课时作业58 空间距离及立体几何中的探索性问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间距离计算与探索性问题，构建以向量法为核心的解题体系，形成"距离转化-向量表达-参数求解"的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间距离计算|5题（含高考改编题）|向量法（方向向量求线距、法向量求面距）、等体积法、坐标法|从点线距到面面距的转化链，依托空间向量工具实现几何问题代数化| |探索性问题|1题（含参数λ设置）|参数法（线面角公式建立方程）|结合面面垂直性质，通过空间坐标系将探究问题转化为方程求解|

课时作业(五十八)　空间距离及立体几何中的探索性问题 1．(人教B版选择性必修第一册P63习题1-2CT1改编)已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为(　　) A．2 B． C． D． 2．(2022·新高考Ⅰ卷节选)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2，则点A到平面A1BC的距离为(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 3．(2026·漳州模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则下列说法正确的是(　　) A．点A1到直线B1E的距离为 B．直线FC1到直线AE的距离为 C．点A1到平面AB1E的距离为 D．直线FC1到平面AB1E的距离为 4．(2025·随州期末)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点，下列判断正确的是(　　) A．B1C∥平面A1BD B．平面A1BD⊥平面AA1C1C C．直线B1C到平面A1BD的距离是 D．点A1到直线BC的距离是 三、填空题 5．(人教A版选择性必修第一册P35练习T3改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，设M，N，E，F分别是A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________． 四、解答题 6．(15分)(2026·天水模拟)正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点． (1)求证：EM⊥AD． (2)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 课时作业(五十八) 1．D　[由已知，得＝(－1，－1，－1)，因为直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，所以点P(1，2，2)到直线l的距离为．故选D．] 2．C　[在直三棱柱ABC-A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h，则·h＝h＝S△ABC·A1A＝，解得h＝，所以点A到平面A1BC的距离为．] 3． ABD　[建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(1，1，1)， E，F，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)． 对于A，因为，直线B1E的一个单位方向向量u1＝＝(0，1，0)， 所以·u1＝－． 所以点A1到直线B1E的距离为，故A正确； 对于B，因为， ， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离， 因为直线AE的一个单位方向向量u2＝， ||2＝·u2＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为 ，故B正确； 对于C，设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，1，1)，＝(0，0，1)． 则 令z＝2，则y＝－2，x＝1， 即n＝(1，－2，2)为平面AB1E的一个法向量， 设点A1到平面AB1E的距离为d， 则d＝，即点A1到平面AB1E的距离为，故C不正确； 对于D，因为AE∥FC1， 所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离， 又＝(1，0，0)， 由选项C得平面AB1E的一个法向量为n＝(1，－2，2)， 所以C1到平面AB1E的距离为 ， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为，故D正确．故选ABD．] 4．ABD　[对于A，如图1所示， 连接AB1交A1B于点E，连接DE， 所以DE∥B1C， 又DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD， 所以B1C∥平面A1BD，故A正确； 对于B，因为AB＝BC，D是AC的中点， 所以BD⊥AC， 又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC， 所以BD⊥平面A1ACC1， 又BD⊂平面A1BD， 所以平面A1BD⊥平面AA1C1C，故B正确； 对于C，因为B1C∥平面A1BD， 所以B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离， 以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图2所示， 则D(0，0，0)，B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)， 所以＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，3)， 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝3， 则n＝(3，0，1)为平面A1BD的一个法向量， 所求距离d＝，故C错误； 对于D，如图3所示， 作AF⊥BC，连接A1F，因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC， 又AA1∩AF＝A，AA1， AF⊂平面A1AF， 所以BC⊥平面A1AF，则BC⊥A1F， 又AF＝， 所以A1F＝ ＝，故D正确． 故选ABD．] 5．　[ 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，B(4，4，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)， 所以＝(2，2，0)，＝(0，2，4)，＝(0，－4，0)． 设平面EFBD的法向量为a＝(1，m，n)， 则 解得所以a＝为平面EFBD的一个法向量． 因为＝(－2，0，4)，＝(0，2，4)，所以a·＝0，a·＝0，从而a⊥，a⊥，所以a⊥平面AMN，所以平面AMN∥平面EFBD，所以平面AMN与平面EFBD间的距离即为点A到平面EFBD的距离，该距离为．] 6．(1)证明：∵EA＝EB，M是AB的中点， ∴EM⊥AB， 又平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EM⊂平面ABE， ∴EM⊥平面ABCD， ∵AD⊂平面ABCD， ∴EM⊥AD． (2)解：连接CM， 由(1)知EM⊥平面ABCD， ∵CM⊂平面ABCD， ∴EM⊥CM， 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴CM⊥AB， 故MB，MC，ME两两垂直， 以M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，E(0，0，)， ∴＝(1，0，＝(0，，－)， 设＝λ＝(0，λ，－λ)，0≤λ≤1， 则＝(1，λ，λ)， 易知平面ABE的一个法向量为n＝(0，1，0)， ∵直线AP与平面ABE所成的角为45°， ∴sin 45°＝|cos〈，n〉|＝， 解得λ＝，∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $