第7讲 图形的位似 优等生讲义(知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第7讲 图形的位似 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解位似图形的概念：相似+对应顶点连线交于一点 · 掌握位似图形的性质：对应边平行、对应点到位似中心距离比=相似比 · 会在网格中画位似图形 · 掌握以原点为位似中心的坐标变化规律 · 能确定位似中心坐标并解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.位似图形概念 两个相似多边形，如果对应顶点连线交于一点，对应边互相平行，则位似 交点O叫做位似中心 对应边的比叫做位似比（相似比） 位似是一种特殊的相似，对应边互相平行 概念辨析例题：△ABC与△A'B'C'位似，O为位似中心，OA=2，OA'=6，求位似比 解析：位似比=OA：OA'=2：6=1：3 ☆ 2.位似图形性质 对应点到位似中心的距离之比等于位似比k 对应边互相平行（或共线） 周长比=k，面积比=k2 位似中心可在图形内、图形外、图形上 概念辨析例题：△ABC∽△A'B'C'位似，相似比1：2，△ABC周长为6，则△A'B'C'周长为多少？ 解析：周长比=相似比=1：2，6：C=1：2，C=12 ☆ 3.画位似图形 确定位似中心O 连接并延长对应顶点与O的连线 按位似比k截取新顶点 顺次连接新顶点得到位似图形 概念辨析例题：在6×6网格中以O为位似中心，将△ABC放大2倍画出△A'B'C' 解析：连接OA、OB、OC并延长至A'、B'、C'使OA'=2OA，再顺次连接 ☆ 4.平面直角坐标系中的位似 以原点O为位似中心、相似比k放大：(x,y)→(kx,ky) 缩小为原来的：(x,y)→(,) 位似图形可在原点同侧或异侧（异侧坐标乘-k） 位似中心在任意点时，先平移到原点再缩放再平移回 概念辨析例题：A(6,7)、B(10,4)，以原点为位似中心缩小，求B对应点D 解析：位似比，D=(10×,4×)=(5,2) 📋 知识总结表 要点 公式/规律 注意 位似条件 相似+对应顶点连线共点+对应边平行 缺一不可 位似比 k=对应点到O距离之比 有顺序 周长比 周长比=k 与相似一致 面积比 面积比=k2 平方 原点为中心放大k倍 (x,y)→(kx,ky) 异侧则乘-k 位似中心确定 两组对应点连线交点 在网格中作图 ⚠️ 核心考点 【考点1】位似图形的概念和性质（第1-5题） · 位似必相似，但相似不一定位似 · 对应点到位似中心距离比=位似比 · 周长比=k，面积比=k2 · 对应边互相平行（或共线） 1．（2025秋•罗湖区校级月考）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，且点O在线段AA1上．若A1O＝2AO，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（　　） A．8 B．12 C．18 D．24 【分析】由题意得△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，且点O在线段AA1上，A1O＝2AO， ∴△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2， ∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2， ∵△ABC的周长为6， ∴△A1B1C1的周长是2×6＝12． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 2．（2025秋•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，位似中心为原点O．若点A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣6，0），则点D（4，﹣2）的对应点D′的坐标为（　　） A．（8，﹣4） B．（﹣4，8） C．（4，﹣8） D．（﹣8，4） 【分析】先利用点A和点A′的坐标特征得到两位似图形的位似比为2，然后把点D的横纵坐标都乘以2得到点D′的坐标． 【解答】解：∵点A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣6，0）， ∴五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的位似比为2， ∴D（4，﹣2）的对应点D′的坐标为（8，﹣4）． 故选：A． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 3．（2025秋•达州校级期中）如图，△ABC与△DEF是点O为位似中心的位似图形，BC：EF＝2：3，若OB＝8，则BE的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】根据位似图形的定义得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△OBC∽△OEF， ∴， ∴， ∴OE＝12 ∴BE＝OE﹣OB＝4， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 4．（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：9， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5．（2024•大荔县一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则下列结论正确的有（　　） ①；②；③△BCO∽△EFO；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，BC∥EF，再根据相似三角形的性质判断即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为1：2， ∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，BC∥EF，， ∴△AOC∽△DOF，△BCO∽△EFO，（）2， ∴，而， 故①④说法错误，②③说法正确； 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键． 【考点2】画位似图形（第6-11题） · 先确定位似中心O和位似比k · 连接对应顶点与O并延长 · 按k在延长线上截取新顶点 · 顺次连接新顶点，注意同侧/异侧 6．（2025秋•衡水月考）下列命题： ①两个相似三角形面积之比等于相似比的平方； ②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比； ③在△ABC与△A′B′C′中，，∠A＝∠A′，那么△ABC∽△A′B′C′； ④已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5，其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据相似三角形的性质及位似变换的概念判断各命题的真假． 【解答】解：命题①两个相似三角形面积之比等于相似比的平方，正确； 命题②两个相似三角形的对应高之比等于相似比，正确； 命题③在△ABC与△A′B′C′中，，∠A＝∠A′，满足两边成比例且夹角相等，故△ABC∽△A′B′C′，正确； 命题④已知△ABC及位似中心O，位似比为0.5时，可作两个三角形（同侧或异侧），故“只能作一个”原命题错误； ∴真命题共有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查命题的真假判断和相似三角形，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 7．（2024秋•滕州市期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3交射线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5，⋯．按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则△B2023C2023B2024的面积为 　24043 ． 【分析】根据位似图形的性质求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴， ∴A1B1∥A2B2， ∴OA1B1∽△OA2B2， ∴， ∵OA1＝1， ∴， ∴OA2＝2， ∴A1A2＝OA2﹣OA1＝1， ∴A1B1＝1，B1C1＝1，A2B2＝2， ∴B2C1＝1， ∴△B1C1B2的面积； ∵OA2＝A2B2＝2， ∴∠B1OA1＝45°， ∴OA3＝A3B3＝4， ∴△B2C2B3的面积； 同理可得，△B2C2B3的面积； … 则△B2023C2023B2024的面积为， 故答案为：24043． 【点评】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，解题的关键由特殊到一般总结出规律． 8．（2025春•洪山区校级月考）如图是由小正方形组成的6×6网格，四边形ABCD的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图1中，以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的，画出缩小后的四边形AB1C1D1，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长； （2）在图2中，先在AB上画点F，使得CF＝BC，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN是平行四边形． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可；在点B的左侧取格点F，使BF：AC＝1：4，且BF∥AC，连接CF交AB于点F，则点F即为所求． （2）在BC的延长线上取点E，使CE＝BC，过点E作AB的垂线，交AB于点F，则点F即为所求；过点C作AB的平行线，交AD于点M，再在点A下方取格点H，使AH＝BC且AH∥BC，过点H作AD的平行线HG，交AB于点N，则点M，N即为所求． 【解答】解：（1）如图1，四边形AB1C1D1即为所求． 在点B的左侧取格点F，使BF：AC＝1：4，且BF∥AC，连接CF交AB于点F， 此时△ACE∽△BFE， ∴BE：AE＝BF：AC＝1：4． ∴AB5， ∴AE＝4，BE＝1， ∵AD＝CD，BC+BE＝AE， ∴DE平分四边形ABCD的周长， 则点F即为所求． （2）如图2，在BC的延长线上取点E，使CE＝BC，过点E作AB的垂线，交AB于点F，连接CF， 此时△BEF为直角三角形，CF为直角△BEF斜边上的中线， ∴CF， 则点F即为所求． 过点C作AB的平行线，交AD于点M，再在点A下方取格点H，使AH＝BC且AH∥BC，过点H作AD的平行线HG，交AB于点N，连接MN， 此时四边形BCMN是平行四边形， 则点M，N即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、勾股定理、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△OAB的顶点都在格点上，已知点A（﹣4，﹣2），B（﹣2，﹣6）． （1）将△OAB向右平移4个单位长度得到△O1A1B1，点O，A，B的对应点分别为O1，A1，B1，请画出△O1A1B1； （2）将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA2B2，点A，B的对应点分别为A2，B2，画出所得的△OA2B2，并写出点A2，B2的坐标； （3）以点O为位似中心，相似比为1：2，将△OAB缩小，画出缩小后的三角形． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到点O1、A1、B1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2，从而得到△OA2B2，从而得到点A2，B2的坐标； （3）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以（或）得到对应点的坐标，然后描点即可． 【解答】解：（1）如图，△O1A1B1为所作； （2）如图，△OA2B2为所作，点A2的坐标为（﹣2，4），点B2的坐标为（﹣6，2）； （3）如图，△OCD和△OC′D′为所作． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了平移变换、旋转变换． 10．（2025秋•鲁山县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）． （1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为（　﹣2a ，　﹣2b ）； （3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍． 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的坐标变换规律即可求解； （3）根据相似三角形的性质画图即可． 【解答】解：（1）与△ABC的位似比为1：2的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为（﹣2a，﹣2b）， 故答案为：﹣2a，﹣2b； （3）使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍的△A2B2C2，如图2即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． 11．（2025秋•龙岗区校级期中）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）分别写出A，B的对应点A2，B2的坐标：A2　（﹣4，﹣2）　 ，B2　（﹣2，﹣6）　 ． （4）已知S△OAB的面积为2.5，则四边形ABB2A2的面积为　7.5　 ． 【分析】（1）对应点连线的交点即为位似中心； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可； （3）根据点的位置写出坐标； （4）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求； （2）如图，△OA2B2即为所求； （3）A2（﹣4，﹣2），B2（﹣2，﹣6）． 故答案为：（﹣4，﹣2），（﹣2，﹣6）； （4）∵△OAB∽△OA2B2， ∴（）2， ∵S△OAB＝2.5， ∴10， ∴四边形ABB2A2的面积＝10﹣2.5＝7.5． 故答案为：7.5． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【考点3】位似中心坐标的确定（第12-13题） · 位似中心=两组对应点连线的交点 · 网格中作图连接对应顶点找交点 · 交点在网格点上可直接读数 · 两图形反向时位似中心在图形之间 12．（2025秋•瑶海区校级期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC（顶点均为网格线的交点）和格点O． （1）以点O为位似中心将△ABC在网格中放大2倍得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）以点B为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A2BC2，请画出△A2BC2． 【分析】（1）分别连接OA、OB、OC，并延长到OA1、OB1、OC1，使OA1＝2OA、OB1＝2OB、OC1＝2OC，连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1即为所求； （2）分别画出点A、C绕点B顺时针旋转90°的对应点A2、C2，连接点A2、C2、B得到△A2BC2即为所求． 【解答】解：（1）将△ABC在网格中放大2倍得到△A1B1C1，如图1即为所求； （2）△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A2BC2，如图2即为所求． 【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，解答本题的关键是熟练掌握旋转与位似变换的性质． 13．（2025秋•中宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接O1O，A1A2，B1B2，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【解答】解：（1）将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O1A1B1，如图1即为所求； （2）与△OAB位似的△OA2B2，如图2即为所求； （3）△O1A1B1和△OA2B2是位似图形，如图3点M即为所求． 【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，作图﹣平移变换，解答本题的关键是熟练掌握平移与位似变换的性质． 【考点4】以原点为位似中心的位似变换（第14-19题） · 原点为中心放大k倍：(x,y)→(kx,ky) · 异侧图形坐标乘-k · 由对应点坐标先求位似比 · 面积比=位似比的平方反推位似比 14．（2025秋•高碑店市期中）如图，△ADC是由等腰直角三角形GOE经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为1：2，已知EO＝1，D点的坐标为（2，0），则这两个三角形的位似中心的坐标是（　　） A． B．（1，0） C．（0，0） D． 【分析】先确定G点的坐标，再结合D点坐标和位似比为1：2，求出A点的坐标；然后再求出直线AG的解析式，直线AG与x的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标． 【解答】解：∵△ADC是由等腰直角三角形GOE经过位似变换得到的， ∴△ADC与GOE都是等腰直角三角形， ∴OE＝OG＝1， ∴G点的坐标分别为（0，﹣1） ∵位似比为1：2，D点坐标为（2，0）， ∴A点的坐标为（2，2）， 设直线AG的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴， ∴直线AG与x的交点坐标为， ∴这两个三角形的位似中心的坐标是． 故选：A． 【点评】本题考查了位似的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握位似中心是由位似图形的对应顶点的连线的交点是解答本题的关键． 15．（2022秋•滨城区期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，若点A（8，0），点C（4，0），则△OCD与△OAB面积的比是 　1：4　 ． 【分析】根据△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，点C（4，0）可得OC：OA＝4：8＝1：2，即可得到答案． 【解答】解：∵A（8，0），点C（4，0）， ∴OC：OA＝4：8＝1：2， ∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O， ∴相似比为：1：2， ∴△OCD与△OAB面积的比是：1：4， 故答案为：1：4． 【点评】本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方，解答本题的关键是熟练掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是　（4，2）　 ． 【分析】如图，过点D、B作直线，点E、C作直线，点O、A作直线，三条直线相交于一点G（4，2），则点G即为所求． 【解答】解：如图所示，点G（4，2）即为所求， 故答案为：（4，2）． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 17．（2023秋•永清县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，6），B（4，2），C（10，2），△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，其中点B′的坐标是（2，1）． （1）△A′B′C′与△ABC的相似比是 　　 ； （2）请在图中画出△A′B′C′； （3）若边AC上有一点M（a，b），则在边A′C′上与点M对应的点的坐标是 　　 ． 【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比； （2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案； （3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可． 【解答】解：（1）△A′B′C′与△ABC的相似比是． 故答案为：； （2）如图所示，△A′B′C′即为所求， （3）解：AC边上有一点M（a，b），在A′C′边上与M点对应点的坐标是． 故答案为：． 【点评】（1）； （2）见解析； （3）． 18．（2024秋•娄底期中）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣2，0），△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）． （1）若△A1B1C1在y轴右侧，画出△A1B1C1； （2）　2　 ． 【分析】（1）分别确定A，B，C关于O的位似对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可； （2）根据位似图形的性质可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）∵△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2：1， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质，作图﹣复杂作图，确定关键点的位似对应点是解题的关键． 19．（2026秋•同步）在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1）．将其各顶点的坐标扩大为原来的2倍后，画出得到的四边形．这两个四边形是位似图形吗？若是，位似比是多少？ 【分析】根据坐标与图形性质画出符合条件的四边形，根据位似图形的概念判断即可． 【解答】解：如图，四边形OA′B′C′即为所画的四边形， ∵四边形OA′B′C′与四边形OABC是相似形、对应点的连线都经过同一点O、对应边平行， ∴四边形OA′B′C′与四边形OABC是位似图形，位似比为2． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、位似比的概念是解题的关键． 【考点5】位似图形在实际问题中的应用（第20-25题） · 实际问题抽象为位似模型 · 光源/观测点视为位似中心 · 对应点坐标按位似比成比例变化 · 周长比、面积比与位似比关系解题 20．（2026•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC，则线段DF的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意求出相似比，计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，A（﹣2，0），D（3，0）， ∴△ABC∽△DEF，且相似比为2：3， ∴， ∵AC＝2， ∴DF＝3， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出相似比是解题的关键． 21．（2025•东莞市三模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长是（　　） A．4 B．6 C．9 D．16 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【解答】解：设△DEF的周长是x， ∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3，△ABC的周长为6， ∴， 解得：x＝9， 经检验，x＝9是原方程的解， 故选：C． 【点评】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 22．（2026春•临安区期中）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点（3，2）对应到幕布（像）上的对应点为（6，4），则道具上的另一点（4，﹣3）对应到幕布上的点为（　　） A．（6，﹣4） B．（6，8） C．（﹣8，6） D．（8，﹣6） 【分析】根据题意得位似比为1：2，由道具上的点（4，﹣3）可得对应到幕布上的点的坐标． 【解答】解：∵皮影道具（原图）上的一点（3，2）对应到幕布（像）上的对应点为（6，4）， ∴位似比为3：6＝1：2， ∴道具上的另一点（4，﹣3）对应到幕布上的点为（8，﹣6）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了位似变换，坐标确定位置，中心投影，掌握其相关知识点是解题的关键． 23．如图，等边三角形A1B1C1，等边三角形A2B2C2，等边三角形A3B3C3…等边三角形AnBn∁n是位似图形，其中顶点B1，B2，B3，…，Bn，C1，C2，C3，…，∁n都在直线l上，等边三角形A1B1C1的边长为1，O是B1C1的中点，B1是OB2的中点，B2是OB3的中点…Bn﹣1是OBn的中点． （1）等边三角形A1B1C1和等边三角形A4B4C4的位似比为　　 ； （2）等边三角形AnBn∁n（n≥2）的周长为　3×2n﹣1 ．（用含n的代数式表示） 【分析】（1）由题意得，等边三角形A1B1C1与等边三角形A2B2C2的位似比为，等边三角形A2B2C2与等边三角形A3B3C3的位似比为，等边三角形A3B3C3与等边三角形A4B4C4的位似比为，进而可得等边三角形A1B1C1和等边三角形A4B4C4的位似比为． （2）由题意得，等边三角形A1B1C1与等边三角形A2B2C2的周长比为，等边三角形A1B1C1与等边三角形A3B3C3的周长比为，等边三角形A1B1C1与等边三角形A4B4C4的周长比为，根据等边三角形A1B1C1的周长为3×1＝3，可知等边三角形A2B2C2的周长为3×2＝6，等边三角形A3B3C3的周长为3×22＝12，等边三角形A4B4C4的周长为3×23＝24，进而可知等边三角形AnBn∁n（n≥2）的周长为3×2n﹣1． 【解答】解：（1）由题意得，等边三角形A1B1C1与等边三角形A2B2C2的位似比为，等边三角形A2B2C2与等边三角形A3B3C3的位似比为，等边三角形A3B3C3与等边三角形A4B4C4的位似比为， ∴等边三角形A1B1C1和等边三角形A4B4C4的位似比为． 故答案为：． （2）由题意得，等边三角形A1B1C1与等边三角形A2B2C2的周长比为，等边三角形A1B1C1与等边三角形A3B3C3的周长比为，等边三角形A1B1C1与等边三角形A4B4C4的周长比为， ∵等边三角形A1B1C1的周长为3×1＝3， ∴等边三角形A2B2C2的周长为3×2＝6，等边三角形A3B3C3的周长为3×22＝12，等边三角形A4B4C4的周长为3×23＝24， ∴等边三角形AnBn∁n（n≥2）的周长为3×2n﹣1． 故答案为：3×2n﹣1． 【点评】本题考查位似变换、规律型：图形的变化类，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（2025秋•长清区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，6），B（4，2），C（10，2），△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，其中点B′的坐标是（2，1）． （1）△A′B′C′与△ABC的相似比是 　　 ； （2）请在图中画出△A′B′C′，并求出△A′B′C′的面积为 　3　 ； （3）若边AC上有一点M（a，b），则在边A′C′上与点M对应的点的坐标是 　（）　 ． 【分析】（1）结合位似的性质可得答案． （2）根据位似的性质作图即可；利用三角形的面积公式计算即可． （3）结合位似的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，B（4，2），B'（2，1）， ∴△A′B′C′与△ABC的相似比是． 故答案为：． （2）如图，△A′B′C′即为所求． △A′B′C′的面积为3． 故答案为：3． （3）由题意得，在边A′C′上与点M（a，b）M对应的点的坐标是（）． 故答案为：（）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质、作图—复杂作图，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 25．（2025秋•阳城县月考）阅读与思考 下面是小悦同学的学习笔记，请阅读下列材料，并完成相应的任务． “减半”矩形【概念理解】在几何中，矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．这里我们介绍一种图形“减半”矩形． 给定一个矩形，若存在另一个矩形，使它的周长与面积分别是给定矩形的周长与面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1的周长为14，面积为12，矩形ABCD的周长为28，面积为24，所以矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．【解决问题】 问题1：当矩形的长与宽分别是与时，则它对应的“减半”矩形的周长为▲． 问题2：已知矩形A1B1C1D1的面积为，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形，且长AB比宽BC多6，求矩形ABCD中AB的长． 下面是小悦同学的部分解答过程． 解：∵矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形， ∴． 设宽BC＝x，则长AB＝x+6． 根据题意可列出方程… 任务： （1）问题1中的“▲”处应填　　 ． （2）请将问题2中的剩余部分的解答过程补充完整． （3）当矩形的长为2，宽为1时，是否存在它的“减半”矩形？若存在，求出“减半”矩形的长与宽；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据周长公式计算出原矩形的周长，再结合“减半”矩形的定义求解即可． （2）根据矩形的面积公式列方程，解方程求解即可，注意实际意义． （3）假设存在，先算出原矩形的周长和面积，进而得到“减半”矩形的周长和面积，设“减半”矩形的长和宽分别为m和n，列方程组求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得： 这个矩形的周长为 ， ∴它对应的“减半”矩形的周长为， 故答案为：； （2）由题意可得：． 设宽BC＝x，则长AB＝x+6． 根据题意可列出方程x（x+6）＝7， 解得x＝1或x＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴AB＝x+6＝1+6＝7， 即矩形ABCD中AB的长为7． （3）不存在．理由如下： 假设存在， 当矩形的长为2，宽为1时，该矩形的面积为2×1＝2，则“减半”矩形的面积为2÷2＝1， 该矩形的周长为（2+1）×2＝6，则“减半”矩形的周长为6÷2＝3， 设“减半”矩形的长和宽分别为m和n，则有： ， 由①得：， 代入②得：， 整理得2m2﹣3m+2＝0， Δ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0， 所以，原方程无实数解， 所以，不存在它的“减半”矩形． 【点评】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，相似图形的性质，读懂题意并列出合适的等量关系式是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2024秋•青羊区期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若△ABC、△DEF的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 　（﹣1，1）　 ． 【分析】连接DA，EB，FC，并分别延长，相交于点P，则点P为△ABC与△DEF的位似中心，即可得出答案． 【解答】解：如图，连接DA，EB，FC，并分别延长，相交于点P， 则点P为△ABC与△DEF的位似中心， ∴位似中心的坐标是（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【练习 2】（2024秋•宝安区校级期中）如图，△AOB与△ACD关于点A位似，点C的坐标为（3，4），若△AOB与△ACD的面积比为4：1，则点A的坐标为 　（2，）　 ． 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，可得△AOE∽△COF，则AE：CF＝OE：OF＝OA：OC．根据位似的性质可得OA：AC＝2：1，进而可得AE：CF＝OE：OF＝OA：OC＝2：3．由题意可得OF＝3，CF＝4，即可得AE，OE＝2，从而可得答案． 【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE∽△COF， ∴AE：CF＝OE：OF＝OA：OC． ∵点C的坐标为（3，4）， ∴OF＝3，CF＝4． ∵△AOB与△ACD关于点A位似，△AOB与△ACD的面积比为4：1， ∴OA：AC＝2：1， ∴OA：OC＝2：3． ∴AE：CF＝OE：OF＝2：3， ∴AE，OE＝2， ∴点A的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【练习 3】（2024秋•长春期中）如图，以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，若AB＝6，则AB′的长为 　4　 ． 【分析】由题意得四边形ABCD与四边形AB′C′D′的相似比为3：2，即AB：AB'＝3：2，进而可得答案． 【解答】解：∵以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4， ∴四边形ABCD与四边形AB′C′D′的相似比为3：2， ∴AB：AB'＝3：2， ∵AB＝6， ∴AB′＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 位似是特殊的相似：对应顶点连线共点+对应边平行 · 位似比=对应点到位似中心距离之比 · 原点为中心放大k倍，坐标同乘k · 位似中心是两组对应点连线的交点 · 面积比=位似比的平方 【作业 1】（2026•柳北区一模）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC和△A′B′C′的顶点均在格点上，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【分析】根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解． 【解答】解：根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心， 如图，连接AA′、BB′，交点即为位似中心， 由图形可得位似中心是点O， 故选：D． 【点评】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【作业 2】（2026•新城区校级模拟）如图，已知△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若C（2，1），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（　　） A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（6，4） 【分析】由题意得△OAB与△OCD相似比为3：1，再结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，D（3，0），B（9，0）， ∴△OAB与△OCD相似比为3：1， ∵C（2，1）， ∴点A的坐标为（6，3）． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 3】（2025秋•江北区校级月考）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OC：CF的值为2：1，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9 【分析】由题意得OC：OF＝2：3，可得△ABC与△DEF的相似比为2：3，则可得△ABC与△DEF的面积比为4：9． 【解答】解：∵OC：CF＝2：1， ∴OC：OF＝2：3， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：3， ∴△ABC与△DEF的面积比为4：9． 故选：D． 【点评】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业 4】（2025秋•小店区月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，7），B（10，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为　（5，2）　 ． 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：由题意得，点B的对应点D的坐标为（10，），即（5，2）． 故答案为：（5，2）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 5】（2025秋•石狮市期中）如图，▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形．若它们的相似比为2：3，且▱AEFG的周长为12，则▱ABCD的周长为　8　 ． 【分析】由题意易得▱ABCD∽▱AEFG，然后根据相似多边形的性质可进行求解． 【解答】解：∵▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形，它们的相似比为2：3， ∴▱ABCD∽▱AEFG，它们的周长之比也为2：3， ∵▱AEFG的周长为12， ∴▱ABCD的周长为； 故答案为：8． 【点评】本题主要考查位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 【作业 6】（2025•长春校级开学）图①，图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段AB上找一点D，线段BC上找一点E，连结DE，使DE是△ABC的中位线． （2）在图②中，以点A为位似中心，作△ABC的位似△AMN，使S△AMN：S△ABC＝4：25． 【分析】（1）分别取AB，BC的中点D，E即可； （2）由位似的性质得，△AMN∽△ABC，相似比为2：5，点M在AB上，点N在AC上，进而可得AM：MB＝AN：NC＝2：3．结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【解答】解：（1）如图①，点D，E即为所求； （2）如图②，△AMN即为所求． 证明；由题意得，△AMN∽△ABC，相似比为2：5，点M在AB上，点N在AC上， ∴AM：AB＝AN：AC＝2：5， ∴AM：MB＝AN：NC＝2：3． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、勾股定理、三角形中位线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业 7】（2024秋•焦作期末）△ABC三个顶点坐标分别是点A（﹣1，﹣1），点B（﹣3，﹣2），点C（﹣2，﹣3）． （1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质，放大为原来得2倍，得到对应点的坐标，连接各点即可求解． 【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；，如图1即为所求； （2）将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，如图2即为所求； 由图可知，B2（6，4）． 【点评】本题主要考查作图﹣位似变换，作图﹣轴对称变换，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【作业 8】（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【分析】（1）作DM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N，如图所示，数形结合得到S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【解答】解：（1）CN⊥y轴于点N，作DM⊥y轴于点M，如图所示： ∴S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM ； （2）由题意可知，如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点， 所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【点评】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． 【作业 9】（2026•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（3，2），（1，4），（5，3）． （1）画出△ABC的重心G，并写出重心G的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC按位似比1：2将△ABC放大得到△A1B1C1并画出其图形； （3）填空：△A1B1C1的面积为　12　 ． 【分析】（1）确定各边中点，可得中线，即可得解； （2）A、B、C三点坐标扩大两倍即可； （3）利用大长方形面积减去几个小三角形的面积即可得解． 【解答】解：（1）如图，点G即为所求； 重心G坐标为（3，3）； （2）如图，△A1B1C1即为所求； （3）△ABC的面积＝4×84×44×22×8＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了位似变换、格点作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•揭东区期末）如图，在网格图中，已知△ABC和点M（1，0）． （1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2； （2）写出△A′B′C′各顶点的坐标． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）由图可得，A'（3，4），B'（5，0），C'（7，2）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 图形的位似 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解位似图形的概念：相似+对应顶点连线交于一点 · 掌握位似图形的性质：对应边平行、对应点到位似中心距离比=相似比 · 会在网格中画位似图形 · 掌握以原点为位似中心的坐标变化规律 · 能确定位似中心坐标并解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.位似图形概念 两个相似多边形，如果对应顶点连线交于一点，对应边互相平行，则位似 交点O叫做位似中心 对应边的比叫做位似比（相似比） 位似是一种特殊的相似，对应边互相平行 概念辨析例题：△ABC与△A'B'C'位似，O为位似中心，OA=2，OA'=6，求位似比 解析：位似比=OA：OA'=2：6=1：3 ☆ 2.位似图形性质 对应点到位似中心的距离之比等于位似比k 对应边互相平行（或共线） 周长比=k，面积比=k2 位似中心可在图形内、图形外、图形上 概念辨析例题：△ABC∽△A'B'C'位似，相似比1：2，△ABC周长为6，则△A'B'C'周长为多少？ 解析：周长比=相似比=1：2，6：C=1：2，C=12 ☆ 3.画位似图形 确定位似中心O 连接并延长对应顶点与O的连线 按位似比k截取新顶点 顺次连接新顶点得到位似图形 概念辨析例题：在6×6网格中以O为位似中心，将△ABC放大2倍画出△A'B'C' 解析：连接OA、OB、OC并延长至A'、B'、C'使OA'=2OA，再顺次连接 ☆ 4.平面直角坐标系中的位似 以原点O为位似中心、相似比k放大：(x,y)→(kx,ky) 缩小为原来的：(x,y)→(,) 位似图形可在原点同侧或异侧（异侧坐标乘-k） 位似中心在任意点时，先平移到原点再缩放再平移回 概念辨析例题：A(6,7)、B(10,4)，以原点为位似中心缩小，求B对应点D 解析：位似比，D=(10×,4×)=(5,2) 📋 知识总结表 要点 公式/规律 注意 位似条件 相似+对应顶点连线共点+对应边平行 缺一不可 位似比 k=对应点到O距离之比 有顺序 周长比 周长比=k 与相似一致 面积比 面积比=k2 平方 原点为中心放大k倍 (x,y)→(kx,ky) 异侧则乘-k 位似中心确定 两组对应点连线交点 在网格中作图 ⚠️ 核心考点 【考点1】位似图形的概念和性质（第1-5题） · 位似必相似，但相似不一定位似 · 对应点到位似中心距离比=位似比 · 周长比=k，面积比=k2 · 对应边互相平行（或共线） 1．（2025秋•罗湖区校级月考）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，且点O在线段AA1上．若A1O＝2AO，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（　　） A．8 B．12 C．18 D．24 2．（2025秋•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，位似中心为原点O．若点A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣6，0），则点D（4，﹣2）的对应点D′的坐标为（　　） A．（8，﹣4） B．（﹣4，8） C．（4，﹣8） D．（﹣8，4） 3．（2025秋•达州校级期中）如图，△ABC与△DEF是点O为位似中心的位似图形，BC：EF＝2：3，若OB＝8，则BE的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 5．（2024•大荔县一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则下列结论正确的有（　　） ①；②；③△BCO∽△EFO；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2】画位似图形（第6-11题） · 先确定位似中心O和位似比k · 连接对应顶点与O并延长 · 按k在延长线上截取新顶点 · 顺次连接新顶点，注意同侧/异侧 6．（2025秋•衡水月考）下列命题： ①两个相似三角形面积之比等于相似比的平方； ②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比； ③在△ABC与△A′B′C′中，，∠A＝∠A′，那么△ABC∽△A′B′C′； ④已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5，其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024秋•滕州市期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3交射线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5，⋯．按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则△B2023C2023B2024的面积为 __________ ． 8．（2025春•洪山区校级月考）如图是由小正方形组成的6×6网格，四边形ABCD的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图1中，以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的，画出缩小后的四边形AB1C1D1，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长； （2）在图2中，先在AB上画点F，使得CF＝BC，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN是平行四边形． 9．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△OAB的顶点都在格点上，已知点A（﹣4，﹣2），B（﹣2，﹣6）． （1）将△OAB向右平移4个单位长度得到△O1A1B1，点O，A，B的对应点分别为O1，A1，B1，请画出△O1A1B1； （2）将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA2B2，点A，B的对应点分别为A2，B2，画出所得的△OA2B2，并写出点A2，B2的坐标； （3）以点O为位似中心，相似比为1：2，将△OAB缩小，画出缩小后的三角形． 10．（2025秋•鲁山县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）． （1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为（________ ，________ ）； （3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍． 11．（2025秋•龙岗区校级期中）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）分别写出A，B的对应点A2，B2的坐标：A2____________ ，B2____________ ． （4）已知S△OAB的面积为2.5，则四边形ABB2A2的面积为________ ． 【考点3】位似中心坐标的确定（第12-13题） · 位似中心=两组对应点连线的交点 · 网格中作图连接对应顶点找交点 · 交点在网格点上可直接读数 · 两图形反向时位似中心在图形之间 12．（2025秋•瑶海区校级期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC（顶点均为网格线的交点）和格点O． （1）以点O为位似中心将△ABC在网格中放大2倍得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）以点B为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A2BC2，请画出△A2BC2． 13．（2025秋•中宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M． 【考点4】以原点为位似中心的位似变换（第14-19题） · 原点为中心放大k倍：(x,y)→(kx,ky) · 异侧图形坐标乘-k · 由对应点坐标先求位似比 · 面积比=位似比的平方反推位似比 14．（2025秋•高碑店市期中）如图，△ADC是由等腰直角三角形GOE经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为1：2，已知EO＝1，D点的坐标为（2，0），则这两个三角形的位似中心的坐标是（　　） A． B．（1，0） C．（0，0） D． 15．（2022秋•滨城区期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，若点A（8，0），点C（4，0），则△OCD与△OAB面积的比是 ________ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是__________ ． 17．（2023秋•永清县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，6），B（4，2），C（10，2），△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，其中点B′的坐标是（2，1）． （1）△A′B′C′与△ABC的相似比是 __________________ ； （2）请在图中画出△A′B′C′； （3）若边AC上有一点M（a，b），则在边A′C′上与点M对应的点的坐标是 ____________________ ． 18．（2024秋•娄底期中）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣2，0），△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）． （1）若△A1B1C1在y轴右侧，画出△A1B1C1； （2）_____ ． 19．（2026秋•同步）在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1）．将其各顶点的坐标扩大为原来的2倍后，画出得到的四边形．这两个四边形是位似图形吗？若是，位似比是多少？ 【考点5】位似图形在实际问题中的应用（第20-25题） · 实际问题抽象为位似模型 · 光源/观测点视为位似中心 · 对应点坐标按位似比成比例变化 · 周长比、面积比与位似比关系解题 20．（2026•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC，则线段DF的长度为（　　） A． B． C． D． 21．（2025•东莞市三模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长是（　　） A．4 B．6 C．9 D．16 22．（2026春•临安区期中）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点（3，2）对应到幕布（像）上的对应点为（6，4），则道具上的另一点（4，﹣3）对应到幕布上的点为（　　） A．（6，﹣4） B．（6，8） C．（﹣8，6） D．（8，﹣6） 23．如图，等边三角形A1B1C1，等边三角形A2B2C2，等边三角形A3B3C3…等边三角形AnBn∁n是位似图形，其中顶点B1，B2，B3，…，Bn，C1，C2，C3，…，∁n都在直线l上，等边三角形A1B1C1的边长为1，O是B1C1的中点，B1是OB2的中点，B2是OB3的中点…Bn﹣1是OBn的中点． （1）等边三角形A1B1C1和等边三角形A4B4C4的位似比为__________________ ； （2）等边三角形AnBn∁n（n≥2）的周长为___________ ．（用含n的代数式表示） 24．（2025秋•长清区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，6），B（4，2），C（10，2），△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，其中点B′的坐标是（2，1）． （1）△A′B′C′与△ABC的相似比是 __________________ ； （2）请在图中画出△A′B′C′，并求出△A′B′C′的面积为 _____ ； （3）若边AC上有一点M（a，b），则在边A′C′上与点M对应的点的坐标是 ____________________ ． 25．（2025秋•阳城县月考）阅读与思考 下面是小悦同学的学习笔记，请阅读下列材料，并完成相应的任务． “减半”矩形【概念理解】在几何中，矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．这里我们介绍一种图形“减半”矩形． 给定一个矩形，若存在另一个矩形，使它的周长与面积分别是给定矩形的周长与面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1的周长为14，面积为12，矩形ABCD的周长为28，面积为24，所以矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．【解决问题】 问题1：当矩形的长与宽分别是与时，则它对应的“减半”矩形的周长为▲． 问题2：已知矩形A1B1C1D1的面积为，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形，且长AB比宽BC多6，求矩形ABCD中AB的长． 下面是小悦同学的部分解答过程． 解：∵矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形， ∴． 设宽BC＝x，则长AB＝x+6． 根据题意可列出方程… 任务： （1）问题1中的“▲”处应填_________________ ． （2）请将问题2中的剩余部分的解答过程补充完整． （3）当矩形的长为2，宽为1时，是否存在它的“减半”矩形？若存在，求出“减半”矩形的长与宽；若不存在，请说明理由． 📝 随堂检测 【练习 1】（2024秋•青羊区期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若△ABC、△DEF的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 ___________ ． 【练习 2】（2024秋•宝安区校级期中）如图，△AOB与△ACD关于点A位似，点C的坐标为（3，4），若△AOB与△ACD的面积比为4：1，则点A的坐标为 ____________________ ． 【练习 3】（2024秋•长春期中）如图，以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，若AB＝6，则AB′的长为 _____ ． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•柳北区一模）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC和△A′B′C′的顶点均在格点上，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【作业 2】（2026•新城区校级模拟）如图，已知△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若C（2，1），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（　　） A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（6，4） 【作业 3】（2025秋•江北区校级月考）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OC：CF的值为2：1，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9 【作业 4】（2025秋•小店区月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，7），B（10，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为__________ ． 【作业 5】（2025秋•石狮市期中）如图，▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形．若它们的相似比为2：3，且▱AEFG的周长为12，则▱ABCD的周长为_____ ． 【作业 6】（2025•长春校级开学）图①，图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段AB上找一点D，线段BC上找一点E，连结DE，使DE是△ABC的中位线． （2）在图②中，以点A为位似中心，作△ABC的位似△AMN，使S△AMN：S△ABC＝4：25． 【作业 7】（2024秋•焦作期末）△ABC三个顶点坐标分别是点A（﹣1，﹣1），点B（﹣3，﹣2），点C（﹣2，﹣3）． （1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 【作业 8】（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【作业 9】（2026•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（3，2），（1，4），（5，3）． （1）画出△ABC的重心G，并写出重心G的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC按位似比1：2将△ABC放大得到△A1B1C1并画出其图形； （3）填空：△A1B1C1的面积为_______ ． 【作业 10】（2025秋•揭东区期末）如图，在网格图中，已知△ABC和点M（1，0）． （1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2； （2）写出△A′B′C′各顶点的坐标． 复习建议 · 位似是特殊的相似：对应顶点连线共点+对应边平行 · 位似比=对应点到位似中心距离之比 · 原点为中心放大k倍，坐标同乘k · 位似中心是两组对应点连线的交点 · 面积比=位似比的平方 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $