精品解析：陕西西安市浐灞国际港第四初级中学2026-2027学年上学期九年级9月学情自测数学试题

西安市浐灞国际港第四初级中学 2026—2027学年度第一学期九年级第一次月考数学试题 （考试总分：120分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断一元二次方程需同时满足三个条件：仅含一个未知数、未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：A选项，仅含未知数，最高次数为2，是整式方程，符合要求． B选项，含有两个未知数，不符合． C选项，含有分式，不是整式方程，不符合． D选项，未明确，当时无二次项，不符合．故答案为A． 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，，由邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项A不符合题意； B．四边形是平行四边形，，由对角线垂直的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项B不符合题意； C．四边形是平行四边形，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，即选项C不符合题意； D．四边形是平行四边形，，由一个内角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，不能证明四边形是正方形，即选项D符合题意． 3. 如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 4. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 5. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 6. 每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，且本次青创赛一共进行了240次评审，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需给其余所有同学的方案评审， ∴每名学生对应产生次评审， ∵已知总评审次数为， ∴可列方程为 . 7. 如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 8. 如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（ ）． A. B. 2.5 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，结合正方形性质证得为直角三角形，利用勾股定理，以及直角三角形斜边中线定理求解，即可解题． 【详解】解：连接、. ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∵点在上，， ∵，， 则，， 在中，， ∵是的中点， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 10. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【答案】② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 11. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米，根据黄金分割的定义列出方程求解． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米， 由题意得， 解得， 那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为分米． 12. 如图，直线，已知，，，___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 14. 如图，在菱形中，，，，为对角线上两动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的性质证明，得出，结合菱形的性质得出，从而将转化为，根据两点之间线段最短可知当，，三点共线时和最小，即为对角线的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长，此时点与点重合，， ∵， ∴，即点与点重合，符合题意； 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程） 15. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 16. 已知：线段a、b、c，满足 ，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】设,则，再根据构建方程，求出的值，从而解决问题． 【详解】设，则， ∵， ∴, 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是比例运算，解题的关键是根据题意列出方程． 17. 如图，在中，，于点．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，点E即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，线段垂直平分线的尺规作图，如图所示，作线段的垂直平分线交于E，连接，点E即为所求． 【详解】解；由可得，则， 再由即可证明． 18. 如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，最后根据矩形的判定，即可证明结论． 【详解】略 19. 如图，已知．求证：． 【答案】 【解析】 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到； 【详解】证明：， 在中， ， , 在中， 在△ABC和△DEF中，三边对应成比例, ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明． 20. 若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 21. 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． （1）请你利用这种方法解方程：； （2）已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【小问1详解】 解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据D、E分别是、的中点，得到，，结合推出，即可证明四边形是平行四边形，再根据即可得证结论； （2）根据菱形的性质得到，，因此是等边三角形，则．过点E作于点N，则，得到，根据勾股定理求出，由菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 过点E作于点N，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 为了更好推广平和美食——麻枣和枕头饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：麻枣和枕头饼销售方案制定问题 平和糕点历史悠久，平和麻枣，外酥内软，甜而不腻；枕头饼馅料饱满，芝香浓郁．皆为传统名点，馈赠佳品． 素材1 平和麻枣 平和枕头饼 素材2 经统计，该甜品店10月份“平和麻枣”销售量为480盒，12月份销售量为750盒；而“枕头饼”10月份销售量为600盒． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“枕头饼”作降价促销，已知每盒“枕头饼”的成本为10元．经试验，发现该款“枕头饼”每盒每降价1元，月销售量就会增加100盒． 问题解决 任务1 求该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，求该枕头饼每盒应该降价多少元? 【答案】任务1：；任务2：降价3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1：设该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； 任务：设该“枕头饼”每盒应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为盒，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：任务1，设该店销售“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 答：该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设平和枕头饼每盒应该降价m元，则每盒的利润为元，月销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，枕头饼每盒应该降价3元． 25. 综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： （1）操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； （2）迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； （3）拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图3，过点C作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； 【解析】 【分析】（1）设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，利用正方形的性质证明四边形和四边形都是矩形，再利用矩形的性质证明，即可求解； （2）设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，证明，可得，即可求解； （3）过点C作交的延长线于点F，先证，得到，再证，得到，即可得证． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 【小问2详解】 如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N， ， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 略 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市浐灞国际港第四初级中学 2026—2027学年度第一学期九年级第一次月考数学试题 （考试总分：120分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 3. 如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（ ）． A. B. 2.5 C. D. 2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 10. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 11. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 12. 如图，直线，已知，，，___________． 13. 如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 14. 如图，在菱形中，，，，为对角线上两动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程） 15. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 16. 已知：线段a、b、c，满足 ，且，求的值． 17. 如图，在中，，于点．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 19. 如图，已知．求证：． 20. 若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 21. 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． （1）请你利用这种方法解方程：； （2）已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 23. 如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 为了更好推广平和美食——麻枣和枕头饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：麻枣和枕头饼销售方案制定问题 平和糕点历史悠久，平和麻枣，外酥内软，甜而不腻；枕头饼馅料饱满，芝香浓郁．皆为传统名点，馈赠佳品． 素材1 平和麻枣 平和枕头饼 素材2 经统计，该甜品店10月份“平和麻枣”销售量为480盒，12月份销售量为750盒；而“枕头饼”10月份销售量为600盒． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“枕头饼”作降价促销，已知每盒“枕头饼”的成本为10元．经试验，发现该款“枕头饼”每盒每降价1元，月销售量就会增加100盒． 问题解决 任务1 求该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，求该枕头饼每盒应该降价多少元? 25. 综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： （1）操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； （2）迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； （3）拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $