的一条直线，则“且”是“”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．下列条件中，能推出直线平面的是（　　） A.内两条相交直线 B.内一条直线 C.内两条平行直线 D.且 5．在正方体ABCD−中，E为棱AD的中点，F为棱CC₁的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 6．在正方体中，为棱上的动点，则（　　） A.对任意都成立 B.仅当为中点成立 C.不存在这样的 D.仅当成立 7．在正方体中，为的中点，则与平面的位置关系为（　　） A.在平面内 B.平面 C.平面 D.与平面斜交 8．在正方体ABCD−中，E为棱A₁D₁上一点，则直线CE与平面ABB₁A₁所成角的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得2分，有选错得0分） 9．在正方体ABCD−中，E为棱A₁D₁的中点，F为棱CC₁的中点，则（　　） A.EF与平面ABCD所成角的余弦值为 B.EF与BD所成角的余弦值为 C.EF⊥A₁C₁ D.点F到平面ABB₁A₁的距离为1 10．在正方体中，下列说法正确的是（　　） A.平面 B.与垂直 C.平面 D.平面 11．在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，侧棱PA=，则（　　） A.正四棱锥的高为2 B.侧棱PA与底面ABCD所成角的正弦值为 C.侧棱PA与底面ABCD所成角为45° D.侧面PAB与底面ABCD所成二面角的正切值为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁的中点，N为棱BB₁上的动点，当MN⊥平面ABB₁A₁时，N的位置为________。 13．在长方体中，，，为棱上一点，当为________时，平面。 14．三棱锥中，，底面为直角三角形（），则顶点在底面射影为________。 四、解答题（本题共2小题，每小题15分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（15分）正方体的棱长为，为的中点。 (1) 求与所成角的余弦值； (2) 探索：棱BB₁上是否存在点N，使MN∥平面ABCD？若存在，指出N的位置。 16．（15分）三棱锥中，底面，底面为边长为的正三角形，。 (1) 求点到的距离； (2) 探索：是否存在BC上的点D使PD⊥AB？ 学科网（北京）股份有限公司 $