17.2 用公式法分解因式（第2课时) 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十七章　因式分解 17.2 用公式法分解因式 （第2课时） 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版八年级上册17.2第2课时《公式法——完全平方公式分解因式》专项练习（全文约1412字） ## 一、知识梳理 **完全平方公式因式分解** $\boldsymbol{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$ $\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$ 结构特征： 1. 多项式是**二次三项式**； 2. 首项、尾项都是**平方项，且符号为正**； 3. 中间项是首尾两项底数乘积的**2倍**，符号可正可负。 口诀：**首平方，尾平方，首尾两倍在中央；同号正，异号负，两项平方要为正**。 分解步骤： ① 先观察，**有公因式先提公因式**； ② 判断是否满足完全平方式； ③ 套用公式写成平方形式； ④ 检验：分解到不能继续分解为止。 易错提醒 1. 两个平方项必须同为正；一正一负不能用完全平方； 2. 中间项是“底数乘积的2倍”，容易漏掉系数2； 3. 系数是分数、负数时，要把整体看成底数，如$4x^2=(2x)^2$； 4. 区分：平方差是**两项**；完全平方是**三项**，不要混淆。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 下列多项式是完全平方式的是（） A.$x^2+2x-1$ B.$x^2-4x+4$ C.$x^2+xy+y^2$ D.$x^2+4$ 2. $x^2+6x+9$分解因式结果是（） A.$(x+3)^2$ B.$(x-3)^2$ C.$(x+9)^2$ D.$(x+3)(x-3)$ 3. $4a^2-4a+1=$（） A.$(2a+1)^2$ B.$(2a-1)^2$ C.$(4a-1)^2$ D.$(2a-1)(2a+1)$ 4. 分解$3x^2-12x+12$正确的是（） A.$3(x^2-4x+4)$ B.$3(x-2)^2$ C.$(3x-6)^2$ D.$3(x-2)(x+2)$ 5. 若$x^2+mx+16$是完全平方式，则$m$的值为（） A.$8$ B.$-8$ C.$\pm8$ D.$\pm4$ 6. $x^2y^2-2xy+1$分解因式是（） A.$(xy+1)^2$ B.$(xy-1)^2$ C.$(x-1)(y-1)$ D.$(xy-1)(xy+1)$ 7. 下列因式分解正确的是（） A.$x^2-2x-1=(x-1)^2$ B.$x^2+4x+4=(x+2)^2$ C.$9-6x-x^2=(3-x)^2$ D.$x^2+2xy-y^2=(x+y)^2$ 8. $-a^2+4ab-4b^2$分解因式正确的是（） A.$-(a-2b)^2$ B.$-(a+2b)^2$ C.$(-a-2b)^2$ D.$(a-2b)^2$ 9. 多项式$9x^2-12xy+4y^2$的中间项是（） A.$-12xy$ B.$12xy$ C.$-6xy$ D.$4y^2$ 10. 对二次三项式因式分解，第一步优先做（） A.直接套完全平方公式 B.先提取公因式 C.直接套平方差公式 D.分组分解 ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11.$a^2+2ab+b^2=$________；$a^2-2ab+b^2=$________。 12.$x^2-10x+25=$________。 13.$4x^2+4x+1=$________。 14.$2a^2-8a+8=$________。 15.$x^2-$________$+9=(x-3)^2$。 16.已知$\(a+b=4\)$，则$a^2+2ab+b^2=$________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）分解因式： （1）$x^2-14x+49$；（2）$25m^2+20mn+4n^2$ 18.（12分）分解因式： （1）$2x^3-8x^2+8x$；（2）$(a+b)^2-4(a+b)+4$ 19.（12分）先因式分解，再求值： $4x^2(x-1)-4x(x-1)+(x-1)$，其中$\(x=2\)$。 ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.B 7.B 8.A 9.A 10.B **填空题**： 11.$(a+b)^2$，$(a-b)^2$；12.$(x-5)^2$；13.$(2x+1)^2$；14.$2(a-2)^2$；15.$6x$；16.$16$ **解答题** 17.解： （1）$x^2-14x+49=x^2-2\cdot x\cdot7+7^2=\boldsymbol{(x-7)^2}$ （2）$25m^2+20mn+4n^2=(5m)^2+2\cdot5m\cdot2n+(2n)^2=\boldsymbol{(5m+2n)^2}$ 18.解： （1） $\begin{align*} 2x^3-8x^2+8x&=2x(x^2-4x+4)\\ &=\boldsymbol{2x(x-2)^2} \end{align*}$ （2） $\begin{align*} (a+b)^2-4(a+b)+4&=(a+b)^2-2\cdot(a+b)\cdot2+2^2\\ &=\boldsymbol{(a+b-2)^2} \end{align*}$ 19.解： $\begin{align*} &4x^2(x-1)-4x(x-1)+(x-1)\\ =&(x-1)(4x^2-4x+1)\\ =&(x-1)(2x-1)^2 \end{align*}$ 代入$\(x=2\)$： $\begin{align*} \(\begin{align*} 原式&=(2-1)\times(4-1)^2\\ &=1\times9=9 \end{align*}\)&=(2-1)\times(4-1)^2\\ &=1\times9=9 \end{align*}$ 答：代数式的值为$9$。 本节核心：认准三项式，两个平方项为正，中间是2倍乘积。高频易错：漏掉系数2；平方项符号为负还强行套用；忘记先提公因式。完全平方公式是因式分解必考大题。 下一节：**17.3 第1课时 分组分解法**，同样1412字专项练习吗？ 学习目标 了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解. 一 体会逆向思维，转化思想和整体思想，发展代数推理能力和运算素养，培养严谨的数学思维习惯. 二 复习引入 原题重现 用两种方法表示图中图形的面积： a2+2ab+b2 (a+b)2 = 复习引入 原题重现 用两种方法表示图中图形的面积： a2−2ab+b2 (a−b)2 = 思考：多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？ 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方． 我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式． a2＋2ab＋b2 a2－2ab＋b2 利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式． 探究新知 思考：多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？ 把整式乘法的完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ． 的等号两边互换，就得到 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2． 探究新知 完全平方公式 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2． 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 探究新知 例1：分解因式． （1）x2＋4x＋4； （2）16x2－24x＋9． 分析：在（1）中，由于4＝22，4x＝2·x·2，所以x2＋4x＋4是一个完全平方式，即 x2＋4x＋4＝x2＋2·x·2＋22  a2＋2·a·b＋b2 解：（1）x2＋4x＋4 ＝x2＋2·x·2＋22 ＝(x＋2)2； 探究新知 例1：分解因式． （1）x2＋4x＋4； （2）16x2－24x＋9． 分析：在（2）中，由于16x2＝(4x)2，9＝32，24x＝2·4x·3，所以16x2－24x＋9是一个完全平方式．即 16x2－24x＋9 ＝ (4x)2－2·4x·3＋32   a2 ＋ 2· a· b＋b2 解：（2）16x2－24x＋9 ＝(4x)2－2·4x·3＋32 ＝(4x－3)2． 探究新知 　可套用完全平方公式的式子的特点 （1）含有三部分； （2）有两部分可以分别写成某个数（或式子）的平方，并且这两部分的符号相同； （3）第三部分是这两个数（或式子）的乘积的 2 倍． 探究新知 例2：分解因式． （1）(a＋b)2－12(a＋b)＋36； （2）－x2＋4xy－4y2． 分析：在（1）中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36； 对于（2），可通过添括号将原式写成－(x2－4xy＋4y2)，括号内的式子为完全平方式． 解：（1）(a＋b)2－12(a＋b)＋36 ＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62 ＝(a＋b－6)2； （2）－x2＋4xy－4y2 ＝－(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝－(x－2y)2． 探究新知 　　可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式．运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1．下列多项式中，是完全平方式的为（    ） A． B． C． D． A 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． D 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．因式分解： (1)； (2)． 解：（1）原式 （2） 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有 个． 2 解：由完全平方公式，设， 比较系数得，解得， 于是，即， 解得， 因此整数的值有2个． 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． ②求的最小值． 解： ①原式 ②原式 ， ， ， 即的最小值为2． 当堂检测 【综合拓展类练习】 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 解：（1） ； （2） ， ， ， 即的最小值为． 当堂检测 8.如图，在一个边长为a cm的正方形木板上，锯掉四个边长为b cm(b＜)的小正方形.当a＝18，b＝6时，求剩余部分的面积. 【解】剩余部分的面积为(a2－4b2)cm2.当a＝18，b＝6时，原式＝(a＋2b)(a－2b)＝(18＋2×6)×(18－2×6)＝180，所以剩余部分的面积为180 cm2. 返回 基础提优题 9.某同学粗心大意，分解因式时，把式子a4－⊕＝(a2－b)(a2＋b)中的一部分弄污了，那么式子中⊕所对应的代数式是 (　　) A.b2　　 B.－b2　　 C.b　　 D.－b A 返回 综合应用题 10.若＝8×10×12，则k的值为(　　) A.8　　 B.9　　 C.10　　 D.11 C 【点拨】∵＝8×10×12， ∴k＝＝＝10. 返回 综合应用题 11. 小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a－b，5，x2－y2，a＋b，x－y，x＋y分别对应强、我、祖、爱、国、有.现将5a(x2－y2)－5b(x2－y2)因式分解，则结果呈现的密码信息可能是(　　) A.我爱祖国 B.强国有我 C.我爱国 D.我有祖国 B 返回 综合应用题 12. 若多项式4a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值共有　　个. 5 返回 综合应用题 13. 计算：(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)× (1－)＝　　. 【点拨】原式＝(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×…×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)＝×××× ××…××××＝×＝. 返回 综合应用题 14. 利用因式分解计算： (1)3412－1592； 【解】原式＝(341＋159)×(341－159) ＝500×182＝91 000. 综合应用题 (2)123 456 7892－123 456 788×123 456 790. 【解】原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1) ＝123 456 7892－(123 456 7892－1) ＝1. 返回 综合应用题 15. 如图所示的两个长方形用不同的形式拼成图①和图②两个图形. (1)图①中阴影部分的面积为　　　　，图②中阴影部分的面积为　　　 　(用含字母a，b的代数式表示). a2－b2 (a＋b)(a－b) 综合应用题 (2)由(1)你可以得到等式　 　. a2－b2＝(a＋b)(a－b) 综合应用题 (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：6212－1482－769×373； 【解】原式＝(621＋148)×(621－148)－769×373＝769×473－769×373＝769×(473－373)＝769×100＝76 900. 综合应用题 ②解方程：(x＋1)2－(x－1)2＝－4. 【解】(x＋1)2－(x－1)2＝－4， (x＋1＋x－1)(x＋1－x＋1)＝－4， 2x×2＝－4， x＝－1. 返回 综合应用题 完全平方公式 a2±2ab＋b2＝(a±b)2 完全平方式 运用完全平方公式分解因式 平方差公式 a2b2=(a+b)(ab) 公式法 课堂小结 谢谢观看 THANKS $