第一、二章综合检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何、直线和圆的方程综合应用，以基础题型为载体，强化知识内在逻辑与核心素养培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量与立体几何|约10题（如解答15线面平行证明、18二面角计算）|基础题考查向量运算（夹角、平行），中档题涉及几何证明，难题结合动态问题|空间向量为立体几何提供代数工具，体现几何问题代数化逻辑| |直线与圆的方程|约9题（如单选3平行直线参数、解答19面积最小问题）|基础题侧重公式应用（斜率、距离），中档题综合直线与圆位置关系，难题考查最值求解|直线与圆方程构建几何图形代数表达，强化数形结合思想|

人教A版高二数学选择性必修一第一、二章综合检测卷 姓名： 班级： 得分： 【注意事项】 ①．适用章节：第一章 空间向量与立体几何＋第二章 直线和圆的方程 ②．试卷难度：常规综合卷（侧重基础知识、基本公式、常规题型＋适当提升） ③．考试时长：120分钟 满分：150分 ④．题型结构：适配普通高中试卷结构，单选8题+多选3题+填空3题+解答题5题，难度配比：基础60%、中档30%、难题10%。 ⑤.检测时间：2026年9月份末 1.直线的斜率为（ ） A. B. 　 C. 　 D. 2.已知向量，，则（ ） A.　 B. 　 C. 　 D. 3.若直线与直线平行，则（ ） A. 　 B. 　 C. 2　 D. 4.已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知两点和到直线的距离相等，则的值为（ ） A.0或 B.0或 C.或 　 D.6或 6.过点且与直线 平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7.在中，已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 8.在中，点为边上靠近点的三等分点，点为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题；（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。） 9.关于两直线与平行，说法正确的是（ ） A.的值为　 B.它们之间的距离为 C.的值为 D.它们之间的距离为 10.已知空间两点，，则下列结论成立的是（ ） A.　 B. C.直线PQ的方向向量可为　 D.PQ中点坐标 11.关于非零向量，下列结论正确的是（ ） A. 若存在向量，使得，则 B. 若 ，，且，则 C. 若 ，那么与的夹角为60° D.若满足,则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知空间向量，则=________。 13.已知点P在直线2上，且位于第一象限内，若P点到直线距离为，则P点的坐标为________。 14.过点作圆C：的切线，切点分别为A、B，则的最小值为 。 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，,和分别是，的中点，求证： （1）； （2）。 16.（14分）已知圆C：，直线：. （1）求直线恒过定点； （2）当直线被圆C截得的弦最短时，求的值。 17.（15分）设是不共线的两个非零向量 （1）若，求证：A,B,C三点共线； （2）若与共线，求实数的值； （3）当，，若存在向量，使得，求实数的值。 18.（17分）已知直三棱柱中，侧面为正方形， ，分别为和的中点，为棱上的点，。 （1）证明：； （2）求向量与的余弦值； （3）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？ 19.（18分）直线的方程 （1）证明：无论为何值，直线直线过定点； （2）若直线与圆C：有交点，求实数的取值范围； （3）已知点为坐标原点，若直线分别于轴、轴相交于A、B两点，当的面积最小时，求直线的方程。 参考答案与详细解析 1.【答案】C 【解析】直线化成斜截式方程：，所以斜率， 【考查点】考查直线的斜率。 2.【答案】A 【解析】空间向量夹角公式： 【考查点】考查空间向量夹角。 3.【答案】A 【解析】直线，即； 直线，即。 两直线平行，斜率相等：，则 【考查点】考查平行直线之间的斜率关系。 4.【答案】D 【解析】，，两向量平行： 【考查点】考查平行向量求参数。 5.【答案】C 【解析】点到直线距离公式： A(3,2)、B(-1,4)到距离相等： 分母相同，去掉分母： 情况1： 情况2： 所以或 【考查点】考查点到直线的关系。 6.【答案】A 【解析】设平行直线方程为，代入P(1,2)：即解得，所以方程为。 【考查点】考查与直线平行的直线方程。 7.【答案】C 【解析】已知， 因为 ， 又代入 所以，故 【考查点】考查向量求未知参数。 8.【答案】C 【解析】已知D点为BC上靠近B的三等分点；E为AB中点， 由得 为， 所以 【考查点】考查平面向量的运用。 9.【答案】AD 【解析】两直线方程：与 两条直线平行，则对应系数成比例： 所以A正确，C错误。 把两直线化为同系数：和 平行直线距离公式：即 所以距离是，D正确，B错误。 【考查点】考查两平行直线方程的运用。 10.【答案】ABD 【解析】已知 P(1,-2,3)，Q(3,4,5)。 A选项：向量✅正确 B选项： 正确 C选项：直线PQ的方向向量是的非零倍数，可以简化为(1,3,1)，不是(1,-3,1) 错误 D选项：PQ中点坐标为 正确 【考查点】考查空间向量的相关运算。 11.【答案】CD 【解析】选项A：只说明，不一定错误 选项B： ，，且，平行条件：，不是-3。错误 选项C：设 则 设与的夹角为： ✅正确 选项D:已知，两边平方： 得 要判断的关系，两边都平方： 左边平方： 右边平方： 因为 因为是非零向量，所以不等式成立。正确 【考查点】考查平面向量的运用 12.【答案】 【解析】已知 则向量相加对应分量相加： 【考查点】考查空间向量的运算。 13.【答案】 【解析】点P在直线上，所以可设，且P在第一象限：，即。 点到直线距离公式：点到的距离： 直线方程：， 所以即 分两种情况： ①.（第一象限，舍去） ②. 代入求： 所以P坐标为 【考查点】考查点到直线的方程。 14.【答案】0 【解析】圆C:，圆心，半径r=1。 圆心C满足：令，消得，即圆心在定直线上运动。 点，PA,PB是切线，A,B切点。 |PC|：点P到圆心C距离； 。 是到直线的距离 因为，所以 设 ，则 因为在上单调递增，所以为的最小值 即 则 【考查点】考查平面向量的综合应用 15.【解析】证明：（1）取的中点，连接。 因为N是PC中点，E是PD中点 所以是的中位线， 。 底面ABCD为矩形，M为AB中点： ，。 平行且等于 四边形AMNE是平行四边形。 所以 又，， 由线面平行判定定理得 （2）， 则。 底面ABCD是矩形，则。 ，，。 根据线面垂直判定定理：垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直 所以 【考查点】考查线面平行和垂直。 16.【解析】（1）直线方程： 把含的项合并，整理： 直线恒过定点，即该点坐标对任意都满足方程，所以令m的系数和常数项都等于0： 则解得 所以直线l恒过定点 （2）圆C的方程：，圆心C(0,2)，半径 先判断定点和圆的位置关系： 计算，说明点在圆C外面。 圆的弦长性质：过圆外定点P作圆的割线，当时，弦长最短。 先求： 直线的方程： 若，则，其斜率为。 垂直条件：，故 化简：解得 验证：时直线方程变为，斜率不存在；此时CP斜率为7，是竖线，两者不垂直，故舍去的情况。 【考查点】考查直线与圆的方程。 17.【解析】（1）已知是不共线的两个非零向量 向量 因为，与共线。又、有公共点A， 所以 A,B,C三点共线。 （2）两个向量共线，则存在实数，使得： 整理： 又因为向量不共线（非零），系数必须同时为0： 综合解得： 所以实数的值为。 （3） 它等于 )，坐标对应相等，列方程组： 综合解得 ： 【考查点】考查空间向量的运用。 18.【解析】（1）由题意知，以B为原点：BC为轴，BA为轴，为轴建立空间直角坐标系。 , , ,),,。 E是AC中点：；F是中点，则。 D在上，设，则。 向量，。 则 所以，即。 （2）向量。 模长： 向量数量积： 夹角余弦： （3）平面在平面上，令平面的一个法向量。 求平面DFE的法向量 因为 故 消元两式相加：，令，则，代入，。 得到。 设面与面所成的二面角为， 则 化简分母： 所以 ，要最小，等价于最大，即分母最小。 设二次函数，函数开口向上，对称轴，即时取得最小值。 因为，所以当时，二面角的正弦值最小。 【考查点】考查几何体的综合应用。 19.【解析】（1）整理方程，按分组 即 令解得： 把代入原直线： 左边==右边。 所以无论取何实数，直线恒过定点 （2） 圆C的圆心，半径 直线与圆有交点，等价于圆心到直线的距离 直线方程 圆心到直线的距离公式： 两边同时平方的： 展开得： 化简得： 所以实数的取值范围为 （3）求A点： 所以 求B点 所以 故 的面积: 令 故 所以 当， 由基本不等式： 当且仅当 此时故 代入直线方程： 化简得： 验证时，为负数，面积会更大，最小值在取得。 【考查点】考查直线方程与不等式的综合运用。 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 命题双向细目表 题号 题型 分值 对应知识点 难度 预估得分率 考查层级 1 单选 5 直线斜率 基础 0.95 理解运用 2 单选 5 向量夹角余弦值 基础 0.85 理解运用 3 单选 5 平行直线求未知参数 基础 0.85 理解运用 4 单选 5 平行向量求未知参数 基础 0.8 理解应用 5 单选 5 点到直线距离求参数 中档 0.75 基础应用 6 单选 5 过定点求平行直线 基础 0.95 基础应用 7 单选 5 向量求未知参数 中档 0.7 能力迁移 8 单选 5 向量运用 中档 0.75 能力迁移 9 多选 6 平行直线 基础 0.95 辨析判断 10 多选 6 向量运算 中档 0.75 辨析判断 11 多选 6 向量性质考查 中档 0.75 能力迁移 12 填空 5 向量运算 基础 0.95 理解运算 13 填空 5 点到直线距离求参数 基础 0.85 基础运用 14 填空 5 向量＋直线与圆的方程 拔尖 0.60 综合运用 15 解答 13 空间几何体 基础 0.85 判断证明 16 解答 14 直线方程的运用 中档 0.75 能力迁移 17 解答 15 向量性质考查 中档 0.75 综合应用 18 解答 17 向量与空间几何体 中档 0.75 证明+能力迁移 19 解答 18 直线方程的运用 拔尖 0.6 性质综合 $