第6讲 相似三角形综合及应用 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第6讲 相似三角形综合及应用 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用相似三角形的判定定理与性质定理 · 熟练识别A字型、X型、母子型、旋转型等基本模型 · 会处理动点、正方形/矩形背景下的相似综合题 · 运用相似解决实际测量（凸透镜、标杆、影长、黄金分割） · 培养几何推理与建模能力 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形判定方法回顾 平行于三角形一边的直线截两边，所得三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 三边对应成比例（SSS）；直角三角形还可用HL 概念辨析例题：△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=4，求DE：BC 解析：由DE∥BC得△ADE∽△ABC，DE：BC=AD：AB=3：(3+4)=3：7 ☆ 2.常见相似模型 A字型：公共角+平行线/对应角 X型（8字型）：对顶角+平行线 母子型（射影定理）：直角三角形斜边上的高 旋转型：共顶点旋转后两三角形相似 概念辨析例题：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，求证AC2=AD·AB 解析：由∠A公共+∠ADC=∠ACB=90°，得△ACD∽△ABC，AC：AB=AD：AC ☆ 3.动点与图形综合 动点问题：用t表示线段，按相似条件列方程 正方形/矩形对角线动点：利用相似三角形比例 多结论判断题：逐项用相似验证 注意运动范围与时间t的取值限制 概念辨析例题：边长为1的正方形ABCD中，P在BD上，PE⊥BC、PF⊥DC，求证EF2=PM·PH 解析：连接PC，由对称性得PC=PA；证△PMC∽△PHM，得比例式乘积关系 ☆ 4.实际应用模型 凸透镜成像：物距、像距、物高、像高成比例 标杆测高：同一时刻物高：影长=常数 黄金分割：较长段：全长= 镜面反射、盲区问题均用相似比例 概念辨析例题：蜡烛高AB=2.6cm，物距OB=3cm，焦距OF=4cm，求像高CD 解析：由相似三角形CD：AB=FO：(FO-OB)，CD：2.6=4：1，解得CD=10.4cm 📋 知识总结表 模型/方法 特征 关键比例 A字型 公共角+平行线 DE∥BC→△ADE∽△ABC X型(8字型) 对顶角+平行线 AB∥CD→△ABO∽△DCO 母子型 直角+斜边上的高 AC2=AD·AB 旋转型 共顶点旋转 两边成比例夹角等 影长测高 同时刻物高影长比 物高1：影长1=物高2：影长2 黄金分割 较长段=0.618全长 AP：AB= ⚠️ 核心考点 【考点1】相似三角形判定与性质综合（第1-26题） · 先识别模型（A/X/母子/旋转），再用判定定理 · 乘积式化比例式，找相似三角形 · 动点问题用t表示线段列方程 · 多结论题逐项用相似验证 1．（2025秋•和平区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC＝2：3，则S△DEF：S△DFA：S△BAF＝（　　） A．2：3：5 B．4：6：25 C．4：10：25 D．4：6：9 2．（2026•台湾）如图，△ABC与△ADE中，D点在△ABC外，E点在AB上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°．若BC上有一点F，AF与直线DE相交于P点，且BF＝5，FC＝8，BE＝6，则AP与AF的长度比为何？（　　） A．4：5 B．5：6 C．6：7 D．7：8 3．（2026春•开州区月考）如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段CD上一点，连接AE并延长至点F，连接AC、CF，连接BF分别交AC、CD于点H、G，若CE＝CF，S△CEF＝30，CF＝10，则线段EG的长度为（　　） A． B．4 C． D． 4．（2025•河南模拟）手工课上，小明想借助如图所示的四边形纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，经测量可得这张四边形纸片中AB＝AD＝6cm，CB＝CD＝8cm，∠B为直角，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•西安校级月考）如图，▱ABCD中，点E在CD上，AE交BD于点F，若DE＝2CE，△DEF的面积为4，则四边形CBFE的面积为（　　） A．7 B．6 C．9 D．11 6．（2026•松北区一模）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，，且AB＝5，则CD的长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．16 7．（2025春•玉林期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2BC，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点．EG交FD于点H．下面四个结论：①ED⊥CA；②EF＝EG；③FH＝DH；④S△CED＝2S△EFD；其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 8．（2025•南召县一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，BC＝6，点E在CD边上，且CE＝1，连接OE并延长与BC的延长线相交于点F，则CF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2024•南关区校级模拟）如图，正方形ABCD和正方形DEFG中，A，D，E在同一条直线上，AD＝2DE，P为BC的中点，延长FG交AB于点Q，连接PQ，CQ，连接PF分别交CQ，CD于点M、N，下列说法：①△FNG≌△PNC；②∠BCQ＝∠PFQ；③FN＝2PM；④S△CFN：S四边形BPMQ＝3：7．其中正确的结论有 ________ ． 10．（2026•内江模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E在BC的延长线上，连接AE，交CD于点F．若△ABE的面积为15，则△ADF的面积为___________________ ． 11．（2025秋•灞桥区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，在AD的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知CD＝4，DE＝3，则DF的长为__________________ ． 12．（2026•东港区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE＝2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为 __________________ ． 13．（2025•南充模拟）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼合成一个大正方形，其内部形成一个较小的正方形．设直线MP交大正方形ABCD的两边于点E，F，若AN＝8，，下列四个结论：①AM＝6；②；③点M，P是线段EF的三等分点；④AE：BE＝3：4．其中正确的结论是 ________ （只填写序号）． 14．（2025秋•衡南县期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝16，点F是△ABC的重心，AF＝10，则BF的长为 _______ ． 15．（2026•凉州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，E为BC边的中点，点D在AB边上，BD＝4AD，AE与CD相交于点F，则DF的长为____________________ ． 16．（2025•兴隆台区校级二模）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是____________________ ． 17．（2026•南关区校级模拟）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与点A，C重合），弦AC，BD交于点H．下列结论：①∠ADB＝60°；②当DB最长时，DB＝2DC，③当∠ABD＝20°时，CD＝2AD；④AH•CH＝BH•DH．上述结论中，正确结论的序号是________ ． 18．（2024春•江汉区期中）如图，▱ABCD中，AC＝2AB，对角线AC，BD交于点O．M，N分别是OA，OD的中点，过点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，MF．下列四个结论：①EOCD；②AF＝EF；③S△MON＝S△MOF；④FM⊥BD．其中正确的结论是 ________ （填写序号）． 19．（2023秋•宁德期末）如图，线段AB，CD相交于点E，AD∥BC，若AE＝3，BE＝5，AD＝4，求BC的长． 20．（2023秋•潜江月考）如图，在△ABC中AB＝AC，点E是BC中点，BD⊥AC于点D． （1）求证：△ACE∽△BCD． （2）若AB＝10，DE＝6，求线段AD的长． 21．（2026•嘉定区）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线分别与边BC、AD交于点E、F，联结AE和CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当CF平分∠ACD时，求证：DF•AC＝CD•CE． 22．（2023•兴义市校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△AEG∽△BCH； （2）如果AG＝DF，求证：BE2＝AB•AE． 23．（2026•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°． （1）求证：AF•BE＝AE•CF； （2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF． 24．（2026•萨尔图区校级三模）如图，在▱ABCD中E，F分别是AD和BC的中点，连接AF，CE，AC，EF，AC交EF于点O，且AF＝BF． （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）在BC的延长线上取一点G，连接OG，使得．若AC＝8，EF＝6，求OG的长． 25．（2026•黔南州模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长． 26．（2025秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，，连接CD，DE，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F． （1）求证：四边形CDEF是平行四边形． （2）若，，，求线段CF的长． 【考点2】相似三角形应用（第27-37题） · 影长、标杆测高：物高与影长成比例 · 凸透镜、小孔成像用相似三角形 · 黄金分割：较长段：全长=0.618 · 实际问题抽象出相似模型列方程 27．（2022秋•耒阳市期末）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为（　　）m． A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8 28．（2025秋•辛集市期末）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（　　） A．5cm B． C． D．8cm 29．（2024秋•南郑区期末）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图是小孔成像原理的示意图，6cm长的蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则小孔O到像CD的距离是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 30．（2024秋•长春校级期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 31．（2024春•东营区期末）如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFGH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为 _______ cm． 32．（2026春•利津县期末）如图，小明在A时测得某树的影长为6米，B时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________________ 米． 33．（2026•台州一模）如图是笔直杠杆AB的示意图．已知AB＝180cm，支点C离水平地面的高度为20cm．当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为________ cm． 34．（2025秋•天府新区期末）中国西部国际博览城是天府新区标志性建筑，其主展厅采用独特的波浪形金属屋顶．某综合实践小组想利用标杆测量其屋顶最高点到地面的距离．如图，观察员小明在C处立一根标杆CD，且CD＝3m，然后小明走到E处，且CE＝2m，此时他的眼睛所处位置为F，与屋顶最高处A和标杆顶端D在一条直线上．已知∠ABC＝∠DCE＝∠FEB＝90°，BC＝50m，点B，C，E在同一条水平线上，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，请你帮助该实践小组求出中国西部国际博览城屋顶最高点到地面距离AB的长． 35．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 36．（2025秋•苏家屯区期末）某实践小组欲测量路灯的高度和路灯与树之间的距离，过程见表． 主题 测量路灯的高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：让小组成员小明同学站在树的影子的底部，路灯AB、树CD的底端与小明的站位点E在同一条直线上． 步骤2：小组成员小刚和小亮分别测得小明的影长EH为3米，小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米． 步骤3：小组成员小强想要测量路灯与树之间的距离，小强同学通过观察发现灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，小强想不用实际测量，根据现有条件能否借助反比例函数的知识求出路灯与树之间的距离． 根据表格信息，解决下列问题： （1）求路灯高度AB； （2）树与路灯相距多少米？ 37．（2024秋•奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米． （1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•红河州一模）如图，若DE∥BC，且，则__________________ ． 【练习 2】（2026•千山区一模）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝_________ ． 【练习 3】（2025•重庆模拟）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD平分∠BAC，AC＝AD，过C作CE⊥AD于点E，则DE长为__________________ ． 【练习 4】（2026•门头沟区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是__________________ ． 【练习 5】（2026•南京一模）如图，AD是△ABC的中线，ED＝2AE，BE的延长线交AC于点F，则的值为 __________________ ． 💯 课后巩固 【作业 1】如图，平行四边形ABCD中，对角线交于点O，那么下列结论正确的是（　　） A．△AOB与△BOC的周长相等 B．BO2＝AO•CO C．CD2＝DO•DB D．BD2+AC2＝2AB2+2AD2 【作业 2】（2025秋•钱塘区期末）如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，连结CD，DE，EF，且满足DE∥BC，EF∥CD．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【作业 3】（2025秋•闵行区月考）如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，联结AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，联结EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B，D两点），以下结论中：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【作业 4】（2025秋•扬州期末）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为2.6cm，蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为3cm，该凸透镜的焦距OF为4cm，AE∥OF，则像CD的高为_________ cm． 【作业 5】（2025秋•永吉县期末）如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得影长AB＝16米，DA＝3米，影长CA＝4米，则楼高EB为 _______ 米． 【作业 6】（2025秋•静安区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4，DB＝5，∠ACD＝∠B，那么__________________ ． 【作业 7】（2023秋•西湖区校级月考）已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，则AQ＝_____ ． 【作业 8】如图，△ABC∽△DAC，试找出对应角，并写出比例式． 【作业 9】（2024春•威海期末）如图，Rt△ABC的两条直角边，AB＝4cm，AC＝3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm，秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE． （1）求当动点运动时间t为多少秒时，△BDE与△ABC相似； （2）在运动过程中，当CD⊥DE时，求t的值． 【作业 10】（2024•兴宁市校级一模）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：AF＝AB； （2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H． ①求证：AH•CH＝DH•GH； ②若AG＝2，FG＝6，求GH的长． 【作业 11】（2024秋•立山区期中）如图，在Rt△ABC中，D在斜边AB上，过点D作DE⊥AB，交AC的延长线于点E，交BC于点F．求证：AD•DB＝DF•DE． 【作业 12】（2025秋•九台区期末）如图，在△ABC中．过点B作∠ABD＝∠C，使边BD交AC于点D． （1）求证：△ABD∽△ACB． （2）若AB＝6，AD＝4，求线段CD的长． 复习建议 · 相似判定四法：平行、AA、SAS、SSS · 熟记A/X/母子/旋转四种基本模型 · 乘积式先化比例式，再找相似三角形 · 动点题用t表示线段，结合相似列方程 · 实际测量题抽象出相似三角形，注意单位 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 相似三角形综合及应用 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用相似三角形的判定定理与性质定理 · 熟练识别A字型、X型、母子型、旋转型等基本模型 · 会处理动点、正方形/矩形背景下的相似综合题 · 运用相似解决实际测量（凸透镜、标杆、影长、黄金分割） · 培养几何推理与建模能力 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形判定方法回顾 平行于三角形一边的直线截两边，所得三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 三边对应成比例（SSS）；直角三角形还可用HL 概念辨析例题：△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=4，求DE：BC 解析：由DE∥BC得△ADE∽△ABC，DE：BC=AD：AB=3：(3+4)=3：7 ☆ 2.常见相似模型 A字型：公共角+平行线/对应角 X型（8字型）：对顶角+平行线 母子型（射影定理）：直角三角形斜边上的高 旋转型：共顶点旋转后两三角形相似 概念辨析例题：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，求证AC2=AD·AB 解析：由∠A公共+∠ADC=∠ACB=90°，得△ACD∽△ABC，AC：AB=AD：AC ☆ 3.动点与图形综合 动点问题：用t表示线段，按相似条件列方程 正方形/矩形对角线动点：利用相似三角形比例 多结论判断题：逐项用相似验证 注意运动范围与时间t的取值限制 概念辨析例题：边长为1的正方形ABCD中，P在BD上，PE⊥BC、PF⊥DC，求证EF2=PM·PH 解析：连接PC，由对称性得PC=PA；证△PMC∽△PHM，得比例式乘积关系 ☆ 4.实际应用模型 凸透镜成像：物距、像距、物高、像高成比例 标杆测高：同一时刻物高：影长=常数 黄金分割：较长段：全长= 镜面反射、盲区问题均用相似比例 概念辨析例题：蜡烛高AB=2.6cm，物距OB=3cm，焦距OF=4cm，求像高CD 解析：由相似三角形CD：AB=FO：(FO-OB)，CD：2.6=4：1，解得CD=10.4cm 📋 知识总结表 【考点1】相似三角形判定与性质综合（第1-26题） · 先识别模型（A/X/母子/旋转），再用判定定理 · 乘积式化比例式，找相似三角形 · 动点问题用t表示线段列方程 · 多结论题逐项用相似验证 1．（2025秋•和平区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC＝2：3，则S△DEF：S△DFA：S△BAF＝（　　） A．2：3：5 B．4：6：25 C．4：10：25 D．4：6：9 【分析】由DE：EC＝2：3，得DEDC，由平行四边形的性质得，DC∥BA，DC＝BA，则，可证明△DEF∽△BAF，得，求得，，则S△DEF：S△DFA：S△BAF＝4：10：25，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DE：EC＝2：3， ∴DEDCDC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥BA，DC＝BA， ∴， ∵DE∥BA， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∴，， ∴S△DEF：S△DFA：S△BAF＝4：10：25， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEF∽△BAF是解题的关键． 2．（2026•台湾）如图，△ABC与△ADE中，D点在△ABC外，E点在AB上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°．若BC上有一点F，AF与直线DE相交于P点，且BF＝5，FC＝8，BE＝6，则AP与AF的长度比为何？（　　） A．4：5 B．5：6 C．6：7 D．7：8 【分析】设直线DE交BC于点H，由BF＝5，FC＝8，求得BC＝13，由∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°，得DH∥AC，AB＝BC＝13，而BE＝6，所以AD＝AE＝AB﹣BE＝7，可证明∠BEH＝∠BHE，则BH＝BE＝6，推导出∠BHE＝∠D，则CH∥AD，所以四边形ACHD是平行四边形，则CH＝AD＝7，求得FH＝BC﹣BF﹣CH＝1，再证明△FPH∽△APD，得，则AP＝7FP，所以AF＝AP+FP＝8FP，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：设直线DE交BC于点H， ∵点F在BC上，BF＝5，FC＝8，BE＝6， ∴BC＝BF+FC＝5+8＝13， ∵D点在△ABC外，E点在AB上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°， ∴DH∥AC，AB＝BC＝13， ∴AD＝AE＝AB﹣BE＝13﹣6＝7， ∵∠BEH＝∠EAC，∠BHE＝∠C， ∴∠BEH＝∠BHE， ∴BH＝BE＝6， ∵∠BHE＝∠C，∠D＝∠C， ∴∠BHE＝∠D， ∴CH∥AD， ∴四边形ACHD是平行四边形， ∴CH＝AD＝7， ∴FH＝BC﹣BF﹣CH＝13﹣5﹣7＝1， ∵FH∥AD，AF与直线DE相交于P点， ∴△FPH∽△APD， ∴， ∴AP＝7FP， ∴AF＝AP+FP＝7FP+FP＝8FP， ∴， ∴AP与AF的长度比为7：8， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出图中的相似三角形是解题的关键． 3．（2026春•开州区月考）如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段CD上一点，连接AE并延长至点F，连接AC、CF，连接BF分别交AC、CD于点H、G，若CE＝CF，S△CEF＝30，CF＝10，则线段EG的长度为（　　） A． B．4 C． D． 【分析】过点F作FN⊥DC交DC于点N，由S△CEF求出FN的长度，由勾股定理得出CN、EN的长度，通过假设未知数，结合△ADE∽△FNE，求出正方形的边长，即可得BC的长度，再通过△BCG∽△FNG可求出NG的长度，最后计算出EG的长度． 【解答】解：过点F作FN⊥DC交DC于点N，如图所示： ∵S△CEF＝30，CE＝CF＝10， ∴， 解得FN＝6， ∴， ∴EN＝CE﹣CN＝2， 令DE＝x，则AD＝BC＝DC＝x+10， ∵∠ADE＝∠FNE＝90°， ∠AED＝∠FEN， ∴△ADE∽△FNE， ∴， ∴， 解得x＝5， ∴BC＝x+10＝15， 令NG＝y，则CG＝8﹣y， 同理可证△BCG∽△FNG， ∴， 15y＝6（8﹣y）， 15y＝48﹣6y， 解得， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点和准确添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2025•河南模拟）手工课上，小明想借助如图所示的四边形纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，经测量可得这张四边形纸片中AB＝AD＝6cm，CB＝CD＝8cm，∠B为直角，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，作∠ABC的平分线交AC于点O，作OH⊥BC于H，证明△ABC≌△ADC（SSS），则∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，所以AC平分∠BAC和∠BCD，加上OB平分∠ABC，根据角平分线性质得到点O到四边形ABCD的各边的距离相等，则得到⊙O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH，接着证明△BOH为等腰直角三角形得到OH＝BH，设OH＝r，则BH＝r，CH＝8﹣r，然后证明△COH∽△CAB，利用相似比可计算出r． 【解答】解：如图，连接AC，作∠ABC的平分线，交AC于点O，作OH⊥BC于H， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD， ∴AC平分∠BAD和∠BCD， ∵OB平分∠ABC， ∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等， ∴⊙O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH， ∵∠ABC＝90°， ∴， ∴△BOH为等腰直角三角形， ∴OH＝BH， 设OH＝rcm，则BH＝rcm，CH＝BC﹣BH＝（8﹣r）cm， ∴∠ABC＝90°，OH⊥BC， ∴OH∥AB， ∴△COH∽△CAB， ∴， 即， ∴， 即⊙O的半径为， ∴圆形纸片的半径为， 故选：A． 【点评】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 5．（2026春•西安校级月考）如图，▱ABCD中，点E在CD上，AE交BD于点F，若DE＝2CE，△DEF的面积为4，则四边形CBFE的面积为（　　） A．7 B．6 C．9 D．11 【分析】根据题意得到AB∥CD且AB＝CD，证明△DEF∽△BAF，得到，求出S△BAF＝9，进而求出S△DFA＝6，得到S△BCD＝S△ABD＝15，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． 根据平行线的性质，得到∠FDE＝∠FBA（内错角相等）和∠FED＝∠FAB（内错角相等）． ∴△DEF∽△BAF， 已知DE＝2CE． ∵CD＝DE+CE， ∴CD＝2CE+CE＝3CE． 得． 又∵在平行四边形中AB＝CD， ∴， ∴△DEF与△BAF的相似比为． ∴， ∵△DEF的面积为4， ∴S△BAF＝9， ∴， ∴S△ABD＝S△BAF+S△DFA＝9+6＝15， ∴S△BCD＝S△ABD＝15， ∴S四边形CBFE＝S△BCD﹣S△DEF＝15﹣4＝11． 故选：D． 【点评】题目考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 6．（2026•松北区一模）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，，且AB＝5，则CD的长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．16 【分析】根据比例的性质求出，根据AB∥CD证得△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵，AD＝AE+DE， ∴， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∵AB＝5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据AB∥CD判定三角形相似． 7．（2025春•玉林期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2BC，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点．EG交FD于点H．下面四个结论：①ED⊥CA；②EF＝EG；③FH＝DH；④S△CED＝2S△EFD；其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得EF＝EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得FH＝DH，由三角形面积关系得出S△CED＝2S△EFD，即可得出结论． 【解答】解：连接FG，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC， ∵BD＝2BC， ∴OD＝AD， ∵点E为OA中点， ∴ED⊥CA，故①正确； ∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点， ∴，EF∥AB， ∵，∠CED＝90°， ∴， ∴EF＝EG，故②正确； ∵EF∥CD，EF＝DG， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴FH＝DH，故③正确； ∵，， ∴，， ∴，即S△CED＝2S△EFD，故④正确； 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识，熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键． 8．（2025•南召县一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，BC＝6，点E在CD边上，且CE＝1，连接OE并延长与BC的延长线相交于点F，则CF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】取BC的中点G，连接OG，证得OG是△CAB的中位线，求得OG＝2，OG∥AB，再求得CE∥OG，推出△FCE∽△FGO，据此求解即可． 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，BC＝6，CE＝1，如图，取BC的中点G，连接OG， ∴AO＝OC， ∴OG是△CAB的中位线， ∴，，OG∥AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴CE∥OG， ∴△FCE∽△FGO， ∴， ∴， ∴CF＝CG＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 9．（2024•南关区校级模拟）如图，正方形ABCD和正方形DEFG中，A，D，E在同一条直线上，AD＝2DE，P为BC的中点，延长FG交AB于点Q，连接PQ，CQ，连接PF分别交CQ，CD于点M、N，下列说法：①△FNG≌△PNC；②∠BCQ＝∠PFQ；③FN＝2PM；④S△CFN：S四边形BPMQ＝3：7．其中正确的结论有 　①②③　 ． 【分析】由正方形的性质可得AD＝BC，DE＝GF，∠FGN＝∠PCN＝90°，进而可得DE＝CP，即得 GF＝CP，即可判断①；证明△QPC≌△FCP（SAS），得到∠BCQ＝∠FPC，再由平行线的性质得∠PFQ＝∠FPC，即得∠BCQ＝∠PFQ，即可 判断②；由∠BCQ＝∠FPC 得PM＝MC，由余 角性质得∠PNC＝∠MCN，得到MN＝MC，即得 PM＝MC＝MN＝PN，又由全等三角形的 性质得FN＝PN，即得FN＝2PM，即可判断③；设正方形DEFG的边长为a，则正方形ABCD 边长为2a，BQ＝CP＝CG＝GF＝a，过点M作MH⊥BC于H，可得，分别求出两个图形的面积即可判断④． 【解答】解：∵四边形ABCD和DEFG都是正方形， ∴AD＝BC，DE＝GF，∠FGN＝∠PCN＝90°， ∵P为BC的中点， ∴BC＝2CP， ∵AD＝2DE， ∴DE＝CP， ∴GF＝CP， 又∵∠GNF＝∠CNP， ∴△FNG≌△PNC（AAS），故①正确； ∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，AD＝2DE， ∴正方形DEFG的边长为正方形ABCD边长的， ∴Q、G为AB、DC的中点， 又∵P为BC的中点， ∴GF＝GC＝BQ＝BP， ∴△QBP、△FGC都是等腰直角三角形，且△OBP≌△FGC， ∴QP＝FC，∠QPB＝∠GCF＝45°， ∴∠QPC＝LFCP＝135°， 又∵PC＝PC， ∴△QPC≌△FCP（SAS）， ∴∠BCQ＝∠FPC， ∵QF∥BC， ∴∠PFQ＝∠FPC， ∴∠BCQ＝∠PFQ，故②正确； ∵∠BCQ＝∠FPC， ∴PM＝MC， ∵∠FPC+∠PNC＝90°，∠BCQ+∠MCN＝90°， ∴∠PNC＝∠MCN， ∴MN＝MC， ∴PM＝MC＝MN＝2PN，即M为PN的中点， 又∵△FNG≌△PNC， ∴FN＝PN， ∴FN＝2PM，故③正确； 设正方形DEFG的边长为a，则正方形ABCD边长为2a，BQ＝CP＝CG＝GF＝a，， ∴， 过点M作MH⊥BC于H， ∵PM＝MC， ∴PH＝CH， ∵PM＝MN，， ∴， ∴，故④错误， ∴正确的结论为：①②③． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线的性质，掌握以上性质定理是解题的关键． 10．（2026•内江模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E在BC的延长线上，连接AE，交CD于点F．若△ABE的面积为15，则△ADF的面积为　　 ． 【分析】由矩形的性质得∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝CB＝4，AD∥CB，因为点E在BC的延长线上，AE交CD于点F，所以AD∥EC，则△ADF∽△EDF，由S△ABE6BE＝15，求得BE＝5，则EC＝1，所以4，则DF＝4CF，由CD＝5CF＝6，求得CF，则DF，求得S△ADF，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4， ∴∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝CB＝4，AD∥CB， ∵点E在BC的延长线上，连接AE，交CD于点F， ∴AD∥EC， ∴△ADF∽△EDF， ∵S△ABE6BE＝15， ∴BE＝5， ∴EC＝BE﹣CB＝1， ∴4， ∴DF＝4CF， ∵CD＝4CF+CF＝5CF＝6， ∴CF， ∴DF＝CD﹣CF， ∴S△ADF4， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明△ADF∽△EDF是解题的关键． 11．（2025秋•灞桥区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，在AD的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知CD＝4，DE＝3，则DF的长为　　 ． 【分析】取CD的中点G，可得CG＝DG＝2，利用菱形的性质可得点O为AC的中点，推出OG是△ACD的中位线， 可得OG∥AD，，再证明△FOG∽△FED，推出，最后利用FG+DF＝DG，求出DF的长． 【解答】解：如图，取CD的中点G，连接OG，则， ∵四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，CD＝4， ∴AD＝CD＝4，点O为AC的中点， 又点G为CD的中点， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG∥AD，． ∵OG∥AD， ∴△FOG∽△FED， ∴，， 又FG+DF＝DG＝2， ∴，， ∴DF的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等，取CD的中点G，连接OG是解题的关键． 12．（2026•东港区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE＝2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为 　　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥CB，AB∥CD，由AE＝2ED，得CB＝AD＝3ED，可证明△AEG∽△CBG，得，再证明△ABG∽△CFG，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD，CB＝AD， ∵点E是AD上一点，AE＝2ED， ∴CB＝AD＝2ED+ED＝3ED， ∵AE∥CB， ∴△AEG∽△CBG， ∴， ∵AB∥CF， ∴△ABG∽△CFG， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，证明△AEG∽△CBG及△ABG∽△CFG是解题的关键． 13．（2025•南充模拟）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼合成一个大正方形，其内部形成一个较小的正方形．设直线MP交大正方形ABCD的两边于点E，F，若AN＝8，，下列四个结论：①AM＝6；②；③点M，P是线段EF的三等分点；④AE：BE＝3：4．其中正确的结论是 　①②④　 （只填写序号）． 【分析】①在Rt△ADM中，利用锐角三角函数即可得到答案；②结合①可得到MN 的值，从而得到△MNP 为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得到MP的长；③过A作AG∥BP交FE延长线于点G，由于△MNP为等腰直角三角形，进而可求得GP＝GM+MP，根据AG∥BP，可证得△AGE∽△BPE，则，进而求得，即点M，P不是线段EF的三等分点；④由③可知：，即可得到答案． 【解答】解：①由题意可知：DM＝AN＝8，， ∴在Rt△ADM中，，∴①正确； ②∵AN＝8，AM＝6， ∴MN＝2， ∵四边形MNPQ是正方形， ∴△MNP为等腰直角三角形， ∴，∴②正确； ③如图，过A作AG∥BP交FE延长线于点G， ∵∠NMP＝45°，∴∠G＝∠AMG＝45°， ∴AG＝AM＝6， ∴，， ∵AG∥BP， ∴∠GAE＝∠PBE，∠G＝∠BPE， ∴△AGE∽△BPE， ∴，，EMMP， ∴点M，P不是线段EF的三等分点，∴③不正确； ④由③可知：，∴④正确． 综上，正确有是①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查锐角三角函数，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理求线段长度，熟练掌握锐角三角函数及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2025秋•衡南县期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝16，点F是△ABC的重心，AF＝10，则BF的长为 　12　 ． 【分析】由重心的定义和等腰三角形三线合一的性质，得到BE⊥AC，AE＝CE＝8cm，，作DG∥AC，交BE于点G，由相似三角形的性质得，，然后利用利用勾股定理列式求出FE，进而求解即可． 【解答】解：∵AB＝BC，AC＝16，点F是△ABC的重心， ∴BE⊥AC，，， 如图，作DG∥AC，交BE于点G， ∴△BDG∽△BCE，△DFG∽△AFE， ∴，， ∴， 在Rt△AEF中，AF＝10，由勾股定理得， ∴GF＝3， ∴EF＝6， ∴BG＝GE＝9， ∴BF＝BG+FG＝3+9＝12， 则BF的长为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 15．（2026•凉州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，E为BC边的中点，点D在AB边上，BD＝4AD，AE与CD相交于点F，则DF的长为　　 ． 【分析】先利用勾股定理求出AB，BD，AD，过点E作EG∥AB，则△CGE∽△CDB，则，同理△ADF∽△EGF，且相似比为：AD：EG＝1：2，则可得出FG＝2DF，过点D作DH⊥BC于点H，得出△BDH∽△BAC，由相似三角形的性质得出，再根据勾股定理求出CD，最后根据线段的数量关系即可求出DF． 【解答】解：在Rt△ABC中，， ∵BD＝4AD， ∴BD＝4，AD＝1， 过点E作EG∥AB， 则△CGE∽△CDB， ∵E为BC边的中点， ∴CG＝CD，EG：BD＝CE：CB＝1：2， ∴， 同理：相似比为：AD：EG＝1：2，△ADF∽△EGF， ∴DF：FG＝AD：EG＝1：2，即FG＝2DF， 过点D作DH⊥BC于点H， ∴HD∥AC， ∴△BDH∽△BAC， ∴BD：BA＝BH：BC＝DH：AC， ∴，， ∴， 在Rt△DCH中，， ∵CD＝DF+FG+CG＝DF+2DF+3DF＝6DF， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16．（2025•兴隆台区校级二模）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是　．　 ． 【分析】过点A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H，先利用矩形的性质可得AD∥BC，BD＝5，∠ABC＝∠C＝90°，进而可得四边形AGFE是平行四边形，从而可得AG＝EF，再根据同角的余角相等，可得∠HAB＝∠DBC，从而可得△ABG∽△BCD，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：四边形ABCD是矩形，如图，过点A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠C＝90°， ∴四边形AGFE是平行四边形， ∴AG＝EF， ∵EF⊥BD， ∴AG⊥BD， ∴∠AHB＝90°， ∴∠HAB+∠ABH＝90°， ∵∠ABH+∠DBC＝90°， ∴∠HAB＝∠DBC， ∴△ABG∽△BCD， ∴， 在直角三角形BCD中，BC＝4，CD＝3，∠C＝90°， 由勾股定理得：BD5， ∴， ∴AG， ∴EF＝AG， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 17．（2026•南关区校级模拟）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与点A，C重合），弦AC，BD交于点H．下列结论：①∠ADB＝60°；②当DB最长时，DB＝2DC，③当∠ABD＝20°时，CD＝2AD；④AH•CH＝BH•DH．上述结论中，正确结论的序号是　①②④　 ． 【分析】由等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，然后通过圆周角定理得出∠ADB＝∠ACB＝60°，即可判断①；由等边三角形的判定与性质可判断②；在BD上截取DE＝AD，以E为圆心，截取EF＝AE交AB于点F，证明△DAC≌△BAE（SAS），故有BE＝CD，然后通过外角性质和等腰三角形的性质即可判断③；由相似三角形的判定与性质可判断④． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝AB，AC＝AB， ∴∠ADB＝∠ACB＝60°，故①正确； 当DB最长时，即DB为⊙O直径，连接OC，如图， ∴∠BDC＝∠BAC＝60°， ∵OD＝OC， ∴△ODC是等边三角形， ∴OD＝CD， ∴DB＝2DC，故②正确； 如图，在BD上截取DE＝AD，以E为圆心，截取EF＝AE交AB于点F， 同上理可证△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAC+∠CAE＝∠BAE+∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△EAB中， ， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴BE＝CD， 当∠ABD＝20°，∠ADB＝60°， ∴∠BAD＝100°， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠DAE＝100°﹣60°＝40°， ∴∠EAF＝∠EFA＝40°， ∵∠EFA＝∠FBE+∠FEB，∠FBE＝20°， ∴40°＝20°+∠FEB， ∴∠FBE＝∠FEB＝20°， ∴BF＝EF＝AD， 在△BEF中，BF+EF＞BE， ∴AD+AD＞CD， ∴CD＜2AD，故③错误； ∵∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC， ∴△ABH∽△DCH， ∴， ∴AH•CH＝BH•DH，故④正确； 综上可知：①②④正确， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 18．（2024春•江汉区期中）如图，▱ABCD中，AC＝2AB，对角线AC，BD交于点O．M，N分别是OA，OD的中点，过点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，MF．下列四个结论：①EOCD；②AF＝EF；③S△MON＝S△MOF；④FM⊥BD．其中正确的结论是 　①③④　 （填写序号）． 【分析】通过证明四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可以得到结论①正确，通过证明FO＝MO，根据等腰三角形的“三线合一”得到结论④正确，根据中位线定理及三角形的面积公式将S△MON和S△MOF用▱ABCD的面积表示，从而得到结论③正确． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CO＝AOAC，AB＝CD， ∴∠1＝∠2， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴EO＝FOEF， ∵AC＝2AB，即ABAC， ∴AB＝AO， ∴∠3＝∠4 ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形，∠3＝∠5， ∴∠4＝∠5， 同理四边形EFCD也是平行四边形， ∴EF＝CD， ∴EOCD，结论①正确； 由前知FOABAO， ∵M是OA的中点， ∴MOAO， ∴FO＝MO， 根据等腰三角形“三线合一”可知FM⊥BD，结论④正确； 过点B作BP∥AC，与EF的延长线交于点P， ∴四边形ABPO是平行四边形，∠2＝∠6， ∴BP＝AO＝CO， ∵∠BFP＝∠CFO， ∴△BPF≌△COF（AAS）， ∴BF＝CF，F是BC的中点， 同理点E也是AD的中点， 连接ME，NE，根据中位线定理和平行四边形的性质可知：S△MONS△OADS▱ABCDS▱ABCD， S△MOFMO•高AO•高AC•高S△ACFS△ABCS▱ABCDS▱ABCD， ∴S△MON＝S△MOF，结论③正确； 如果AF＝EF，那么AF＝AB＝AOAC，题中没有给出相应的条件， ∴结论②不正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，中位线定理，三角形的面积等知识，解题关键是灵活运用相关知识解决问题． 19．（2023秋•宁德期末）如图，线段AB，CD相交于点E，AD∥BC，若AE＝3，BE＝5，AD＝4，求BC的长． 【分析】证明△ADE∽△BCE进行推理计算即可． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠B，∠D＝∠C， ∴△ADE∽△BCE， ∴， ∵AE＝3，BE＝5，AD＝4， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 20．（2023秋•潜江月考）如图，在△ABC中AB＝AC，点E是BC中点，BD⊥AC于点D． （1）求证：△ACE∽△BCD． （2）若AB＝10，DE＝6，求线段AD的长． 【分析】（1）利用等腰三角形的性证明AE⊥BC，得到∠AEC＝90°，从而得∠AEC＝∠BDC，再加上公共角，即可得出结论． （2）先由直角三角形的性质得出CE＝DE＝6，BC＝2DE＝12，再证明△CDE∽△CBA，得，求得，由AD＝AC﹣CD求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点E是BC中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∵BD⊥AC于点D， ∴∠BDC＝90°， ∴∠AEC＝∠BDC， ∵∠C＝∠C， ∴△ACE∽△BCD； （2）解：∵BD⊥AC于点D， ∴∠BDC＝90°， ∵点E是BC中点， ∴CE＝DE＝6，BC＝2DE＝12， 由（1）知：△ACE∽△BCD， ∴， ∴， ∵∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CBA， ∴，即， ∴， ∵AC＝AB＝10， ∴． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． 21．（2026•嘉定区）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线分别与边BC、AD交于点E、F，联结AE和CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当CF平分∠ACD时，求证：DF•AC＝CD•CE． 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形全等的判定定理证得△AOF和△COE全等，得出OF＝OE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证； （2）根据四边形AECF是菱形得出AF＝CF＝CE，根据等边对等角得出∠FAC＝∠FCA，根据角平分线的定义得出∠DCF＝∠FCA，于是得出∠DCF＝∠FAC，即可证得△DCF∽△DAC，得出，再根据CE＝CF即可得证． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO， ∵点O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OF＝OE， ∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形； （2）证明：由（1）知四边形AECF是菱形， ∴AF＝CF＝CE， ∴∠FAC＝∠FCA， ∵CF平分∠ACD， ∴∠DCF＝∠FCA， ∴∠DCF＝∠FAC， ∵∠D为公共角， ∴△DCF∽△DAC， ∴， ∵CF＝CE， ∴，即DF•AC＝CD•CE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 22．（2023•兴义市校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△AEG∽△BCH； （2）如果AG＝DF，求证：BE2＝AB•AE． 【分析】（1）证明△CDF≌△CBE（SAS），得出∠DCF＝∠BCE，则∠DCG＝∠BCH，根据平行线的性质得出∠AEG＝∠DCG，∠EAG＝∠D，进而得出∠AEG＝∠BCH，∠EAG＝∠B，即可证明△AEG∽△BCH； （2）根据菱形的性质得出AG∥BC，证明△AEG∽△BEC，得出，根据AG＝DF，AB＝BC，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B． ∵DF＝BE， ∴△CDF≌△CBE（SAS）． ∴∠DCF＝∠BCE． ∴∠DCG＝∠BCH． ∵CD∥BH， ∴∠AEG＝∠DCG，∠EAG＝∠D． ∴∠AEG＝∠BCH，∠EAG＝∠B． ∴△AEG∽△BCH． （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AG∥BC，BC＝AB． ∴△AEG∽△BEC． ∴． 又AG＝BE，AB＝BC， ∴BE2＝AB•AE． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．（2026•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°． （1）求证：AF•BE＝AE•CF； （2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF． 【分析】（1）连接AC，由正方形的性质推出∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°，得到∠BAE＝∠CAF，判定△ABE∽△ACF，即可证明AF•BE＝AE•CF； （2）过点F作FM⊥AC于M，由正方形的性质推出∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD，判定△MCF是等腰直角三角形，得到 CFFM，因此FM＝DF，判定AF平分∠CAD，求出∠BAH＝∠DAF＝22.5°，判定△ABH≌△ADF，推出BH＝DF． 【解答】证明：（1）连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠CAE＝∠CAF+∠CAE＝45°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠ABE＝∠ACF， ∴△ABE∽△ACF， ∴AE：AF＝BE：CF， ∴AF•BE＝AE•CF； （2）过点F作FM⊥AC于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD， ∴△MCF是等腰直角三角形， ∴CFFM， ∵CFDF， ∴FM＝DF， ∵FD⊥AD，FE⊥AC， ∴AF平分∠CAD， ∴∠DAF∠CAD＝22.5°， ∴∠BAH＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠DAF＝22.5°， ∴∠BAH＝∠DAF， ∵AB＝AD，∠ABH＝∠ADF， ∴△ABH≌△ADF， ∴BH＝DF． 【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定△ABE∽△ACF，△ABH≌△ADF． 24．（2026•萨尔图区校级三模）如图，在▱ABCD中E，F分别是AD和BC的中点，连接AF，CE，AC，EF，AC交EF于点O，且AF＝BF． （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）在BC的延长线上取一点G，连接OG，使得．若AC＝8，EF＝6，求OG的长． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，再利用AEAD，BF＝CFBC得到AE＝CF，于是可判断四边形AFCE为平行四边形，然后利用AF＝BF＝CF可判断四边形AFCE为菱形； （2）过O点作OH⊥BC于H点，如图，先根据菱形的性质得到OCAC＝4，OFEF＝3，AC⊥EF，∠ACF＝∠ACE，则利用勾股定理可计算出CF＝5，再证明∠G＝∠COG得到CG＝CO＝4，接着证明Rt△COH∽Rt△CFO，利用相似比求出CH，所以GH，然后利用面积法求出OH，最后在Rt△OHG中利用勾股定理可计算出OG． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E，F分别是AD和BC的中点， ∴AEAD，BF＝CFBC， ∴AE＝CF， 而AE∥CF， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵AF＝BF， ∴AF＝CF， ∴四边形AFCE为菱形； （2）解：过O点作OH⊥BC于H点，如图， ∵四边形AFCE为菱形， ∴OCAC＝4，OFEF＝3，AC⊥EF，∠ACF＝∠ACE， 在Rt△OCF中，CF5， ∵∠ACF＝∠G+∠COG，∠G∠ACE， ∴2∠G＝∠G+∠COG， ∴∠G＝∠COG， ∴CG＝CO＝4， ∵∠OCH＝∠FCO， ∴Rt△COH∽Rt△CFO， ∴CO：CF＝CH：CO， 即4：5＝CH：4， 解得CH， ∴GH＝CH+CG4， ∵OH•CF•OF•OC， ∴OH， 在Rt△OHG中，∵OH，GH， ∴OG． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质． 25．（2026•黔南州模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长． 【分析】（1）先根据三角形中位线定理得到EF∥BD，则△AEF∽△ABD，根据相似三角形的性质得到，则AB＝AD，然后根据菱形的判定方法得到结论； （2）先根据菱形的性质得到AC⊥BD，则AC⊥HF，再证明四边形BDFH为平行四边形得到DF＝BH＝4，所以BC＝AD＝2DF＝8，然后在Rt△CGH中利用含30角的直角三角形三边的关系可求出CG． 【解答】（1）证明：∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵AE＝AF， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵HF∥BD， ∴AC⊥HF， ∴∠CGH＝90°， ∵HF∥BD，DF∥BH， ∴四边形BDFH为平行四边形， ∴DF＝BH＝4， ∴AD＝2DF＝8， ∴BC＝AD＝8， 在Rt△CGH中，∵∠H＝30°，CH＝BH+BC＝12， ∴CGCH＝6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理和菱形的判定与性质． 26．（2025秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，，连接CD，DE，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F． （1）求证：四边形CDEF是平行四边形． （2）若，，，求线段CF的长． 【分析】（1）先证明△ADE∽△ABC，则∠ADE＝∠B，继而得到DE∥BC，再结合已知条件即可证明平行四边形； （2）过点D作DG⊥BC于点G，先解△DBC求出BC，再由△ADE∽△ABC求出DE，最后再根据平行四边形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠A，， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC， ∵EF∥DC， ∴四边形CDEF是平行四边形； （2）解：过点D作DG⊥BC于点G， ∵在Rt△DCG中，，， ∴DG＝2， ∴， ∵在Rt△DGB中，， ∴BG＝5， ∴BC＝BG+CG＝5+3＝8， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 【考点2】相似三角形应用（第27-37题） · 影长、标杆测高：物高与影长成比例 · 凸透镜、小孔成像用相似三角形 · 黄金分割：较长段：全长=0.618 · 实际问题抽象出相似模型列方程 27．（2022秋•耒阳市期末）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为（　　）m． A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8 【分析】根据DE∥CF，可得△ADE∽△ACF，可得，进而得出CF即可． 【解答】解：如图，CF⊥AB，则DE∥CF， ∴△ADE∽△ACF， ∴， 即， 解得CF＝2.7， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 28．（2025秋•辛集市期末）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（　　） A．5cm B． C． D．8cm 【分析】根据题意得出CI＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，证△GIF∽△FEC，根据线段比例关系得出FI的长度即可． 【解答】解：由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm， ∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°， ∴∠CEF＝∠GFI， ∵∠ECF＝∠FIG＝90°， ∴△GIF∽△FCE， ∴， 即， ∴CE＝4FI， 在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2， 即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202， 解得FI或FI＝0（舍去）， 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质并根据比例关系求值是解题的关键． 29．（2024秋•南郑区期末）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图是小孔成像原理的示意图，6cm长的蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则小孔O到像CD的距离是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD，然后证明8字模型△ABO∽△DCO，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD， 由题意得：AB∥CD， ∴∠OAB＝∠ODC，∠ABO＝∠OCD， ∴△ABO∽△DCO， ∴， ∵AB＝6cm，CD＝1cm，OE＝18cm， ∴， 解得：OF＝3， ∴小孔O到像CD的距离是3cm， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定与性质准确熟练地进行计算是解题的关键． 30．（2024秋•长春校级期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可证明△EFD∽△EBC得到，然后代入数值即可得到答案． 【解答】解：如图， ∵DF∥BC， ∴△EFD∽△EBC， ∴， ∵DF＝0.4，BC＝5，DE＝5，CD＝x， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明△EFD∽△EBC是解题的关键． 31．（2024春•东营区期末）如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFGH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为 　30　 cm． 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出EH，EF的长，即可得出答案． 【解答】解：∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH＝GF， ∴EH∥BC， ∵AD⊥BC， ∴AM⊥EH， ∵EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∵矩形零件EFCH的长与宽的比为3：2， 设EH＝GF＝3xcm，EF＝GH＝2x，则MD＝EF＝2xcm，AM＝（12﹣2x）cm， ∴， 解得：x＝3， ∴EH＝3x＝9，EF＝2x＝6， ∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）＝30cm． 故答案为：30． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 32．（2026春•利津县期末）如图，小明在A时测得某树的影长为6米，B时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　2　 米． 【分析】根据题意证△CHO∽△OHD，求出树高OH即可． 【解答】解：如图： 由题知，OH⊥CD，∠COD＝90°， ∴∠C+∠D＝90°，∠C+∠COH＝90°， ∴∠COH＝∠D， ∵∠CHO＝∠OHD＝90°， ∴△CHO∽△OHD， ∴， ∵CH＝2米，DH＝6米， ∴OH＝2米， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 33．（2026•台州一模）如图是笔直杠杆AB的示意图．已知AB＝180cm，支点C离水平地面的高度为20cm．当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为　120　 cm． 【分析】利用相似三角形的判定和性质计算即可． 【解答】解：如图，作BE⊥水平地面于点E， ∴∠ADC＝∠AEB， ∵∠A＝∠A， ∴△ADC∽△AEB， ∴， ∵BE＝30cm，AB＝180cm，CD＝20cm， ∴， ∴AC＝120cm． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 34．（2025秋•天府新区期末）中国西部国际博览城是天府新区标志性建筑，其主展厅采用独特的波浪形金属屋顶．某综合实践小组想利用标杆测量其屋顶最高点到地面的距离．如图，观察员小明在C处立一根标杆CD，且CD＝3m，然后小明走到E处，且CE＝2m，此时他的眼睛所处位置为F，与屋顶最高处A和标杆顶端D在一条直线上．已知∠ABC＝∠DCE＝∠FEB＝90°，BC＝50m，点B，C，E在同一条水平线上，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，请你帮助该实践小组求出中国西部国际博览城屋顶最高点到地面距离AB的长． 【分析】过F作FG⊥AB于G，交CD于H，根据相似三角形的判定得出△FDH∽△FGA，进而利用比例解答即可． 【解答】解：过F作FG⊥AB于G，交CD于H， ∵∠ABC＝∠DCE＝∠FEB＝90°， ∴AB∥DC∥EF， ∴△FDH∽△FGA， ∴， 由题意可知，四边形FECH是矩形，四边形HCBG是矩形， ∵CD＝3m，CE＝2m，BC＝50m， ∴CE＝HF＝2m，BC＝GH＝50m，BG＝EF＝HC＝1.6m， ∴， ∴AG＝36.4m， ∴AB＝BG+AG＝1.6+36.4＝38（m）， 答：AB的长为38m． 【点评】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定得出△FDH∽△FGA解答． 35．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可； （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴． ∵AB∥A′B′， ∴△OAC∽△OA′D， ∴， ∴， ∴， ∴A′B′＝3.2． 答：像A′B′的长度3.2厘米． （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图， ∵A′E∥OD，MN∥A′B′， ∴四边形A′EOD为平行四边形， ∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D． 同理：四边形ACOP为平行四边形， ∴AP＝OC＝32cm， ∵AP∥CD，A′E∥OD， ∴AP∥A′E， ∴△APO∽△A′EO， ∴， ∴． ∵MN∥A′B′， ∴△POF∽△A′DF， ∴， ∴OFOD（厘米）． 答：凸透镜焦距OF的长为厘米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 36．（2025秋•苏家屯区期末）某实践小组欲测量路灯的高度和路灯与树之间的距离，过程见表． 主题 测量路灯的高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：让小组成员小明同学站在树的影子的底部，路灯AB、树CD的底端与小明的站位点E在同一条直线上． 步骤2：小组成员小刚和小亮分别测得小明的影长EH为3米，小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米． 步骤3：小组成员小强想要测量路灯与树之间的距离，小强同学通过观察发现灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，小强想不用实际测量，根据现有条件能否借助反比例函数的知识求出路灯与树之间的距离． 根据表格信息，解决下列问题： （1）求路灯高度AB； （2）树与路灯相距多少米？ 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质定理得到AB＝7； （2）建立平面直角坐标系，设B（m，7），F（m+9，1.75），求得双曲线的解析式为y，设D（n，），根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB⊥AH，EF⊥AH， ∴AB∥EF， ∴△EFH∽△ABH， ∴， ∴， ∴AB＝7， 答：路灯高度AB为7米； （2）建立如图所示的平面直角坐标系， 设B（m，7），F（m+9，1.75）， ∵灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支， 7m＝1.75（m+9）， ∴m＝3， ∴B（3，7）， 设双曲线的解析式为y， ∴k＝21， ∴双曲线的解析式为y， 设D（n，）， ∴AC＝n﹣3，CD， ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∴， ∴n＝9或n＝3（不合题意舍去）， 答：树与路灯相距6米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，反比例函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 37．（2024秋•奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米． （1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【分析】（1）过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N，根据三角函数求出ON和MN的长度，即可得到OM的长； （2）过点O作OH'⊥BD于点H'，延长HO交CA延长线于点N，根据，求出BH'的长度，即可得到重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【解答】解：（1）过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N， ∵cotB＝0.75，OH＝1.6m， ∴BH＝1.2m，cosB， ∵cosB，AB＝6m， ∴BG＝3.6m， ∴HG＝BG﹣BH＝3.6﹣1.2＝2.4（m）， ∴ON＝HG＝2.4m， 又∵AT＝AC﹣CT＝3﹣0.5＝2.5（m）＝MN， ∴OM＝ON+MN＝2.4+2.5＝4.9（m）， 答：这个桔槔支架OM的高度为4.9m； （2）过点O作OH'⊥BD于点H'，延长HO交CA延长线于点N， 由（1）知：BO＝2m，AO＝4m，OM＝NT＝4.9m， ∴AN＝4.9﹣3﹣0.6＝1.3（m）， ∵， ∴， ∴BH'＝0.65m， ∴BH﹣BH'＝1.2﹣0.65＝0.55（m）， 答：重物D相对于（1）中的位置下降的高度为0.55m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用三角函数进行计算是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•红河州一模）如图，若DE∥BC，且，则　　 ． 【分析】先证明△ADE∽△ABC，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【解答】解：∵DE∥BC，且， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【练习 2】（2026•千山区一模）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝　4：25　 ． 【分析】根据S△BDE：S△CDE＝2：3可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据△ODE∽△OCA可得． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3， ∴， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∵DE∥AC， ∴△ODE∽△OCA， ∴， 即S△DOE：S△AOC＝4：25， 故答案为：4：25． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【练习 3】（2025•重庆模拟）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD平分∠BAC，AC＝AD，过C作CE⊥AD于点E，则DE长为　　 ． 【分析】延长CE交AB于点H，过点H作HF∥AD交BC于点F，得到△ACH为等腰三角形，由HF∥AD可证明△BFH∽△BDA，得到，求出，根据△CDE∽△CFH得到，即可得到答案． 【解答】解：如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点H，过点H作HF∥AD交BC于点F， ∴△ACH为等腰三角形， ∴点E为CH中点，AH＝AC＝8， ∴CH＝2CE，BH＝AB﹣AH＝10﹣8＝2， ∵HF∥AD， ∴△BFH∽△BDA， ∴， ∵AC＝AD＝8， ∴， ∵HF∥AD， ∴△CDE∽△CFH， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【练习 4】（2026•门头沟区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　　 ． 【分析】根据矩形的性质结合勾股定理求出DE长，证明△EFC∽△AFB，则，据此求解即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝AE＝5，BC＝3， ∴∠D＝∠B＝∠ECF＝90°，AD＝BC＝3，AB＝DC＝5， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， ∴EC＝DC﹣DE＝5﹣4＝1， ∵∠ECF＝∠B＝90°，∠EFC＝∠AFB， ∴△EFC∽△AFB， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【练习 5】（2026•南京一模）如图，AD是△ABC的中线，ED＝2AE，BE的延长线交AC于点F，则的值为 　　 ． 【分析】过点D作DM∥BF交AC于M，证明△CDM∽△CBF可得，则可推出CM＝FM；证明△AEF∽△ADM，可得，则可推出CM＝FM＝2AF，进而得到AC＝5AF，则． 【解答】解：如图，AD是△ABC的中线，过点D作DM∥BF交AC于M， ∴， ∵ED＝2AE， ∴AD＝3AE， ∵DM∥BF， ∴△CDM∽△CBF， ∴， ∴， ∴CM＝FM； ∵DM∥BF， ∴△AEF∽△ADM， ∴， ∴， ∴CM＝FM＝2AF， ∴AC＝5AF， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 💯 课后巩固 复习建议 · 相似判定四法：平行、AA、SAS、SSS · 熟记A/X/母子/旋转四种基本模型 · 乘积式先化比例式，再找相似三角形 · 动点题用t表示线段，结合相似列方程 · 实际测量题抽象出相似三角形，注意单位 【作业 1】如图，平行四边形ABCD中，对角线交于点O，那么下列结论正确的是（　　） A．△AOB与△BOC的周长相等 B．BO2＝AO•CO C．CD2＝DO•DB D．BD2+AC2＝2AB2+2AD2 【分析】过A点作AG⊥BC于G点，DH⊥BC于H点，如图，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，易得四边形AGHD为矩形，所以GH＝AD，利用只有当AB＝BC时，△AOB与△BOC的周长相等，从而可对A选项进行判断；利用OB与OA不一定相等得到BO2＝AO•CO不一定成立，从而可对B选项进行判断；利用∠ODC＝∠CDB，而∠DCO与∠DBC不一定相等，所以不能确定△DOC∽△DCB，从而可对C选项进行判断；利用勾股定理得到AC2＝AG2+CG2，AG2＝AB2﹣BG2，再把BG＝BC﹣CG代入得到AC2＝AB2﹣BC2+2BC•CG①，再利用BD2＝HB2+DH2，DH2＝DC2﹣CH2，然后把BH＝BC+CH代入得到BD2＝BC2+DC2+2BC•CH②，则①+②得BD2+AC2＝AB2+DC2+2BC•AD，从而利用AD＝BC，AB＝CD可对D选项进行判断． 【解答】解：过A点作AG⊥BC于G点，DH⊥BC于H点，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形AGHD为矩形， ∴GH＝AD， △AOB的周长＝AB+OA+OB，△BOC的周长＝BC+OB+OC， 只有当AB＝BC时，△AOB与△BOC的周长相等，所以A选项不符合题意； ∵OA＝OC， ∴AO•OC＝OA2， 而OB与OA不一定相等， ∴BO2＝AO•CO不一定成立，所以B选项不符合题意； ∵∠ODC＝∠CDB， 而不能确定∠DCO＝∠DBC， ∴不能确定△DOC∽△DCB， ∴CD2＝DO•DB不一定成立，所以C选项不符合题意； 在Rt△ACG中，AC2＝AG2+CG2， 在Rt△ABG中，AG2＝AB2﹣BG2， 而BG＝BC﹣CG， ∴AC2＝AB2﹣（BC﹣CG）2+CG2＝AB2﹣BC2+2BC•CG①， 在Rt△BDH中，BD2＝HB2+DH2， 在Rt△DCH中，DH2＝DC2﹣CH2， 而BH＝BC+CH， ∴BD2＝（BC+CH）2+DC2﹣CH2＝BC2+DC2+2BC•CH②， ①+②得BD2+AC2＝AB2+DC2+2BC（CG+CH）＝AB2+DC2+2BC•AD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴BD2+AC2＝2AB2+2AD2，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了勾股定理和平行四边形的性质． 【作业 2】（2025秋•钱塘区期末）如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，连结CD，DE，EF，且满足DE∥BC，EF∥CD．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】由DE∥BC，得，则，由EF∥CD，证明△AEF∽△ACD，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∴， ∵EF∥CD， ∴△AEF∽△ACD， ∴， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出及证明△AEF∽△ACD是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•闵行区月考）如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，联结AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，联结EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B，D两点），以下结论中：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【分析】①连接PC，证明△ADP≌△CDP（SAS），得到∠DAP＝∠DCP，根据矩形的性质得到∠DAP＝∠CFE，又因为∠DAP+∠AMD＝90°，所以∠CFE+∠AMD＝90°，得到AH⊥EF． ②当P为BD的中点时，MC＝0，可见MF≠MC． ③先证明△CPM∽△HPC，得到，因为四边形PECF为矩形，所以PC＝EF，EF2＝PM•PH． ④因为EF＝PC＝AP，当AP⊥BD时，EF取最小值，进而得到AP＝EF． 【解答】解：①如图，连接PC，交EF于点O， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴∠DAP＝∠DCP， ∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴OF＝OC， ∴∠FCP＝∠CFE， ∴∠DAP＝∠CFE， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠CFE+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF， 故①正确； ②当P为BD的中点时，MC＝0，可见MF≠MC，故②错误； ③∵AD∥BH， ∴∠H＝∠DAP， ∵△ADP≌△CDP（SAS）， ∴∠DAP＝∠DCP， ∴∠H＝∠DCP， ∵∠CPH＝∠MPC， ∴△CPM∽△HPC， ∴， 又∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∴EF2＝PM•PH， 故③正确； ④∵△ADP≌△CDP（SAS）， 四边形PECF为矩形， ∴EF＝PC＝AP， ∴当AP⊥BD时，EF取最小值， AP•BD＝AB•BD， ∴AP＝EF， 故④错误， 综上正确的结论有①③， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【作业 4】（2025秋•扬州期末）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为2.6cm，蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为3cm，该凸透镜的焦距OF为4cm，AE∥OF，则像CD的高为　10.4　 cm． 【分析】先证△CAE∽△COF得出，再证△OAB∽△OCD，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出CD的长． 【解答】解：如图，由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD， ∴四边形ABOE是平行四边形． ∴AE＝OB＝3cm， ∵AE∥OF， ∴△CAE∽△COF， ∴， ∴． ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∴． ∴CD＝10.4cm， 故答案为：10.4． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•永吉县期末）如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得影长AB＝16米，DA＝3米，影长CA＝4米，则楼高EB为 　12　 米． 【分析】根据垂直定义可得∠DAC＝∠EBA＝90°，再利用平行线的性质可得∠DCA＝∠EAB，从而可得△DCA∽△EAB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵DA⊥CB，EB⊥CB， ∴∠DAC＝∠EBA＝90°， ∵DC∥EA， ∴∠DCA＝∠EAB， ∴△DCA∽△EAB， ∴， ∴， 解得：EB＝12， ∴楼高EB为12米， 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•静安区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4，DB＝5，∠ACD＝∠B，那么　　 ． 【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【解答】解：∵AD＝4，DB＝5， ∴AB＝AD+BD＝9， ∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴， ∴AC＝6（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判断定理与性质定理是解题的关键． 【作业 7】（2023秋•西湖区校级月考）已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，则AQ＝　4　 ． 【分析】过点A作AC∥QB，交QP的延长线于点C，利用平行线的性质和角平分线的定义可得△AQC是等腰三角形，从而可得AQ＝AC，再根据黄金分割的定义可得，从而可得AP＝BQ＝22，然后证明8字模型△BQP∽△ACP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点A作AC∥QB，交QP的延长线于点C， ∴∠BQP＝∠C， ∵QP平分∠AQB， ∴∠AQP＝∠BQP， ∴∠AQP＝∠C， ∴AQ＝AC， ∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4， ∴， ∴AP＝22， ∵BQ＝AP， ∴BQ＝22， ∵∠BPQ＝∠APC， ∴△BQP∽△ACP， ∴， ∴AC＝4， ∴AQ＝AC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【作业 8】如图，△ABC∽△DAC，试找出对应角，并写出比例式． 【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC∽△DAC， ∴对应角为∠CAB＝∠CDA，∠CBA＝∠CAD，∠ACB＝∠DCA， 比例为． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． 【作业 9】（2024春•威海期末）如图，Rt△ABC的两条直角边，AB＝4cm，AC＝3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm，秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE． （1）求当动点运动时间t为多少秒时，△BDE与△ABC相似； （2）在运动过程中，当CD⊥DE时，求t的值． 【分析】设D点运动时间为t秒，则AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤t）； （1）分类：当∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC；当∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值； （2）先计算出DF＝AB﹣AD﹣BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t． 【解答】解：设D点运动时间为t秒，则AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤t）， （1）当∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴BD：BA＝BE：BC，即（4﹣t）：4＝2t：5， ∴t； 当∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA， ∴BD：BC＝BE：BA，即（4﹣t）：5＝2t：4， ∴t； 所以当动点运动秒或秒时，△BDE与△ABC相似； 故答案为：或； （2）当CD⊥DE时，t秒．理由如下： 如图，过点E作EF⊥AB于F， DF＝AB﹣AD﹣BF＝4﹣t4t， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∴∠ADC+∠EDF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠FDE， ∵∠CAD＝∠DFE， ∴Rt△ACD∽Rt△FDE， ∴AC：DF＝AD：EF，即3：（4t）＝t：， ∴t（秒）． 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． 【作业 10】（2024•兴宁市校级一模）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：AF＝AB； （2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H． ①求证：AH•CH＝DH•GH； ②若AG＝2，FG＝6，求GH的长． 【分析】（1）先根据AAS证明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）①先根据（1）可得：AB＝AF＝8，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG＝GF＝6，证明△DCH∽△AGH，进而得证； ②利用△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， ∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F， ∵E是AD的中点， ∴DE＝AE， ∴△CDE≌△FAE（AAS）， ∴CE＝EF， ∵AE∥BC， ∴1， ∴AF＝AB； （2）①证明：∵AG＝2，FG＝6， ∴AF＝FG+AG＝6+2＝8， ∴AB＝AF＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝8， ∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD， ∴∠F＝∠FCG， ∴CG＝FG＝6， ∵CD∥AF， ∴△DCH∽△AGH， ∴， ∴AH•CH＝DH•GH； ②解：由①得△DCH∽△AGH， ∴，即， ∴GH＝1.2． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键． 【作业 11】（2024秋•立山区期中）如图，在Rt△ABC中，D在斜边AB上，过点D作DE⊥AB，交AC的延长线于点E，交BC于点F．求证：AD•DB＝DF•DE． 【分析】先证明∠A＝∠BFD，再证明△ADE∽△FDB，根据相似三角形的性质即可证明结论． 【解答】证明：∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝∠BDF＝90°， ∴∠B+∠BFD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BFD， 在△ADE和△FDB中，∠ADE＝∠BDF＝90°，∠A＝∠BFD， ∴△ADE∽△FDB， ∴， ∴AD•DB＝DF•DE． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•九台区期末）如图，在△ABC中．过点B作∠ABD＝∠C，使边BD交AC于点D． （1）求证：△ABD∽△ACB． （2）若AB＝6，AD＝4，求线段CD的长． 【分析】（1）由∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△ACB； （2）由相似三角形的性质得，而AB＝6，AD＝4，则AC9，求得CD＝AC﹣AD＝5． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB． （2）解：∵△ABD∽△ACB， ∴， ∵AB＝6，AD＝4， ∴AC9， ∴CD＝AC﹣AD＝9﹣4＝5， ∴CD的长是5． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△ABD∽△ACB是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $