第1章 图形的相似（复习讲义）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理“图形的相似”单元的复习要点与重难点，按线段的比、平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质等位似知识模块构建知识脉络，清晰呈现各知识点内在联系与核心分布。 讲义亮点在于分层练习设计，“要点速测”夯实基础，“迁移练”强化应用，如利用标杆测量旗杆高度培养模型意识，“难点精练”突破动点问题提升推理能力，助力不同层次学生进阶，为教师精准教学提供有效支持。

第一章 图形的相似 复习要点 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比． 4.掌握平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 6.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 复习重难点 重点：比例的基本性质及其应用，相似三角形的判定与性质． 难点：利用图形的相似解决实际问题，． 知识点 线段的比 （1）比例的基本性质：如果 （2）成比例的线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例的线段。 （3）黄金分割：在线段AB上有一点C，如果，那么点C就是线段AB的黄金分割点。较长线段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比。 注意：（1）a，b，c，d成比例也可记作a：b=c：d （2）两条线段长度的比叫做两条线段的比 要点归纳：（1）比例的基本性质可以逆用：如果，那么或或或等 （2）判断四条线段是否成比例，根据概念可以用最小的和最大的相乘，看它们的积是否等于另外两个相乘。 要点速测 1.若，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】由得，故此项等式不成立； B.由得，故此项等式不成立； C.由得，故此项等式不成立； D.由得，故此项等式成立， 故选D． 2.下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C  【详解】、，故本选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故本选项错误． 故选C． 知识点 平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 要点归纳：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等 要点速测 3.如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，，，则          ． 【答案】  【详解】， ， ， 解得：． 故答案为． 4.如图，在中，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】 ， ， ． 故选A． 知识点 相似图形的概念、性质 （1）对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比是相似比。 （2）相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 注意：（1）表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 （2） 全等三角形是相似三角形的特例。 （3） 任意两个平行四边形、矩形、菱形不一定相似，但任意两个正方形一定相似。 要点归纳：（1）把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似图形。 （2）把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形。 要点速测 5.下列各选项中的两个图形不一定相似的是(    ) A. 两个斜边不等的等腰直角三角形 B. 两个边长不等的菱形 C. 两个边长不等的等边三角形 D. 两个边长不等的正方形 【答案】B  【详解】、两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，不符合题意； B、两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，符合题意； C、两个边长不等的等边三角形一定相似，不符合题意； D、两个边长不等的正方形一定相似，不符合题意， 故选：． 6.如图所示的两个四边形相似，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】两个四边形相似， ， 四边形的内角和等于， ． 故选C． 知识点 相似三角形的判定 （1）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 （2）相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （3）相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 要点归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 要点速测 7.如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点求证：∽． 【详解】证明：， ， ， ∽．  8.如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【详解】第个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似． 知识点 相似三角形的性质 （1）相似三角形对应线段的比等于相似比。 （2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 要点归纳：（1）相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 （2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 （3）相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。 （4）相似三角形对应周长的比等于相似比。 要点速测 9.如图，，，若的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】∵，， ∴相似比为 ∵的周长为 ∴的周长为8×=12 故选C 10.∽，已知，，面积为，那么另一个三角形的面积为 (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】∵，， ∴相似比为 ∴ =（）²= ∵面积为 ∴ = ∴=14.4 即另一个三角形的面积14.4 故选B 知识点位似 取定一个点O，把一个图形上每一个点P对应到射线OP（或射线OP的反向延长线）上的点P’使得=，其中k是非零常数，当k＞0时，点P’在射线OP上，当k＜0时，点P’在射线OP的反向延长线上，特别地，点O对应到它本身，我们把图形的这种变换称为位似，这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点叫做位似中心，常数k叫做位似比。 要点归纳：（1）若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行（或在同一条直线上）。 （2）在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小至原来的k倍(k>0)，则所对应的图形与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为k。 要点速测 11.如图，在平面直角坐标系中，点，请以点为位似中心，在轴的上方将放大为原来的倍，得到． 在平面直角坐标系中画出 直接写出的面积为          ． 【答案】如图所示：即为所求 ．  【详解】（2）=×4×4+×4×4=16 题型1 比例的基本性质 ▌例1 已知，，求，，的值． 解题要点 比例的基本性质 1.如果 2.通常引入参数k 【详解】解：设， ，，， ， ， 解得：， ，，． ▌迁移练1-1若，则          ． 【答案】  【解析】解：由，可设，，是非零整数， 则． 故答案为． ▌迁移练1-2已知． 求的值； 若，求，，的值． 【详解】(1)设a=3k，b=2k，c=5k，其中k≠0． ∴ (2)4·3k-2·2k+5·5k=66， 解得k=2， ∴a=3k=6，b=2k=4，c=5k=10．  题型2 平行线分线段成比例 ▌例2 如图，已知，，，，求的长． 【详解】解：， ． ，，， ． 解得． 解题要点 平行线分线段成比例 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ▌迁移练2-1如图，，，，，，求的长． 【详解】，， ，， ， ，．  ▌迁移练2-2如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是(    ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 【答案】C  【详解】如图， ，， ． 故选C． 题型3 平行中的三角形相似 ▌例3 2026·贵州中考 如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m，测得，，则旗杆BC的高度是(    ) A. 9m B. 12m C. 18m D. 24m 【答案】B 解题要点 平行中的三角形相似 1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 2.三角形中，看见平行想相似，再由相似想性质。 【详解】解：由题意可知：，，，，，  ，，  ∽，  ，即，  解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意，  故选： ▌迁移练3-1如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，   ， ∽，   ， ，解得  四边形是平行四边形， ． 故选B． ▌迁移练3-2如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，， 四边形为平行四边形， ， ， ∽ ， ：：， ：：， ， ． 故选：． ▌迁移练3-3如图，在中，、分别在边、上，，交于，那么下列比例式中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：，， ∽，∽， ，， ，故C选项符合题意； ，， ∽，， ，故A选项不符合题意； ，， ，， ， ，故B选项不符合题意； ∽，， ，， ， 不一定等于 ， 不一定等于，故D选项不符合题意 故选：． 题型4 相似三角形的判定 ▌例4 如图，在中，点，分别在边，上，，线段分别交线段，于点，，且． 求证：∽； 若，求的值． 【详解】(1)∵∠AED＝∠B，解题要点 相似三角形的判定 没有平行的情况下，优先找相等的对应角，如果能找到一对相等的对应角，可以考虑再找一对相等的对应角，然后用两角分别相等的两个三角形相似，如果找不到，尝试寻找两边对应成比例（此角必须为夹角），然后用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如果找不到相等的对应角，可以尝试找三边对应成比例，然后用三边对应成比例的两个三角形相似。 ∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， ∴∠ADF＝∠C， 又∵＝， ∴△ADF∽△ACG； (2)∵△ADF∽△ACG， ∴＝， ∵＝，∴＝， 又∵AG＝AF＋FG， ∴＝. ▌迁移练4-1已知：如图，在中，，点，分别在，的延长线上，连接．，，，． 求证：∽． 【详解】证明：在中，，，， ， ， ， ，   又， ∽．  ▌迁移练4-2如图，网格图中每个方格都是边长为的正方形，，，，，，都是格点， 求证：． 【详解】证明： ，， ， ． ． 题型5 相似三角形的性质 ▌例5 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，求的周长与的周长之比． 【详解】解：四边形为平行四边形，解题要点 相似三角形的性质 1.求相似三角形对应线段的比转化为求相似三角形的相似比。 2.求相似三角形的面积比转化为求相似三角形的相似比的平方。 ， ， ∽ 与的相似比为 ， 根据的周长与的周长之比等于与的相似比可得 ．  ▌迁移练5-1如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】， ∽， ， ． ，即， ． 故选：． ▌迁移练5-2如图，，分别是的边，上的点，且，，相交于点若，则与的比是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】∵ ∴△DOE∽△COA，△BDE∽△ABC ∵ ∴DE：AC=1:5 ∴BE：BC=DE：AC=1:5 ∴BE：CE=1:4 ：=1:4 故选B 难点一 对应高的比等于相似比 常见题型：题中出现多条垂线，让证相似或求值。核心难点是找不到对应高． 解题方法：认真审题，圈出关键信息，找出正确的相似三角形和相应的高。如果题中没有高，要想到作高。 高频错误：不能准确利用对应高。 难点精练 1.如图，，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个长是宽的倍的矩形，使它的一边在上，顶点、分别在，上，与的交点为． 试说明：的理由； 求这个矩形的面积． 【详解】(1)证明：∵四边形EFGH为矩形， ∴EF// GH，∴∠AHG＝∠ABC， 又∵∠HAG＝∠BAC， ∴△AHG∽△ABC， ∴＝； (2)解：设HE＝xcm，MD＝HE＝xcm， ∵AD＝60cm，∴AM＝(60﹣x)cm， ∵HG＝2HE，∴HG＝2xcm， 由（1）得：＝，可得：＝，解得：x＝24， 故HE＝24，HG＝2x＝48， 则矩形EFGH的面积＝24×48＝1152cm2．  2.表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图、图所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 【详解】解：设正方形的边长为米． 方案一：， ∽ ，解得． 方案二：作于，交于点，则四边形是矩形． ，米，米， ， 米， ，∽ ，即解得 ， 方案一的正方形水池面积更大．  难点二 相似三角形中的动点问题 常见题型：t满足什么条件时，两个三角形相似，核心难点是找不到入手点． 解题方法：.一般先找到一对相等的对应角，然后分类讨论找对应边（此角必须为夹角）成比例 高频错误：没有分类讨论，只写一种情况。 难点精练 3．如图，在中，，，，动点以的速度从向移动，不与重合，动点以的速度从向移动，不与重合，若、同时出发，经过           秒后，与相似． 【答案】或  【详解】设秒后与相似，则 ，， ， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得． 即经过秒或秒后，与相似． 故答案为：或． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，垂足为，作轴的垂线，垂足为点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动当点运动到点时，三点都停止运动设运动时间为秒． 用含的式子分别表示点，的坐标 若与以，，为顶点的三角形相似，求的值． 【详解】(1)解:由题意得OE=3t,OD=t,BF=2t. ∵BA⊥x轴,BC⊥y轴,∠AOC=90°, ∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°, ∴四边形OABC是矩形, ∴AB=OC,BC=OA. ∵B(12,10),∴BC=OA=12,AB=OC=10, ∴AF=10-2t,AE=12-3t, ∴点E的坐标为(3t,0),点F的坐标为(12,10-2t). (2)①当△ODE∽△AEF时,有=, ∴=, 解得t1=0(不符合题意,舍去),t2=; ②当△ODE∽△AFE时,有=, ∴=, 解得t1=0(不符合题意,舍去),t2=6. ∵点E运动到点A时,三点都停止运动, ∴3t≤12,∴t≤4. ∵6>4,∴t=6舍去,∴t=. 综上所述,t的值为. 难点三 相似三角形的实际应用 常见题型：给出操作步骤，测量数据，求高度或长度，核心难点是看不懂题，找不到关键点． 解题方法：认真审题，圈出关键信息，把实际问题转化为数学问题，再利用相似解决问题 高频错误：遗漏重要信息。 难点精练 5.雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上处有一处积水，如图，若小李站在处距积水米，他正好从水面上看到距他约米的前方一棵树的顶端的影子已知点、、在同一直线上，，，小李的眼睛到地面的距离为米，求树的高．，积水水面大小忽略不计 【详解】解：由题意得：∽， ， 米，米，米， 即：， 解得：， 答：树高大约是米． 6.如图，小明要测量操场旗杆高度立两根高米的标杆和，两杆相距米，，，在同一直线上，小明从退行米到，从观察，此时，，三点共线；从退行米到，从看，此时，，三点也共线．请你帮小明算出旗杆的高度及的距离． 【详解】设米，米， 根据题意可得：，， 则∽，∽， 故，， 即，， 则， 解得：，， 答：旗杆的高度为米，的距离为米． 基础达标 1．已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】， ， 故选C． 2.若∽，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】∽， ， ，， ， 故选：． 3.（2025广东中考）如图，把放大后得到，则与的相似比是（ ） A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:5 【答案】B 【详解】由题意得，△AOB∽△COD ∴相似比为OB：OD=2:6=1:3 4.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A  【详解】解：由题意知，点是的黄金分割点， 且，，则， ， ， 故选：． 5.如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ） A.2:1 B.3:1 C.4:1 D.5:2 【答案】C 【详解】解：由折叠知， 又， ，， 又，∽ ， ．  故选C 6.如图，在中，是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】如图，做，交于点， 为中点， ， ， ，， ， ． 故选： 7.如图，中，、分别是、边上一点，连接请你添加一个条件，使∽，则你添加的这一个条件可以是          写出一个即可． 【答案】答案不唯一  【详解】， 当或时，∽． 故答案为答案不唯一． 8.如图，在中，、分别为、上的点，若，，则          ． 【答案】  【解析】， ∽， 故答案为：． 9.如图，在四边形中，，，则          ． 【答案】  【详解】， ∽， ． ， ， ． 10.如图，请在的网格中，以点为位似中心，作出的一个位似图形，使与的位似比为． 【详解】解：如图所示，为所求的三角形．   11.已知，，是的三边，满足 ，且． 求，，的值． 若线段是线段、的比例中项，求． 【详解】(1)，，； ∵，且， ∴， ∴，，， ∴，，， (2) ∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴， 12..如图，在中，，，是的平分线．求证：∽． 【详解】证明：，， 是的平分线， ，， ∽．  13.如图，某测量人员站在地面点处利用标杆测量一旗杆的高度测量人员眼睛处点、标杆顶端处点与旗杆顶端处点在同一条直线上，点，，也在同一条直线上已知测量人员眼睛到地面的距离米，标杆高米，且米，米，求旗杆的高度。 【详解】解：作交于点，如图所示， ，， ， ，易知，， ，，，， ，， ， ∽，  ，即， ， ． 14.已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接． 求证：； 求的值； 【详解】(1)证明：四边形是正方形， ，， ， ， ． (2)，， ， ， 在中，，， ， ， 同法可得， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15.如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，求的长． 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形，， ∽，． ，，正方形的边长为， ，解得，． 又由得∽， ，即，解得， ． 能力进阶 1.如图，已知，为的中点，延长至，使，连接交于点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】设， ， ． 四边形是平行四边形， ，． ∽， 为的中点， ． 故选D． 2.如图，取一张长为，宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边，应满足的条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】由题意得： 对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为， 小长方形与原长方形相似， ， ， ， ， 故选：． 3.如图，在正方形网格上有两个相似三角形，和，则的度数为          ． 【答案】 【详解】∽， ， 又， ． 4.如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，，若，则点的坐标为          ． 【答案】 【详解】以原点为位似中心，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，把点的横纵坐标分别乘以或即可得到点的坐标． 解：连接， 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为：， 为的中点， ， ， ， ， ，， ，， 点的坐标为， 故选B． 5.已知，求的值． 【详解】， ， 当时，， 当时，， ， 或． 6.如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上． 求的长 求灯泡到地面的高度． 【详解】解：由题意可得，， 则∽， ， 即， ． ，， ， 由光在镜面反射中的入射角等于反射角可得． 又， ∽， ， 即， ． 答：灯泡到地面的高度为．  7.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上． 求证：∽； 若这个矩形的边，则这个矩形的长、宽各是多少？ 【详解】(1)∵四边形PNQM为矩形， ∴MN// PQ，即PQ// BC， ∴△APQ∽△ABC；  (2)设边宽为xmm，则长为2xmm， ∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ// BC， ∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD， ∵PN︰PQ＝1︰2，∴PQ为长，PN为宽， ∵PQ// BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝， 由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm， ∴＝，解得：x＝，2x＝．即长为 mm，宽为 mm． 答：矩形的长 mm，宽为 mm． 8.如图，已知中，，，动点沿方向从点向点运动，同时，动点沿方向从点向点运动，速度都为每秒个单位长度，，中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点作，交边于点，连结，设，的运动时间为． 直接写出的长；用含的代数式表示 若，求当为何值时，与相似； 【详解】解：，， ， ， ； ，， ， ， ， ，，， ， 和相似， 或， 或， 解得：，舍去，舍去，， 则当或时，与相似．  1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 图形的相似 复习要点 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比． 4.掌握平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 6.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 复习重难点 重点：比例的基本性质及其应用，相似三角形的判定与性质． 难点：利用图形的相似解决实际问题，． 知识点 线段的比 （1）比例的基本性质：如果。 （2）成比例的线段：在四条线段中，如果 ，那么这四条线段叫做成比例的线段。 （3）黄金分割：在线段AB上有一点C，如果，那么点C就是线段AB的黄金分割点。较长线段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比。 注意：（1）a，b，c，d成比例也可记作a：b=c：d （2）两条线段 的比叫做两条线段的比 要点归纳：（1）比例的基本性质可以逆用：如果，那么 等 （2）判断四条线段是否成比例，根据概念可以用最小的和最大的相乘，看它们的积是否 另外两个相乘。 要点速测 1.若，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 2.下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 知识点 平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 。 （2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 。 要点归纳：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也 。 要点速测 3.如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，，，则          ． 4.如图，在中，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 知识点 相似图形的概念、性质 （1）对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角 、对应边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比是相似比。 （2）相似多边形的对应角 ，对应边 。 注意：（1）表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 （2） 全等三角形是相似三角形的特例。 （3） 任意两个平行四边形、矩形、菱形 相似，但任意两个正方形 相似。 要点归纳：（1）把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是 。 （2）把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为 。 要点速测 5.下列各选项中的两个图形不一定相似的是(    ) A. 两个斜边不等的等腰直角三角形 B. 两个边长不等的菱形 C. 两个边长不等的等边三角形 D. 两个边长不等的正方形 6.如图所示的两个四边形相似，则的度数是(    ) A. B. C. D. 知识点 相似三角形的判定 （1）相似三角形的判定定理1： 的两个三角形相似。 （2）相似三角形的判定定理2： 的两个三角形相似。 （3）相似三角形的判定定理3： 的两个三角形相似。 要点归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形 。 要点速测 7.如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点求证：∽． 8.如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 知识点 相似三角形的性质 （1）相似三角形对应线段的比等于 。 （2）相似三角形的面积比等于 。 要点归纳：（1）相似三角形对应边上的高的比等于 。 （2）相似三角形对应角平分线的比等于 。 （3）相似三角形对应边上的中线的比等于 。 （4）相似三角形对应周长的比等于 。 要点速测 9.如图，，，若的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 10.∽，已知，，面积为，那么另一个三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 知识点位似 取定一个点O，把一个图形上每一个点P对应到射线OP（或射线OP的反向延长线）上的点P’使得=，其中k是非零常数，当k＞0时，点P’在射线OP上，当k＜0时，点P’在射线OP的反向延长线上，特别地，点O对应到它本身，我们把图形的这种变换称为 ，这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点叫做 ，常数k叫做 。 要点归纳：（1）若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅 ，而且对应点的连线 ，对应线段平行（或在同一条直线上）。 （2）在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小至原来的k倍(k>0)，则所对应的图形与原图形是以原点为位似中心的 ，位似比为k。 要点速测 11.如图，在平面直角坐标系中，点，请以点为位似中心，在轴的上方将放大为原来的倍，得到． 在平面直角坐标系中画出 直接写出的面积为          ． 题型1 比例的基本性质 ▌例1 已知，，求，，的值． 解题要点 比例的基本性质 1.如果 2.通常引入参数k ▌迁移练1-1若，则          ． ▌迁移练1-2已知． 求的值； 若，求，，的值． 题型2 平行线分线段成比例 ▌例2 如图，已知，，，，求的长． 解题要点 平行线分线段成比例 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ▌迁移练2-1如图，，，，，，求的长． ▌迁移练2-2如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是(    ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 题型3 平行中的三角形相似 ▌例3 （2026·贵州中考） 如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m，测得，，则旗杆BC的高度是(    ) A. 9m B. 12m C. 18m D. 24m 解题要点 平行中的三角形相似 1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 2.三角形中，看见平行想相似，再由相似想性质。 ▌迁移练3-1如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为(    ) A. B. C. D. ▌迁移练3-2如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为(    ) A. B. C. D. ▌迁移练3-3如图，在中，、分别在边、上，，交于，那么下列比例式中正确的是(    ) A. B. C. D. 题型4 相似三角形的判定 ▌例4 如图，在中，点，分别在边，上，，线段分别交线段，于点，，且． 求证：∽； 若，求的值． 解题要点 相似三角形的判定 没有平行的情况下，优先用两角分别相等的两个三角形相似，如果不能用，再考虑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，最后考虑用三边对应成比例的两个三角形相似。 ▌迁移练4-1已知：如图，在中，，点，分别在，的延长线上，连接．，，，． 求证：∽． ▌迁移练4-2如图，网格图中每个方格都是边长为的正方形，，，，，，都是格点， 求证：． 题型5 相似三角形的性质 ▌例5 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，求的周长与的周长之比． 解题要点 相似三角形的性质 1.求相似三角形对应线段的比转化为求相似三角形的相似比。 2.求相似三角形的面积比转化为求相似三角形的相似比的平方。 ▌迁移练5-1如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. ▌迁移练5-2如图，，分别是的边，上的点，且，，相交于点若，则与的比是(    ) A. B. C. D. 难点一 对应高的比等于相似比 常见题型：题中出现多条垂线，让证相似或求值。核心难点是找不到对应高． 解题方法：认真审题，圈出关键信息，找出正确的相似三角形和相应的高。如果题中没有高，要想到作高。 高频错误：不能准确利用对应高。 难点精练 1.如图，，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个长是宽的倍的矩形，使它的一边在上，顶点、分别在，上，与的交点为． 试说明：的理由； 求这个矩形的面积．  2.表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图、图所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大．  难点二 相似三角形中的动点问题 常见题型：t满足什么条件时，两个三角形相似，核心难点是找不到入手点． 解题方法：.一般先找到一对相等的对应角，然后分类讨论找对应边（此角必须为夹角）成比例 高频错误：没有分类讨论，只写一种情况。 难点精练 3．如图，在中，，，，动点以的速度从向移动，不与重合，动点以的速度从向移动，不与重合，若、同时出发，经过           秒后，与相似． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，垂足为，作轴的垂线，垂足为点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动当点运动到点时，三点都停止运动设运动时间为秒． 用含的式子分别表示点，的坐标 若与以，，为顶点的三角形相似，求的值． 难点三 相似三角形的实际应用 常见题型：给出操作步骤，测量数据，求高度或长度，核心难点是题目长，看不懂题，找不到关键点． 解题方法：认真审题，圈出关键信息，把实际问题转化为数学问题，再利用相似解决问题 高频错误：遗漏重要信息。 难点精练 5.雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上处有一处积水，如图，若小李站在处距积水米，他正好从水面上看到距他约米的前方一棵树的顶端的影子已知点、、在同一直线上，，，小李的眼睛到地面的距离为米，求树的高．，积水水面大小忽略不计 6.如图，小明要测量操场旗杆高度立两根高米的标杆和，两杆相距米，，，在同一直线上，小明从退行米到，从观察，此时，，三点共线；从退行米到，从看，此时，，三点也共线．请你帮小明算出旗杆的高度及的距离． 基础达标 1．已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.若∽，，，则(    ) A. B. C. D. 3.（2025广东中考）如图，把放大后得到，则与的相似比是（ ） A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:5 4.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 以上都不对 5.如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ） A.2:1 B.3:1 C.4:1 D.5:2 6.如图，在中，是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，中，、分别是、边上一点，连接请你添加一个条件，使∽，则你添加的这一个条件可以是          写出一个即可． 8.如图，在中，、分别为、上的点，若，，则          ． 9.如图，在四边形中，，，则          ． 10.如图，请在的网格中，以点为位似中心，作出的一个位似图形，使与的位似比为． 11.已知，，是的三边，满足 ，且． 求，，的值． 若线段是线段、的比例中项，求． 12..如图，在中，，，是的平分线．求证：∽． 13.如图，某测量人员站在地面点处利用标杆测量一旗杆的高度测量人员眼睛处点、标杆顶端处点与旗杆顶端处点在同一条直线上，点，，也在同一条直线上已知测量人员眼睛到地面的距离米，标杆高米，且米，米，求旗杆的高度。 14.已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接． 求证：； 求的值； 15.如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，求的长． 能力进阶 1.如图，已知，为的中点，延长至，使，连接交于点，则(    ) A. B. C. D. 2.如图，取一张长为，宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边，应满足的条件是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在正方形网格上有两个相似三角形，和，则的度数为          ． 4.如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，，若，则点的坐标为          ． 5.已知，求的值． 6.如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上． 求的长 求灯泡到地面的高度．  7.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上． 求证：∽； 若这个矩形的边，则这个矩形的长、宽各是多少？ 8.如图，已知中，，，动点沿方向从点向点运动，同时，动点沿方向从点向点运动，速度都为每秒个单位长度，，中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点作，交边于点，连结，设，的运动时间为． 直接写出的长；用含的代数式表示 若，求当为何值时，与相似； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $