2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册综合检测

选择性必修一综合检测 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知空间向量，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2.已知直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.如图，四边形为矩形，，若，和都是等边三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 4.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右顶点，离心率.过点的直线上存在点，使得轴，且是等腰三角形，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5.已知分别是双曲线的中心和右焦点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于两点（点异于原点），若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6.如图所示，在直三棱柱中，，且，，，点在棱上，若三棱锥的体积为，则直线与平面所成角的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 7.已知抛物线上两点到焦点的距离分别是，若，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 8.已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A.两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B.直线的方向向量，平面的法向量，则 C.两个不同的平面的法向量分别是，，则 D.直线的方向向量，平面的法向量，则 10.已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ） A.两圆有两条公切线 B.直线的方程为 C.线段的长为 D.若点在圆上，点在圆上，则的最大值为 11.设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A.当点不在轴上时，的周长是 B.当点不在轴上时，面积的最大值为 C.存在点，使 D.的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图所示，在平行四边形中，，，若将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离为________. 13.(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则的离心率为________. 14.如图，在抛物线形拱桥的示意图上建立平面直角坐标系，根据图上尺寸，可知拱桥所在抛物线的方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在平面直角坐标系中，圆过点，但不经过点，且圆心在直线上，并且直线与圆相交所得的弦长为. (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程. 16.(15分)如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，平面平面，是等边三角形，已知，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 17.(15分)已知圆，圆，分别为两圆的圆心. (1)求圆和圆的公共弦长； (2)过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 18.(17分)如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，. (1)求证：平面； (2)当的长为何值时，二面角的大小为？ 19.(17分)已知椭圆的左、右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)如图，若斜率为的直线与轴、椭圆顺次交于三点（点在椭圆左顶点的左侧）且，证明直线过定点，并求出斜率的取值范围. 参考答案 1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.C 7.C 8.D 9.AC 10.AD 11.ABD 12.或 解析:因为，所以.同理. 因为在三棱锥中，与成角，所以或. 又，所以 ，所以或. 13. 解析:如图， 由题意知，，所以，解得.当时，，即，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率. 14. 解析:设拱桥所在抛物线的方程为，由图可知，抛物线经过点，代入方程，解得，所以拱桥所在抛物线的方程为. 15.解:(1)设所求圆的方程为，由题意得. 设圆心到直线距离为，， 由，得. 将代入，得， 又圆不经过点，所以， 所以所求圆的方程是. (2)因为点在圆上，，过点的切线斜率为， 所以过点的切线方程是，即. 16.(1)证明:在中，因为，所以，所以. 因为平面平面，而平面，所以平面平面. (2)解:如图所示， 建立空间直角坐标系， 则点， 则，. 设平面的一个法向量， 则即 令，则. ，设直线与平面所成的角为，则，， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 17.解:(1)两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为， 则圆，圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆和圆的公共弦长为. (2)圆，圆，半径为. 当直线的斜率不存在时，与圆相切，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以或， 所以直线的方程为或. 18.(1)证明:因为，所以平面， 因为，所以，又，所以平面， 所以平面平面，故平面. (2)解:以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，， 则点. 因为， 又， 所以解得或(舍去). 所以点. 设与平面垂直，则，， 所以 令，得所以. 又平面，二面角的大小为， 所以，解得. 当时，二面角的大小为. 19.(1)解:因为椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，所以，即.设以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为，因为直线与圆相切，所以，即， 所以椭圆的方程为. (2)证明:设点， 因为，可得直线和关于轴对称，所以，即，所以.① 设直线，代入椭圆方程，可得.因为判别式，所以.② ，③ ， 代入①，可得，将③代入，化简可得， 则直线的方程为，即，所以直线恒过定点. 将代入②，可得，又，解得或. 则直线的斜率的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $