重难专题05 圆与圆的位置关系（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题05 圆与圆的位置关系 常考题型·精准突破 考点一 ：圆与圆的位置关系 题型1 圆与圆的位置关系判断（重） 题型2 圆与圆的位置关系求参数会范围（高频） 考点二：圆与圆相交的问题 题型1 求两圆相交的公共弦方程（重） 题型2求两圆相交的公共弦长（高频） 考点三：隐圆和最值问题 题型1 隐圆问题（难） 题型2 圆与圆的最值问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆与圆的位置关系 题型1 圆与圆的位置关系判断 1．圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 2．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 3．已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 4．已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 5．已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 题型2 圆与圆的位置关系求参数会范围 6．若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 7．已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 8．已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 9．已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 10．已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 考点二 点与圆的位置关系 题型1 求两圆相交的公共弦方程 11．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 12．若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 13．已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 14．已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 15．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 题型2 求两圆相交的公共弦长 16．圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 17．设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 18．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 19．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 20．已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 【答案】4 【分析】联立两圆方程，求得公共弦所在直线方程，根据圆心到公共弦所在直线的距离，由几何法求得公共弦长. 【详解】圆与圆相交于，两点， 所以，两点坐标均满足两圆方程. 由，可得，即， 故两圆公共弦所在的直线方程为； 因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则公共弦的长为4． 考点三 隐圆和最值问题 题型1 隐圆问题 21．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 22．已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2， 所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以直线上至少存在一点使得， 所以点到直线的距离小于， 即，解得， 所以的取值范围是. 23．已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 24．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 25．已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 26．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 27．若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 28．已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为直径的圆上，根据圆与圆的位置关系可得的范围. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 题型2 圆与圆的最值问题 29．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为． 【详解】设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 30．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 31．过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得以为直径的圆的方程，与圆方程相减得到直线方程，进而可求解. 【详解】因为是圆的切线，所以， 所以是圆与以为直径的圆的公共弦，的中点为， 可得以为直径的圆的方程为①， 又因为②， ①与②相减得，直线，即， 由可得， 即过定点，点位于圆内部． 设圆心到直线的距离为，则， 当时，最大，最小， 由题可知，所以． 32．已知，，则的最小值为（   ） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】将，看成两点间距离的平方，将问题转化成两圆上点的距离求解. 【详解】将， 设， 由，， 得点在以为圆心，为半径的圆上， 点在以为圆心，为半径的圆上， 两圆心距，两圆内含， 所以，， 则. 33．已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 【答案】AD 【分析】求出判断A；确定两圆位置判断B；求出公共弦所在直线方程判断C；分类求出点的轨迹求解判断D. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，， 对于A，由圆过点，得，圆：过原点，A正确； 对于B，当时，，圆内切于圆，两圆有一条公切线，B错误； 对于C，当圆与圆相交时，，即，两圆公共弦所在直线方程为， 由相交弦所在直线过点，得，解得，C错误； 对于D，由以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，得或或， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为1， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 因此P到点距离的最小值为，D正确. 34．已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B．若，则的最大值为 C．若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D．若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据一般方程表示圆的条件即可判断；对于B，时，可知圆心，半径，结合设，即，再根据点到直线的距离求解；对于C，求出圆心到直线的距离，最小值用即可；对于D，设点到圆心的距离为，，得到，结合两圆位置关系求出的范围，再由单调性求最值即可． 【详解】解：对于A，因为曲线表示圆，所以，解得，故A不正确； 对于B，当时，，即，， 其圆心，半径， 设，即，所以点在直线上， 所以直线和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得，故B正确； 对于C，因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最小值， 等于圆心到的距离减去其半径，所以最小值为，故C正确； 对于D，设点到圆心的距离为，圆的半径为，，则，    所以，则， 所以， 因为， 所以，即，所以， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以最小值取不到， 又因为在上单调递增，所以当时，取最小值为，故D不正确． 35．已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标与半径，再求出圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即为的最小值. 【详解】作出图形，如图所示： 圆关于轴的对称圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由图象可知当三点共线时，取得最小值，同时取得最小值， 所以的最小值为. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 2．若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 3．已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    4．已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 5．已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得成立，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定信息，结合几何图形得知为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线上存在两点，使得成立， 以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图， 圆心到直线的距离， 所以. 6．与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点的轨迹为圆，设为弦的中点，再由向量的加法运算和圆与圆的位置关系可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标为， 直线恒过点，直线恒过点， 因为，所以，则，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为， ， 故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中， 若点为弦的中点，位置关系如图：     ，连接，由，易知， 故点在以为圆心，半径为1的圆上， ，直线为， 联立与得或（舍去）， 又点为圆上的点， ， 此时. 故选：B 二、多选题 7．已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 【答案】BD 【分析】对于A，根据两圆外切判断；对于B，结合，半径相等即可判断；对于C，根据图象，当直线过点，则，直线方程为时，满足；当和时，满足，进而判断C；对于D，结合题意得，再求最值即可判断. 【详解】已知圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 弦长公式：，其中为圆心到直线的距离， 对于A选项，，故圆与圆外切，没有公共弦，故A选项错误； 对于B选项，直线过点，代入得，直线方程：， 圆心到直线距离： 圆心到直线距离： 所以，又两圆半径相等，故弦长恒成立，B选项正确； 对于C选项，由B知，当直线过点，则， 因为，故，又 所以，由弦长公式，，解得， 所以，当时，. 当直线为水平线时，， 因为，即，即， 整理得，解得或 所以，当和时，， 综上，满足条件的直线多于2条，故C错误； 对于D选项，当，直线，即，， 所以，， 因为，当时取得等号， 所以，，当时取得等号，即取得最大值， 此时直线，截两圆弦长均为直径，，故D选项正确. 8．已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 9．记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 【答案】BCD 【分析】对A直接由两圆相内切得，所以A错误；对B由圆的弦长公式及三角形的中位线定理可得；对D由圆心角与圆周角的关系可得；对C由正弦定理并结合BD选项解析可得. 【详解】对于A，圆，圆心，半径， 整理圆， 圆心，半径. 两圆相内切且半径大于半径，圆心距，得， 因此，解得，故选项A 错误； 对于B，由A选项分析知时，圆方程为，点在圆上， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则圆到直线的距离，所以， 则圆到直线的距离，， 所以，即为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 若直线的斜率不存在，则，点仍为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 综上所述，，所以B正确； 对于D，根据圆周角与圆心角的关系，且（当直线过圆心时，）， 所以，故D正确； 对于C，当时，由B选项解析知， 在中，由正弦定理得， 得或， 由D选项解析可知，所以. 当时，在中由正弦定理|， 得，故，故C正确. 10．已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；直线与圆的位置关系和三角形的面积公式计算即可判断B；如图，确定当取最小值时取得最小值，结合点与圆的位置关系计算即可判断C；设，根据平面向量数量积的定义，由选项C可得，结合换元法和基本不等式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 且，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，当与圆相切时，， 所以的面积为，故B正确． 对于C，连接，则， 当取最小值时取得最小值， 又，所以，故C正确； 对于D，设，则， 在中，，则， 由对C的分析，知， 所以， 令，则，， 当且仅当时等号成立，故D错误． 三、填空题 11．若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】利用可得到点在圆上，再结合已知条件可将问题转化为圆与圆有公共点的问题即可求解. 【详解】设， ，，，， ，，即，化简得， 在以为圆心，为半径的圆上， 又点在圆上，两个圆有公共点， 设圆心距为，则，又， ，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 13．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】首先求直线和所过的定点，再根据两直线的位置关系，求点的轨迹方程，再利用数形结合，利用极化恒等式转化数量积，并求最小值. 【详解】由知：圆心，半径； 由得，所以恒过定点； 由得，所以恒过定点； 由直线方程可知：，所以，所以，即， 设，则，， 所以，整理得， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在，则无法表示直线， 而无法表示直线，所以点轨迹不包含； 记点为弦的中点，则，位置关系如图：    连接，由知：， 则， 所以（当在处取等号）， 即的最小值为. 故答案为： 四、解答题 14．已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； (2)设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，求的取值范围； (3)设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在或或 【分析】（1）圆与圆相减得公共弦方程；是关于直线的对称点，两圆半径相等； （2）设，则，将表示成的函数求解范围； （3）若存在，使 为定值，则由整理后的方程系数为求解. 【详解】（1）如图所示，由， 两式相减 ，得 ， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ， 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得 圆方程为. （2）由相切，知 ，设，则， 故 ， 令，易知在单增，故（当时取等号）， 的取值范围是. （3）由题设，满足方程 ， 若存在，使 为定值， 而， ， 整理得 ， 将 代入，得 ， 整理可得 ， 要使 为定值，则 ， 解得 或 . 综上，存在或，使 为定值，该定值对应为或. 15．已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据，得出动点的轨迹方程； （2）（i）两圆作差，得出公共弦所在直线的方程，求出圆心和半径，从而得出圆的方程； （ii）先假设存在这样的点，根据条件得，通过根与系数的关系，求出的值. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆与圆的位置关系 常考题型·精准突破 考点一 ：圆与圆的位置关系 题型1 圆与圆的位置关系判断（重） 题型2 圆与圆的位置关系求参数会范围（高频） 考点二：圆与圆相交的问题 题型1 求两圆相交的公共弦方程（重） 题型2求两圆相交的公共弦长（高频） 考点三：隐圆和最值问题 题型1 隐圆问题（难） 题型2 圆与圆的最值问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆与圆的位置关系 题型1 圆与圆的位置关系判断 1．圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 2．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 4．已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 题型2 圆与圆的位置关系求参数会范围 6．若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 考点二 点与圆的位置关系 题型1 求两圆相交的公共弦方程 11．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 12．若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 13．已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 题型2 求两圆相交的公共弦长 16．圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 17．设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 18．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 19．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 20．已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 考点三 隐圆和最值问题 题型1 隐圆问题 21．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 27．若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2 圆与圆的最值问题 29．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 30．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 31．过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．已知，，则的最小值为（   ） A．1 B．9 C．16 D．25 33．（多选）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 34．（多选）已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B．若，则的最大值为 C．若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D．若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 35．已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 4．已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得成立，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 6．与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 8．已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 9．记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 10．已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 11．若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是___________． 13．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为_____. 四、解答题 14．已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； (2)设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，求的取值范围； (3)设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 15．已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆与圆的位置关系 常考题型·精准突破 考点一 圆与圆的位置关系 题型1 圆与圆的位置关系判断 1． 【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】 题型2 圆与圆的位置关系求参数会范围 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】C 考点二 圆与圆相交问题 题型1 求两圆相交的公共弦方程 11.【答案】A 12．【答案】B 13．【答案】D 14．【答案】A 15．【答案】 题型2 求两圆相交的公共弦长 16． 【答案】C 17．【答案】D 18．【答案】D 19．【答案】 20．【答案】4 考点三 隐圆和最值问题 题型1 隐圆问题 21．【答案】C 22．【答案】A 23．【答案】A 24．【答案】D 25．【答案】C 26．【答案】D 27．【答案】D 28．【答案】A 题型2 圆与圆的最值问题 29．【答案】B 30．【答案】C 31．【答案】C 32．【答案】D 33．【答案】AD 34．【答案】BC 35． 【答案】/ 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】B 二、多选题 7．【答案】BD 8．【答案】BC 9．【答案】BCD 10．【答案】BC 三、填空题 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】/ 四、解答题 14．【答案】(1) (2) (3)存在或或 【详解】由知：圆心，半径； 由得，所以恒过定点； 由得，所以恒过定点； 由直线方程可知：，所以，所以，即， 设，则，， 所以，整理得， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在，则无法表示直线， 而无法表示直线，所以点轨迹不包含； 记点为弦的中点，则，位置关系如图：    连接，由知：， 则， 所以（当在处取等号）， 即的最小值为. 故答案为： 四、解答题 14．【答案】(1) (2) (3)存在或或 【分析】（1）圆与圆相减得公共弦方程；是关于直线的对称点，两圆半径相等； （2）设，则，将表示成的函数求解范围； （3）若存在，使 为定值，则由整理后的方程系数为求解. 【详解】（1）如图所示，由， 两式相减 ，得 ， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ， 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得 圆方程为. （2）由相切，知 ，设，则， 故 ， 令，易知在单增，故（当时取等号）， 的取值范围是. （3）由题设，满足方程 ， 若存在，使 为定值， 而， ， 整理得 ， 将 代入，得 ， 整理可得 ， 要使 为定值，则 ， 解得 或 . 综上，存在或，使 为定值，该定值对应为或. 15．【答案】(1) (2)（i） （ii） 【详解】（1）如图所示，由， 两式相减 ，得 ， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ， 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得 圆方程为. （2）由相切，知 ，设，则， 故 ， 令，易知在单增，故（当时取等号）， 的取值范围是. （3）由题设，满足方程 ， 若存在，使 为定值， 而， ， 整理得 ， 将 代入，得 ， 整理可得 ， 要使 为定值，则 ， 解得 或 . 综上，存在或，使 为定值，该定值对应为或. 15．【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据，得出动点的轨迹方程； （2）（i）两圆作差，得出公共弦所在直线的方程，求出圆心和半径，从而得出圆的方程； （ii）先假设存在这样的点，根据条件得，通过根与系数的关系，求出的值. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $