17.2 用公式法分解因式（第3课时)（课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十七章　因式分解 17.2 用公式法分解因式 （第3课时） 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版八年级上册17.2第3课时《公式法综合运用》专项练习（全文约1412字） ## 一\(a\(m、n\)b\)知识梳理 ### 核心公式回顾 平方差：$\boldsymbol{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$（**两项\(a\(m、n\)b\)异号平方**） 完全平方：$\boldsymbol{a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2}$（**三项\(a=-1，b=2\)首尾平方同号\(a=-1，b=2\)中间2倍乘积**） 因式分解完整步骤（必考）： 1. **一提**：优先提取公因式； 2. **二套**：看剩下多项式\(a=-1，b=2\)两项试平方差\(a=-1，b=2\)三项试完全平方； 3. **三查**：检查括号内是否还能继续分解\(a=-1，b=2\)分解到不能再分解为止。 综合题型特点： - 多项式含括号\(a=-1，b=2\)需要把括号内整体当作$a\(a\(m、n\)b\)b$； - 先提公因式\(a=-1，b=2\)再套公式\(a=-1，b=2\)部分题目需要连续两次用公式； - 化简求值类：**先因式分解\(a=-1，b=2\)再代入数值计算**\(a=-1，b=2\)简化运算。 易错提醒 1. 提公因式不要漏项\(a=-1，b=2\)首项为负时\(a=-1，b=2\)负号一起提出； 2. 整体换元时\(a=-1，b=2\)注意符号； 3. 分解不彻底是高频丢分点\(a=-1，b=2\)如$x^4-1$要分解到$(x^2+1)(x+1)(x-1)$； 4. 分清公式：两项→平方差；三项→完全平方\(a=-1，b=2\)不要混用。 ## 二\(a\(m、n\)b\)专项练习题 ### （一）选择题（每题4分\(a=-1，b=2\)共40分） 1. 分解因式$2x^2-18$\(a=-1，b=2\)结果正确的是（） A.$2(x^2-9)$ B.$2(x-3)^2$ C.$2(x+3)(x-3)$ D.$(2x+6)(x-3)$ 2. 分解$x^3-2x^2+x$正确的是（） A.$x(x^2-2x+1)$ B.$x(x-1)^2$ C.$x(x+1)^2$ D.$x(x-1)(x+1)$ 3. 下列多项式\(a=-1，b=2\)不能用公式法分解的是（） A.$a^2-4$ B.$a^2+4a+4$ C.$a^2+4$ D.$4a^2-12ab+9b^2$ 4. $(x-1)^2-4$分解因式结果是（） A.$(x-3)(x+1)$ B.$(x+1)^2$ C.$(x-5)(x+3)$ D.$(x-3)^2$ 5. 分解$-3ax^2+6axy-3ay^2$正确的是（） A.$-3a(x^2-2xy+y^2)$ B.$-3a(x-y)^2$ C.$-3a(x+y)^2$ D.$3a(x-y)^2$ 6. 若$x^4-16=(x^2+4)(x+m)(x-n)$\(a=-1，b=2\)则$m\(a\(m、n\)b\)n$为（） A.$\(m=2,n=2\)$ B.$m=-2,n=-2$ C.$m=2,n=-2$ D.$m=4,n=-4$ 7. 下列因式分解结果正确的是（） A.$4x^2-4x+1=(2x+1)^2$ B.$x^2-9y^2=(x-3y)^2$ C.$-x^2+2xy-y^2=-(x-y)^2$ D.$x^2-2x-1=(x-1)^2$ 8. 多项式$(2a+b)^2-(a-2b)^2$分解后\(a=-1，b=2\)因式个数为（） A.$1$个 B.$2$个 C.$3$个 D.$4$个 9. 已知$\(x+y=3\)$\(a=-1，b=2\)则$x^2+2xy+y^2-1=$（） A.$8$ B.$9$ C.$10$ D.$11$ 10. 因式分解的正确顺序是（） A.套公式→提公因式 B.提公因式→套公式→检查是否可继续分解 C.直接展开 D.先分组\(a=-1，b=2\)再套公式 ### （二）填空题（每题4分\(a=-1，b=2\)共24分） 11. 因式分解两步核心：先________\(a=-1，b=2\)再套用乘法公式。 12. $3ax^2-3ay^2=$________。 13. $x^3-4x^2+4x=$________。 14. $(m+n)^2-1=$________。 15. $2a^3-8a=$________。 16. 若$a^2+b^2-2ab=4$\(a=-1，b=2\)则$(a-b)^2=$________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）分解因式： （1）$5a^3-20a$；（2）$(2x-1)^2-(x+2)^2$ 18.（12分）分解因式： （1）$-2x^2+12xy-18y^2$；（2）$(x^2+4)^2-16x^2$ 19.（12分）先因式分解\(a=-1，b=2\)再求值： $(2a+b)^2-(a+2b)^2$\(a=-1，b=2\)其中$a=-1\(a=-1，b=2\)b=2$。 ## 三\(a\(m、n\)b\)参考答案与解析 **选择题**：1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.C 8.B 9.A 10.B **填空题**： 11.提公因式；12.$3a(x+y)(x-y)$；13.$x(x-2)^2$；14.$(m+n+1)(m+n-1)$；15.$2a(a+2)(a-2)$；16.$4$ **解答题** 17.解： （1） $\begin{align*} 5a^3-20a&=5a(a^2-4)\\ &=\boldsymbol{5a(a+2)(a-2)} \end{align*}$ （2） $\begin{align*} (2x-1)^2-(x+2)^2&=[(2x-1)+(x+2)][(2x-1)-(x+2)]\\ &=(3x+1)(x-3) \end{align*}$ 18.解： （1） $\begin{align*} -2x^2+12xy-18y^2&=-2(x^2-6xy+9y^2)\\ &=\boldsymbol{-2(x-3y)^2} \end{align*}$ （2） $\begin{align*} (x^2+4)^2-16x^2&=(x^2+4)^2-(4x)^2\\ &=(x^2+4+4x)(x^2+4-4x)\\ &=(x+2)^2(x-2)^2 \end{align*}$ 19.解： $\begin{align*} &(2a+b)^2-(a+2b)^2\\ =&[(2a+b)+(a+2b)][(2a+b)-(a+2b)]\\ =&(3a+3b)(a-b)\\ =&3(a+b)(a-b) \end{align*}$ 代入$a=-1\(a=-1，b=2\)b=2$： $\begin{align*} \(\begin{align*} 原式&=3\times(-1+2)\times(-1-2)\\ &=3\times1\times(-3)=-9 \end{align*}\)&=3\times(-1+2)\times(-1-2)\\ &=3\times1\times(-3)=-9 \end{align*}$ 答：代数式的值为$-9$。 本节核心：综合练习\(a=-1，b=2\)牢记**一提\(a\(m、n\)b\)二套\(a\(m、n\)b\)三查**。高频易错：分解不彻底；整体平方差展开符号出错；提取负公因式时括号内不变号。这一章是期末必考大题。 下一节：**17.3 第1课时 分组分解法**\(a=-1，b=2\)同样1412字专项练习吗？ 学习目标 能综合运用提公因式法与公式法、多次运用公式法对多项式进行因式分解. 一 在因式分解的过程中，体会转化思想和整体思想，提升数学运算素 养和逻辑推理素养. 二 答 1.提公因式法． 2.公式法：平方差公式和完全平方公式. 复习引入 问题 我们学习了哪些分解因式的方法？ 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法． 例1：分解因式． （1）x4－y4； （2）a3b－ab． 分析：在（1）中，x4－y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式，可用公式法分解因式； 对于（2），a3b－ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式． 解：（1）x4－y4 ＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)； 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． （2）a3b－ab ＝ab(a2－1) ＝ab(a＋1)(a－1)． 探究新知 例2：分解因式． （1）3ax2＋6axy＋3ay2； （2）－ax2＋2a2x－a3． 分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式． 解：（1）3ax2＋6axy＋3ay2 ＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2； （2）－ax2＋2a2x－a3 ＝－a(x2－2ax＋a2) ＝－a(x－a)2． 探究新知 知识点1 完全平方式的特征 1.下列各式：①x2－6x＋9；②25a2＋10a＋1；③x2－4x－4；④4x2－x＋，其中不能用完全平方公式因式分解的式子有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 返回 基础提优题 2.［2025成都］多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是　　 　　. (填一个即可). 4x(答案不唯一) 返回 3.若9x2＋(k－1)x＋4是一个完全平方式，则k的值为　　　　. 13或－11 基础提优题 因式分解的步骤 一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式； 二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式； 三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解． 探究新知 例3：求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 证明： ． ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴原代数式的值一定是某个整数的平方． 探究新知 9 技巧一：整体换元，将看作整体，简化多项式乘法后的结构． 技巧二：公式运用，熟练运用完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，完成因式分解． 技巧三：结合数的性质，利用正整数条件，说明分解结果为正整数的平方，完成证明闭环． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1．分解因式的结果是（     ） A． B． C． D． C 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．将多项式分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． D 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．因式分解 (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 D 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 解：（1） ， ， 则， 解得， ∴，； 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. （2）是等腰三角形，理由如下： ， ∴或（不符合三角形三边关系，舍） ∴是等腰三角形． 当堂检测 知识点2 用完全平方公式分解因式 4.整式(a－3b)2－4(a－3b)c＋4c2可以写成(　　) A.(a－3b＋2c)2　 B.(a－3b－2c)2 C.(a＋3b＋2c)2　 D.(a＋3b－2c)2 B 返回 基础提优题 5. 把下列各式因式分解： (1)a3－4a2b＋4ab2； 【解】a3－4a2b＋4ab2＝a(a2－4ab＋4b2)＝a(a－2b)2. (2)－a2＋2a－2； 【解】－a2＋2a－2＝－(a2－4a＋4)＝－(a－2)2. 基础提优题 (3)(x2＋4)2－16x2； 【解】(x2＋4)2－16x2＝(x2＋4－4x)(x2＋4＋4x)＝(x－2)2(x＋2)2. (4)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9. 返回 【解】(a2－4)2＋6(a2－4)＋9＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a－1)2(a＋1)2. 基础提优题 知识点3 用完全平方公式分解因式的应用 6.如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn，9n2，25m2，15mn(m＞0，n＞0)，则大正方形的边长为(　　) A.5m＋9n　　　　　　 B.5m－3n C.25m＋9n　　　　　　 D.5m＋3n D 基础提优题 【点拨】因为9n2＋15mn＋25m2＋15mn＝25m2＋30mn＋9n2＝(5m＋3n)2，所以大正方形的边长为5m＋3n.故选D. 返回 基础提优题 8. 已知a－2b＝，ab＝2，则－a4b2＋4a3b3－4a2b4＝　　　. －1 8.【点拨】－a4b2＋4a3b3－4a2b4＝－a2b2(a2－4ab＋4b2)＝ －a2b2(a－2b)2，∵a－2b＝，ab＝2，∴原式＝－22×＝－1. 返回 7.利用因式分解计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝　　　. 16 基础提优题 返回 本题中a，b不容易求出，可以先分解因式，将所求整式整理成只含a－2b和ab的形式，然后求值即可. 基础提优题 9.一个长方形的长与宽分别为a，b，若该长方形的周长为14，面积为5，求3a4b2＋6a3b3＋3a2b4的值. 【解】∵长方形的长与宽分别为a，b，该长方形的周长为14，面积为5，∴ab＝5，a＋b＝7. 3a4b2＋6a3b3＋3a2b4＝3a2b2(a＋b)2＝3［ab(a＋b)］2. 将ab＝5，a＋b＝7代入可得， 原式＝3×(5×7)2＝3×352＝3 675. 返回 基础提优题 10.已知a，b，c为一个三角形的三边长，则4b2c2－(b2＋c2－a2)2的值为(　　) A.恒为正 B.恒为负 C.可正可负 D.非负 A 【点拨】原式＝(2bc＋b2＋c2－a2)(2bc－b2－c2＋a2)＝［(b＋c)2－a2］［a2－(b－c)2］＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(a＋b－c)(a－b＋c).∵a，b，c是三角形的三边长，∴b＋c＋a＞0，b＋c＞a，a＋b＞c，a＋c＞b.∴4b2c2－(b2＋c2－a2)2＞0. 返回 综合应用题 分解因式 三“检查” 一“提” 二“套” 课堂小结 谢谢观看 THANKS $