第4讲 相似三角形判定 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第4讲 相似三角形判定 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握相似三角形的四个判定定理 · 能灵活选用判定定理证明三角形相似 · 掌握常见相似模型（A字型、X型、母子型等） · 会结合平行四边形、正方形等四边形综合证明相似 · 能解决动点型相似存在性问题 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形判定定理 平行判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似 两角对应相等：AA（最常用） 两边对应成比例且夹角相等：SAS 三边对应成比例：SSS 概念辨析例题：在△ABC中，D在AB上，补充条件使△ACD∽△ABC 解析：公共角∠A，再补一对等角或夹边成比例 ☆ 2.直角三角形相似 一个锐角相等即可判定 斜边上的高分原形成的两个小直角三角形都与原三角形相似 斜边与一条直角边对应成比例也可判定 射影定理：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD 概念辨析例题：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD是高，求证△ACD∽△ABC 解析：∠ADC=∠ACB=90°，∠A公共，故△ACD∽△ABC（AA） ☆ 3.常见相似模型 A字型：平行线截两边，形成上下两个相似三角形 X型（8字型）：对顶三角形，由平行产生 母子型：公共角+一个等角（如射影定理图） 一线三等角：一条直线上三个等角产生相似 概念辨析例题：DE∥FG∥BC，图中有几对相似三角形？ 解析：由平行线得A字型相似，两两相似 ☆ 4.四边形中的相似 平行四边形中常产生X型相似 正方形/菱形对角线分图形产生等腰直角三角形相似 梯形中两底平行产生相似三角形 对角线相交时注意夹角相等 概念辨析例题：▱ABCD对角线AC、BD交于O，若OA·OC=OB·OD，判断哪两个三角形相似 解析：由乘积式改比例式，配合对顶角相等得SAS 📋 知识总结表 判定方法 条件 适用 平行法 DE∥BC A字型/X型 AA 两角对应相等 最常用 SAS 两边成比例+夹角等 有边数据时 SSS 三边对应成比例 格点三角形 直角三角形 一锐角相等即可 高射影 射影定理 AC2=AD·AB等 直角三角形高 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似三角形的基本判定（第1-7题） · 找等角或成比例边 · 公共角、对顶角是隐含等角 · 平行线产生同位角相等 · 格点三角形用SSS 1．（2026秋•南关区校级月考）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 2．（2026秋•同步）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，G都在小正方形的顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与△DFG相似的三角形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 3．（2025秋•临泉县期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，连接DE．添加下列条件，其中不能判△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 4．（2025秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 5．（2026秋•香坊区校级月考）如图，点D是AB边上一点，连接CD，补充一个条件______________ ，可使△ACD∽△ABC． 6．（2026秋•同步）已知△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝70°，AB＝12cm，BC＝8cm，DE＝6cm，当EF＝____________ 时，△ABC和△DEF相似． 7．（2026春•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，求证：△ACD∽△ABC． 【考点2】相似三角形的简单证明（第8-14题） · 先找一组等角 · 再证另一组等角或夹边成比例 · 乘积式改比例式找相似 · 中位线产生平行与比例 8．（2025秋•大丰区期末）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．求证：△ABD∽△ACB． 9．（2026秋•同步）如图，在△ABC中，D，F是AB边上的点，E，G是AC边上的点，且DE∥FG∥BC．请找出图中所有的相似三角形，并说明理由． 10．（2025秋•淮北期末）在△ABC和△AED中，AB•AD＝AC•AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC∽△AED． 11．（2025秋•淮安期末）如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6．求证：△ADE∽△ABC． 12．（2025秋•界首市期末）如图，点C，D在线段AB上，△CDP是等边三角形，且AC＝2，CD＝3，．求证：△ACP∽△PDB． 13．（2026•毕节市模拟）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，． 下面是两位同学的思路： 小军：如图①，证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得出结论． 小玉：如图②，延长DE到F，使EF＝DE，连接CF．先证明△ADE≌△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，最后得出结论． （1）请选择一位同学的思路，并进行证明； （2）请在图①中画出△ABC的中线AF，若∠BAC＝90°，DE＝4，求AF的长． 14．（2025秋•吉林期末）如图，在△ABC中，已知AB＝45，AC＝72，BC＝30．在△DEF中，已知DE＝30，EF＝20，DF＝48，求证：△ABC∽△DEF． 【考点3】相似三角形判定拓展（第15-21题） · 注意对应顶点顺序 · 动点问题分类讨论 · 一线三等角模型 · 菱形中找等角 15．（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 16．（2026•宽城县一模）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，能判定△MAE∽△DCN，则符合这个条件的有（　　）个． （1）∠B+∠4＝180°；（2）CD∥AB；（3）∠1＝∠4；（4）∠2＝∠3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2026•上饶校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为____________________ ． 18．（2025秋•漳浦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，M在边AC上，BM与CD交于点E，作MN⊥BM交AB于点N． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）求证：△AMN∽△CBE． 19．（2026秋•同步）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F，连接AC交BD于O，连接OE，AP． （1）求证：PE•PF＝PC2． （2）若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC． 20．（2026春•栖霞市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，且DE∥AB，点F在DC上，且． （1）求证：； （2）若CF＝4，DF＝8，，求证：△DCE∽△ACD． 21．（2025秋•公主岭市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CE⊥AC，交∠BAC的角平分线AD于点E，连结BE，F是AE上的一点，且∠ABF＝∠CBE．求证： （1）∠CAE＝∠BCE； （2）△ABF∽△CBE． 【考点4】相似与四边形（第22-29题） · 平行四边形对边平行产生相似 · 正方形/菱形对角线夹角 · 梯形两底平行产生X型 · 注意对应边成比例 22．（2026秋•同步）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，则①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC．下列关于①②的判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 23．（2025秋•岑溪市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于点O，则图中相似的三角形是（　　） A．△ABC∽△CDO B．△ABC∽△DCA C．△COD∽△BOA D．△BCO∽△DAO 24．（2026•太和县模拟）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，G是BD上的点，F是AB延长线上的点，BE与CF交于点O，下列结论错误的是（　　） A．△CDG≌△CBE B．∠BCG＝∠BFG C． D．△DCG∽△CEO 25．（2026秋•同步）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，连接BE，BF，则当CF＝________ 时，△CBF∽△ABE． 26．（2025秋•兴化市期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）试判断△BEF是否为直角三角形，并说明理由． 27．（2026春•济宁期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，交AC于点G，若CE2＝CG•CA，求证：△BCG∽△ACE． 28．（2026春•青浦区校级期中）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF＝CE，对角线BD分别交EC、AF于点M、N，联结AM、CN． （1）求证：四边形AMCN是菱形； （2）过点C作CP⊥CE交BD的延长线于点P，如果CM2＝MN•NB，求证：△NCD∽△NPC． 29．（2025秋•宣城期末）问题背景： 如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究： 如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 五．考点5：相似三角形与动点（共5小题） 30．（2026春•济宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（　　）s后，△PCQ与△ABC相似． A． B．或 C．或 D．或 31．（2026•建邺区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．在线段AB上找一点F，使△AEF与△BCF相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为 ________ ． 32．（2025秋•抚州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为射线BD上的一动点（不与B，D重合），过点M作MN⊥射线BC于点N，若以点M，N，C为顶点的三角形与△ABD相似，则BM的长为____________________ ． 33．（2025秋•岑溪市期末）如图，AB＝16cm，AC＝12cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1cm的速度沿BA边向点A运动，设运动时间为t秒．（点P到达点C后，点Q也停止运动） （1）AP＝_______ cm，AQ＝___________ cm（含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？ 34．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•岷县期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2025秋•山阳县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，补充下列条件后，仍不能判定△ADE和△ACB相似的是（　　） A．∠B＝∠C B．∠ADE＝∠C C． D． 【作业 3】（2026秋•同步）有两个三角形相似，它们的对应边的比是5：7，那么下列结论错误的是（　　） A．这两个相似三角形对应高的比为5：7 B．这两个相似三角形对应中线的比为5：7 C．这两个相似三角形对应角平分线的比为5：7 D．这两个相似三角形对应角的比为5：7 【作业 4】（2026•碧江区 二模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 【作业 5】（2026秋•同步）如图，当AC＝_______ 时，△ACB∽△DCE；当AC＝_______ 时，△ACB∽△ECD． 【作业 6】（2026•青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 __________ ． 【作业 7】（2025秋•松北区期末）已知，在△ABC中，AB＝9，AC＝12，D在AB上，且ADAB，在AC上取一点E，若以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为____________________ ． 【作业 8】（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°．D是边BC上一点，以AD为边，作△ADE，使得△ADE∽△ABC．DE交AC于点F，当取最小值时，DF＝EF，则__________________ ． 【作业 9】（2025秋•湖州月考）在直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，则点D的坐标为 ____________________ ． 【作业 10】（2025秋•梁溪区期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，CD＝18． （1）求AC的长． （2）求证：△ABE∽△ACB． 【作业 11】（2026秋•单元）如图，已知点O在△ABC的内部，点D、E、F分别在线段OA、OB、OC上，，求证：△ABC∽△DEF． 【作业 12】（2026•海珠区校级二模）如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB． 【作业 13】（2024秋•黄浦区期中）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC． （1）求证：； （2）如果，求证：△ABE∽△ACB． 【作业 14】（2022秋•鄄城县期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：PE•PF＝PC2． （2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC． 【作业 15】（2025秋•沛县期末）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，AC＝6，动点P从点A开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，△APQ与△ACB相似？ （2）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ 【作业 16】（2025秋•祁东县期末）如图，已知，在△ABC中，BA＝BC＝40cm，AC＝60cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当x为何值时，PQ∥BC； （2）当S△BCQ：S△ABC＝1：3时，求S△BPQ：S△ABC的值； （3）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 复习建议 · 相似判定：AA最常用，其次SAS、SSS · 公共角、对顶角、平行线产生的角是隐含等角 · 乘积式先改比例式，再找相似三角形 · 直角三角形斜边上的高产生母子相似 · 动点相似问题注意分类讨论对应关系 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 相似三角形判定 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握相似三角形的四个判定定理 · 能灵活选用判定定理证明三角形相似 · 掌握常见相似模型（A字型、X型、母子型等） · 会结合平行四边形、正方形等四边形综合证明相似 · 能解决动点型相似存在性问题 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形判定定理 平行判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似 两角对应相等：AA（最常用） 两边对应成比例且夹角相等：SAS 三边对应成比例：SSS 概念辨析例题：在△ABC中，D在AB上，补充条件使△ACD∽△ABC 解析：公共角∠A，再补一对等角或夹边成比例 ☆ 2.直角三角形相似 一个锐角相等即可判定 斜边上的高分原形成的两个小直角三角形都与原三角形相似 斜边与一条直角边对应成比例也可判定 射影定理：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD 概念辨析例题：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD是高，求证△ACD∽△ABC 解析：∠ADC=∠ACB=90°，∠A公共，故△ACD∽△ABC（AA） ☆ 3.常见相似模型 A字型：平行线截两边，形成上下两个相似三角形 X型（8字型）：对顶三角形，由平行产生 母子型：公共角+一个等角（如射影定理图） 一线三等角：一条直线上三个等角产生相似 概念辨析例题：DE∥FG∥BC，图中有几对相似三角形？ 解析：由平行线得A字型相似，两两相似 ☆ 4.四边形中的相似 平行四边形中常产生X型相似 正方形/菱形对角线分图形产生等腰直角三角形相似 梯形中两底平行产生相似三角形 对角线相交时注意夹角相等 概念辨析例题：▱ABCD对角线AC、BD交于O，若OA·OC=OB·OD，判断哪两个三角形相似 解析：由乘积式改比例式，配合对顶角相等得SAS 📋 知识总结表 【考点1】相似三角形的基本判定（第1-7题） · 找等角或成比例边 · 公共角、对顶角是隐含等角 · 平行线产生同位角相等 · 格点三角形用SSS 1．（2026秋•南关区校级月考）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 【分析】连接BC、BD，由正方形的性质得出∠BCD＝∠QOP，由勾股定理得，证出，得出△QPO∽△BDC即可． 【解答】解：如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，连接BC、BD，则∠BCD＝90°+45°＝135°＝∠QOP， ∵△ACD、△CDE和△ADE均找不出135°的角， ∴不可能与△OPQ相似． 由勾股定理得：， ∵OQ＝2，CD＝1， ∴， ∴△QPO∽△BDC， ∴这个三角形是△BCD， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 2．（2026秋•同步）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，G都在小正方形的顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与△DFG相似的三角形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【分析】根据勾股定理求得△DFG各边长，且∠DFG＝135°，根据相似三角形的判定进行判断，即可求解． 【解答】解：由题意，根据图形可得，∠DFG＝135°，DF，FG＝2， ∵∠EDF＝135°，ED＝1，DF． ∴，∠DFG＝∠EDF． ∴△DFG∽△EDF， ∵∠ABC＝135°，，AB＝4， ∴，∠DFG＝∠CBA， ∴△DFG∽△CBA， ∵，DG，DC＝5，DF，， ∴， ∴△DFG∽△CGD． 综上所述，与△DFG相似的三角形的个数是3个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2025秋•临泉县期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，连接DE．添加下列条件，其中不能判△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【解答】解：∵∠A＝∠A， A．若添加∠AED＝∠B，能证明△ABC∽△AED，不符合题意； B．若添加∠ADE＝∠C，能证明△ABC∽△AED，不符合题意； C．若添加，能证明△ABC∽△AED，不符合题意； D．若添加，不能证明△ABC∽△AED，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用． 4．（2025秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【解答】解：∵∠A＝∠A， A．∠ADE＝∠ACB，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； B．由DE∥BC得∠ADE＝∠B，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使△ADE与△ACB相似， 故该选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 5．（2026秋•香坊区校级月考）如图，点D是AB边上一点，连接CD，补充一个条件AC2＝AD•AB ，可使△ACD∽△ABC． 【分析】若AC2＝AD•AB，则，因为点D是AB边上一点，所以∠CAD＝∠BAC，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC，所以补充的条件可以是AC2＝AD•AB；若补充条件∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，则可以根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC． 【解答】解：∵AC2＝AD•AB， ∴， ∵点D是AB边上一点， ∴∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， 故答案为：AC2＝AD•AB．（答案不唯一） 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．（2026秋•同步）已知△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝70°，AB＝12cm，BC＝8cm，DE＝6cm，当EF＝　4cm或9cm 时，△ABC和△DEF相似． 【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答． 【解答】解：由题意可知， 当或时，△ABC和△DEF相似， 即 或， 解得：EF＝4cm或EF＝9cm， 故答案为：4cm或9cm． 【点评】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握对应线段成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题关键． 7．（2026春•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，求证：△ACD∽△ABC． 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【解答】证明：∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【考点2】相似三角形的简单证明（第8-14题） · 先找一组等角 · 再证另一组等角或夹边成比例 · 乘积式改比例式找相似 · 中位线产生平行与比例 8．（2025秋•大丰区期末）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．求证：△ABD∽△ACB． 【分析】根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【解答】证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 9．（2026秋•同步）如图，在△ABC中，D，F是AB边上的点，E，G是AC边上的点，且DE∥FG∥BC．请找出图中所有的相似三角形，并说明理由． 【分析】根据平行线法证得图中的相似三角形． 【解答】解：图中所有的相似三角形为：△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC，理由如下： ∵DE∥FG， ∴△ADE∽△AFG． ∵DE∥FG∥BC， ∴DE∥BC，FG∥BC． ∴△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC． 综上所述，图中所有的相似三角形为：△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 10．（2025秋•淮北期末）在△ABC和△AED中，AB•AD＝AC•AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC∽△AED． 【分析】由AB•AD＝AC•AE，得，由∠BAD＝∠CAE推导出∠BAC＝∠EAD，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED． 【解答】证明：∵AB•AD＝AC•AE， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠EAD＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠EAD， ∴△ABC∽△AED． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且推导出，∠BAC＝∠EAD是解题的关键． 11．（2025秋•淮安期末）如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6．求证：△ADE∽△ABC． 【分析】由题意得到，再结合∠DAE＝∠BAC即可得到△ADE∽△ABC． 【解答】证明：∵AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6， ∴， 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． 12．（2025秋•界首市期末）如图，点C，D在线段AB上，△CDP是等边三角形，且AC＝2，CD＝3，．求证：△ACP∽△PDB． 【分析】根据等边三角形的性质可得PC＝PD＝CD＝3，∠PCD＝∠PDC＝60°，则可证明∠ACP＝∠PDB＝120°，，据此可证明结论． 【解答】证明：∵△CDP是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD＝3，∠PCD＝∠PDC＝60°， ∴∠ACP＝180°﹣∠PCD＝120°，∠PDB＝180°﹣∠PDC＝120°， ∴∠ACP＝∠PDB； ∵， ∴， ∴△ACP∽△PDB． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．（2026•毕节市模拟）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，． 下面是两位同学的思路： 小军：如图①，证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得出结论． 小玉：如图②，延长DE到F，使EF＝DE，连接CF．先证明△ADE≌△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，最后得出结论． （1）请选择一位同学的思路，并进行证明； （2）请在图①中画出△ABC的中线AF，若∠BAC＝90°，DE＝4，求AF的长． 【分析】（1）选小军：根据中位线的定义得到D点是AB的中点，E点是AC的中点，进而得到，结合∠DAE＝∠BAC，证明△ADE∽△ABC，推出，∠ADE＝∠ABC，即可证明结论；选小玉：根据中位线的定义得到AE＝CE，证明△ADE≌△CFE（SAS），再证明四边形BCFD为平行四边形，即可证明结论； （2）先作线段BC的垂直平分线交BC于点F，连接AF，即为△ABC的中线，由（1）中结论可得BC＝8，再利用直角三角形的性质即可得出结果． 【解答】（1）证明：选小军：证明：∵DE是△ABC的中位线， ∴D点是AB的中点，E点是AC的中点， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC，； 选小玉：证明：如图②，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF， ∵DE为△ABC的中位线， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF， ∴CF∥AB， ∵AD＝BD， ∴CF＝BD， ∴四边形BCFD为平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∵， ∴； （2）解：如图①，△ABC的中线AF为所求； 由（1）中结论得， ∵DE＝4， ∴BC＝8， ∵∠BAC＝90°，AF为△ABC的中线， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 14．（2025秋•吉林期末）如图，在△ABC中，已知AB＝45，AC＝72，BC＝30．在△DEF中，已知DE＝30，EF＝20，DF＝48，求证：△ABC∽△DEF． 【分析】根据三边成比例得证△ABC∽△DEF，即可作答． 【解答】证明：∵AB＝45，AC＝72，BC＝30，DE＝30，EF＝20，DF＝48， 则， ∴， ∴△ABC∽△DEF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 【考点3】相似三角形判定拓展（第15-21题） · 注意对应顶点顺序 · 动点问题分类讨论 · 一线三等角模型 · 菱形中找等角 15．（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， A、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△ABC∽△ADE，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意， 故选：B． 【点评】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 16．（2026•宽城县一模）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，能判定△MAE∽△DCN，则符合这个条件的有（　　）个． （1）∠B+∠4＝180°；（2）CD∥AB；（3）∠1＝∠4；（4）∠2＝∠3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先根据平行线的性质得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对A选项进行判断；当添加CD∥AB时，根据平行线的性质得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对B选项进行判断；当添加∠1＝∠4时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对C选项进行判断；当添加∠2＝∠3时，根据等角的补角相等证明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根据相似三角形的判定方法可对D选项进行判断． 【解答】解：∵AE∥BC， ∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B， 当添加∠B+∠4＝180°时， ∵∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN， 所以A选项符合题意； 当添加CD∥AB时， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN， 所以B选项符合题意； 当添加∠1＝∠4时， ∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN， 所以C选项符合题意； 当添加∠2＝∠3时， ∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°， ∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND， ∴不能判断△MAE∽△DCN， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性质． 17．（2026•上饶校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为　2或或3　 ． 【分析】分三种情况讨论，即△CDP∽△CBA，△BDP∽△BCA，△CDP∽△CAB．由相似三角形的性质分别求解． 【解答】解：如图1，若DP∥AB，则△CDP∽△CBA． ∴． ∵AB＝6，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4， ∴． ∴DP＝2． 如图2，若DP∥AC，则△BDP∽△BCA， ∴， ∴， ∴； 如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C， 则△CDP∽△CAB． ∴， ∴， ∴PD＝3， 综上所述，PD的长为2或或3， 故答案为：2或或3． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 18．（2025秋•漳浦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，M在边AC上，BM与CD交于点E，作MN⊥BM交AB于点N． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）求证：△AMN∽△CBE． 【分析】（1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到∠CBE＝∠AMN，结合（1）中的结论，即可得证． 【解答】证明：（1）由题意得∠BCD+∠ACD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A； （2）∵∠ACB＝90°， ∴∠BMC+∠CBE＝90°， ∵MN⊥BM， ∴∠AMN+∠BMC＝90°， ∴∠CBE＝∠AMN， 又由（1）可知：∠BCD＝∠A， ∴△AMN∽△CBE． 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 19．（2026秋•同步）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F，连接AC交BD于O，连接OE，AP． （1）求证：PE•PF＝PC2． （2）若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC． 【分析】（1）先根据菱形的性质得到AC与BD互相垂直平分，CD∥AB，DA＝DC，再利用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，∠DAC＝∠DCA，所以∠PAD＝∠PCD，接着利用平行线的性质，由CD∥AF得到∠PCD＝∠F，所以∠PAD＝∠F，然后加上∠APE＝∠FPA即可判断△PAE∽△PFA，从而根据相似三角形的性质得到结论； （2）先根据菱形的性质得到BC∥AD，则CE⊥AD，所以∠CEA＝90°，利用AC⊥BD得到∠COP＝90°，然后利用∠OCP＝∠ACE即可判断△POC∽△AEC． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AC与BD互相垂直平分，CD∥AB，DA＝DC， ∴PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴∠DAC﹣∠PAC＝∠DCA﹣∠PCA， 即∠PAD＝∠PCD， ∵CD∥AF， ∴∠PCD＝∠F， ∴∠PAD＝∠F， ∵∠APE＝∠FPA， ∴△PAE∽△PFA， ∴PE：PA＝PA：PF， ∴PE•PF＝PC2； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴BC∥AD， ∵CE⊥BC， ∴CE⊥AD， ∴∠CEA＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠COP＝90°， ∵∠COP＝∠CEA，∠OCP＝∠ACE， ∴△POC∽△AEC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了菱形的性质． 20．（2026春•栖霞市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，且DE∥AB，点F在DC上，且． （1）求证：； （2）若CF＝4，DF＝8，，求证：△DCE∽△ACD． 【分析】（1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由CF＝4，DF＝8可得，即，进而得到；从而得到，再结合∠C＝∠C即可证明结论． 【解答】证明：（1）∵DE∥AB， ∴， ∵， ∴； （2）∵点F在DC上，CF＝4，DF＝8， ∴， ∵AC＝CE+AE， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵∠C＝∠C， ∴△DCE∽△ACD． 【点评】本题主要考查了平行线等分线段、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键． 21．（2025秋•公主岭市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CE⊥AC，交∠BAC的角平分线AD于点E，连结BE，F是AE上的一点，且∠ABF＝∠CBE．求证： （1）∠CAE＝∠BCE； （2）△ABF∽△CBE． 【分析】（1）由AB＝AC，过点C作CE⊥AC，交∠BAC的角平分线AD于点E，得∠ACE＝∠ADC＝90°，由∠CAE+∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB＝90°，得∠CAE＝∠BCE． （2）由点F和点E在∠BAC的角平分线AD上，得∠BAF＝∠CAE＝∠BCE，而∠ABF＝∠CBE，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABF∽△CBE． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，过点C作CE⊥AC，交∠BAC的角平分线AD于点E， ∴AD⊥BC，∠ACE＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CAE+∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB＝90°， ∴∠CAE＝∠BCE． （2）∵点F和点E在∠BAC的角平分线AD上， ∴∠BAF＝∠CAE， 由（1）得∠CAE＝∠BCE， ∴∠BAF＝∠BCE， ∵∠ABF＝∠CBE， ∴△ABF∽△CBE． 【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定等知识，推导出∠BAF＝∠BCE是解题的关键． 【考点4】相似与四边形（第22-29题） · 平行四边形对边平行产生相似 · 正方形/菱形对角线夹角 · 梯形两底平行产生X型 · 注意对应边成比例 22．（2026秋•同步）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，则①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC．下列关于①②的判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【分析】首先由∠AOB、∠COD是对顶角，可得∠AOB＝∠COD，接下来结合已知及相似三角形的判定定理即可得到答案． 【解答】解：∵，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD，故①正确； 在△AOD与△BOC中，只有∠AOD＝∠BOC，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例， 故②错误． 故选B． 【点评】此题考查的是相似三角形的判定，（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 23．（2025秋•岑溪市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于点O，则图中相似的三角形是（　　） A．△ABC∽△CDO B．△ABC∽△DCA C．△COD∽△BOA D．△BCO∽△DAO 【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于点O， ∴∠ADB＝∠CBD，∠CAD＝∠ACB， ∴△BCO∽△DAO， 故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到△ABC∽△CDO，△ABC∽△DCA，△COD∽△BOA， 故A，B，C选项不正确，不合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理． 24．（2026•太和县模拟）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，G是BD上的点，F是AB延长线上的点，BE与CF交于点O，下列结论错误的是（　　） A．△CDG≌△CBE B．∠BCG＝∠BFG C． D．△DCG∽△CEO 【分析】证明△CDG≌△CBE（SAS）即可判断A；根据圆周角定理判断B；过点G作HG⊥BD，交BC于点H，证明△CGH≌△FGB（SAS），得到CH＝BF，再结合，BC＝AD即可判断C；利用三角形相似的判定判断D． 【解答】解：由正方形的性质，得CD＝CB，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCD﹣∠BCG＝∠ECG﹣∠BCG，即∠DCG＝∠BCE， ∴△CDG≌△CBE（SAS），故结论A正确； 由题意可知∠CGF＝∠CBF＝∠CEF＝90°， ∴五边形CEFBG有外接圆， ∴∠BCG＝∠BFG，故结论B正确； 过点G作HG⊥BD，交BC于点H， 则△BGH是等腰直角三角形．BG＝HG，∠CGF＝∠BGH＝90°， ∴∠CGF﹣∠FGH＝∠BGH﹣∠FGH，即∠CGH＝∠BGF，又CG＝FG， ∴△CGH≌△FGB（SAS）， ∴CH＝BF． 又∵，BC＝AD， ∴，结论C错误； ∵△CDG≌△CBE， ∴∠CGD＝∠OEC， 又∵∠ECF＝∠CDG＝45°，即∠CDG＝∠ECO， ∴△DCG∽△CEO，故选项D正确． 故选：C． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 25．（2026秋•同步）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，连接BE，BF，则当CF＝　1.8　 时，△CBF∽△ABE． 【分析】由平行四边形性质得∠A＝∠C，BC＝AD＝6，再由点E是AD的中点得AEAD＝3，在△CBF和△ABE中，由于∠A＝∠C，因此当时，△CBF∽△ABE，则，由此即可得出CF＝1.8． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6， ∴∠A＝∠C，BC＝AD＝6， ∵点E是AD的中点， ∴AEAD＝3， 在△CBF和△ABE中，∠A＝∠C， ∴当时，△CBF∽△ABE， ∵AB＝10， ∴， ∴CF＝1.8， ∴当CF＝1.8时，△CBF∽△ABE．故答案为：1.8． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 26．（2025秋•兴化市期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）试判断△BEF是否为直角三角形，并说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质可得∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，再根据CF＝3FD可得，进而说明，再结合∠A＝∠D＝90°，即可证明结论； （2）设FD＝k，CF＝3k，AD＝DC＝4k；AE＝ED＝2k通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD ∵CF＝3FD， ∴， ∵点F在CD上， ∴， ∴， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DEF． （2）解：△BEF是直角三角形，理由如下： ∵CF＝3FD，设FD＝k，CF＝3k，BC＝AB＝AD＝DC＝4k；AE＝ED＝2k 在Rt△ABE 中，由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝（4k）2+（2k）2＝16k2+4k2＝20k2， 在Rt△DEF 中，由勾股定理得：EF2＝DE2+DF2＝（2k）2+k2＝4k2+k2＝5k2， 在Rt△BCF中，BC＝4k，CF＝3k，由勾股定理得：BF2＝BC2+CF2＝（4k）2+（3k）2＝16k2+9k2＝25k2， ∵BE2+EF2＝20k2+5k2＝25k2＝BF2， ∴△BEF是直角三角形，且∠BEF＝90°． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 27．（2026春•济宁期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，交AC于点G，若CE2＝CG•CA，求证：△BCG∽△ACE． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠ADE＝∠DEC＝90°，加上∠ACB＝90°，则根据矩形的判定方法得到结论； （2）根据矩形的性质得到AD＝CE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，所以CE＝BC，再证明△CBG∽△CAB，然后证明△CAB≌△CAE，从而得到△CBG∽△CAE． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥AD， ∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形ACED是矩形； （2）∵四边形ACED为矩形， ∴AD＝CE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC， ∴CE＝BC， ∵CE2＝CG•CA， ∴CB2＝CG•CA， 即CB：CG＝CA：CB， 而∠BCG＝∠ACB， ∴△CBG∽△CAB， 在△CAB和△CAE中， ， ∴△CAB≌△CAE（SAS）， ∴△CBG∽△CAE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了平行四边形的性质和矩形的判定与性质． 28．（2026春•青浦区校级期中）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF＝CE，对角线BD分别交EC、AF于点M、N，联结AM、CN． （1）求证：四边形AMCN是菱形； （2）过点C作CP⊥CE交BD的延长线于点P，如果CM2＝MN•NB，求证：△NCD∽△NPC． 【分析】（1）连接AC，先证明Rt△ADF≌Rt△CBE，再证明△DFN≌△BEM，利用菱形的判定即可完成； （2）由菱形的性质及CM2＝MN•NB可证明△CMN∽△BNC，从而可得∠MCN＝∠NBC＝45°，再由垂直得∠PCN＝∠CDN，即可证明△NCD∽△NPC． 【解答】（1）证明：如图1，连接AC，且交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF＝∠CBE＝90°，AD＝BC，∠FDN＝∠EBM＝45°，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△ADF与Rt△CBE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB， 在△DFN与△BEM中， ， ∴△DFN≌△BEM（ASA）， ∴DN＝BM， ∵OD＝OB， ∴OD﹣DN＝OB﹣BM， ∴ON＝OM， ∵OC＝OD，AC⊥BD， ∴四边形AMCN是菱形； （2）证明：如图，由（1）知，四边形AMCN是菱形， ∴CM＝CN， ∴∠CMN＝∠CNM， ∵CM2＝MN•NB， ∴，即，即可整理为： ∵∠CMN＝∠CNM， ∴△CMN∽△BNC， ∴∠MCN＝∠NBC＝45°， ∵CP⊥CE， ∴∠PCN＝90°﹣∠MCN＝45°＝∠CDN， ∵∠CND＝∠PNC， ∴△NCD∽△NPC． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 29．（2025秋•宣城期末）问题背景： 如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究： 如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，根据点E，F分别是AB，BC的中点，可得，即可求证； 问题探究：取BD的中点H，连接EH、HC，得EH是△ABD的中位线，根据已知条件可得EH平行且等于FC，进而可得EFCH是平行四边形，得EF∥HC，则∠GFB＝∠HCB，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB＝HC，进而可得∠HBC＝∠HCB，等量代换可得∠GBF＝∠GFB，等角对等边，即可得证． 【解答】证明：问题背景：在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点， ∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，AB＝2BE，BC＝2BF， ∴， 即， ∴△BCD∽△FBE； 问题探究：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，如图2，取BD的中点H，连接EH、HC， ∴，EH∥AD， 又∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥FC， ∴四边形EHCF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠GFB＝∠HCB， 又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点， ∴， ∴∠HBC＝∠HCB， ∴∠GBF＝∠GFB， ∴GB＝GF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 五．考点5：相似三角形与动点（共5小题） 30．（2026春•济宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（　　）s后，△PCQ与△ABC相似． A． B．或 C．或 D．或 【分析】设经过x秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若△PCQ∽△ACB，得，②若△PCQ∽△BCA，得，代入用x表示的线段计算即可． 【解答】解：设经过x秒后△PCQ与△ABC相似， ∵∠C＝∠C， 若△PCQ∽△ACB， 则需， ∴， 10（8﹣x）＝8•2x， 解得； △PCQ∽△BCA， 则需， ∴， 8（8﹣x）＝10•2x， 解得， ∴经过秒或秒，△PCQ与△ABC相似． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 31．（2026•建邺区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．在线段AB上找一点F，使△AEF与△BCF相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为 　3或4　 ． 【分析】根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题． 【解答】解：如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E'，连结CE'，交AB于点F1； 连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3， 当m＝4时，由已知条件可得DE＝3，则CE＝5， 即图中圆的直径为5，可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离为2.5，等于所作圆的半径，F2和F3重合， 即当m＝4时，符合条件的F有2个； 当m＝3时， 当∠AEF＝∠BFC时， 要使△AEF∽△BFC，需，即， 解得AF＝1或3，当∠AEF＝∠BCF时， 要使△AEF∽△BFC，需，即， 解得AF＝1，即当m＝3时，符合条件的F有2个； 当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个， 综上所述：当1＜m＜4且m≠3时，有3个， 当m＝3时，有2个， 当m＝4时，有2个， 故答案为：3或4． 【点评】本题考查作图﹣相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 32．（2025秋•抚州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为射线BD上的一动点（不与B，D重合），过点M作MN⊥射线BC于点N，若以点M，N，C为顶点的三角形与△ABD相似，则BM的长为　或或　 ． 【分析】设BM＝x，由矩形的性质以及勾股定理可得BD＝5，再证明△BMN∽△BDC可得，；然后分点M在BD上和BD的延长线上两种情况求解即可． 【解答】解：设BM＝x， ∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， ∴CD＝AB＝3，∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4， ∴， ∵MN⊥BC， ∴MN∥CD， ∴△BMN∽△BDC， ∴，即， 解得：，， 当点M在BD上时，则； 当△ABD∽△NMC时， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意； ∴； 当△ABD∽△NCM时， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意； ∴； 当点M在BD的延长线上时， ∴； 当△ABD∽△NCM时， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意； ∴； 当△ABD∽△NMC时， ∴，即，该方程无解． 综上，BM的值为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 33．（2025秋•岑溪市期末）如图，AB＝16cm，AC＝12cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1cm的速度沿BA边向点A运动，设运动时间为t秒．（点P到达点C后，点Q也停止运动） （1）AP＝　2t cm，AQ＝　（16﹣t）　 cm（含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？ 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可求解； （2）分①QP∥BC，则有△AQP∽△ABC，②△AQP∽△ACB；列出比例式，代入进行计算即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：AP＝2tcm，AQ＝（16﹣t）cm； 故答案为：2t；（16﹣t）． （2）当0≤t≤6时， ①若△AQP∽△ABC，则QP∥BC， ∴， ∵AB＝16cm，AC＝12cm，AP＝2tcm，AQ＝（16﹣t）cm， ∴， 解得：， ②当∠A＝∠A， 若∠AQP＝∠C， 则有△AQP∽△ACB， 所以， 即， 解得：t＝6.4（不符合题意，舍去）； ∴当时，△AQP∽△ABC． 【点评】本题考查了列代数式，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 34．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【解答】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积AN•AM（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 相似判定：AA最常用，其次SAS、SSS · 公共角、对顶角、平行线产生的角是隐含等角 · 乘积式先改比例式，再找相似三角形 · 直角三角形斜边上的高产生母子相似 · 动点相似问题注意分类讨论对应关系 【作业 1】（2025秋•岷县期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【作业 2】（2025秋•山阳县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，补充下列条件后，仍不能判定△ADE和△ACB相似的是（　　） A．∠B＝∠C B．∠ADE＝∠C C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、由∠B＝∠C无法判断△ADE和△ACB相似，本选项符合题意； B、由∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，可以判断△ADE和△ACB相似，本选项不符合题意； C、由，推出DE∥BC，可以判断△ADE和△ACB相似，本选项不符合题意； D、由，结合∠A＝∠A，可以判断△ADE和△ACB相似，本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【作业 3】（2026秋•同步）有两个三角形相似，它们的对应边的比是5：7，那么下列结论错误的是（　　） A．这两个相似三角形对应高的比为5：7 B．这两个相似三角形对应中线的比为5：7 C．这两个相似三角形对应角平分线的比为5：7 D．这两个相似三角形对应角的比为5：7 【分析】根据相似三角形的性质进行判断． 【解答】解：∵相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比， ∴这两个相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比为5：7，对应角的比为1：1， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【作业 4】（2026•碧江区 二模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠BAC， A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； C、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； D、添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC＝∠DAE是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法． 【作业 5】（2026秋•同步）如图，当AC＝　25　 时，△ACB∽△DCE；当AC＝　81　 时，△ACB∽△ECD． 【分析】根据对顶角相等得到∠ACB＝∠ECD，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到当时，△ACB∽△DCE；当时，△ACB∽△ECD，然后把BC＝45，EC＝36，DC＝20分别代入计算即可． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ECD， ∴当时，△ACB∽△DCE， 即，解得AC＝25； 当时，△ACB∽△ECD， 即，解得AC＝81． 故答案为25，81． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【作业 6】（2026•青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 　14或25　 ． 【分析】当△DEF∽△DBC时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝40，利用勾股定理求出AB＝48，证明△DFC≌△DEA（AAS），可得CF＝AE，再证明△DCE∽△CAB，求出CE＝50，根据线段的和差即可求出CF的长；当△DEF∽△BCD时，∠DFE＝∠BDC，证明△DFC∽△ADC，对应边成比例即可求出CF的长． 【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，AB＝80， ∴CDAB＝AD＝BD＝40， ∵AC＝64， ∴BC48， 当△DEF∽△DBC时，∠DEF＝∠B， ∴∠EDF＝∠BDC，∠DFE＝∠DCB， ∵CD＝BD， ∴DE＝DF， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴∠DFC＝∠DEA， ∴△DFC≌△DEA（AAS）， ∴CF＝AE， ∵∠DCA＝∠A，∠DEF＝∠B＝∠DCB，∠A+∠B＝90°， ∴∠DCA+∠DEF＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠ACB＝90°， ∵∠DCE＝∠A， ∴△DCE∽△CAB， ∴， ∴， ∴CE＝50， ∴CF＝AE＝AC﹣CE＝64﹣50＝14； 当△DEF∽△BCD时，∠DFE＝∠BDC， ∵∠DFE＝∠FCD+∠FDC，∠BDC＝∠FCD+∠A， ∴∠FDC＝∠A， ∵∠DCF＝∠ACD， ∴△DFC∽△ADC， ∴， ∴， ∴CF＝25， 当△DEF∽△CBD时，同法可得CF＝25． 综上所述：CF的长为14或25． 故答案为：14或25． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度不小．解决本题的关键是得到△CDE∽△ACB． 【作业 7】（2025秋•松北区期末）已知，在△ABC中，AB＝9，AC＝12，D在AB上，且ADAB，在AC上取一点E，若以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为　8或　 ． 【分析】本题应分两种情况进行讨论，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根据各相似三角形得出比例关系式求出AE的长即可． 【解答】解：分两种情况：①当△ADE∽△ACB时，如图1， ∴， ∵AB＝9，AC＝12，， ∴AD＝6， ∴， ∴； ②当△ADE∽△ABC时，如图2， ∴， ∵AB＝9，AC＝12，AD＝6， ∴， ∴AE＝8． 综上，AE的长为8或； 故答案为：8或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解． 【作业 8】（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°．D是边BC上一点，以AD为边，作△ADE，使得△ADE∽△ABC．DE交AC于点F，当取最小值时，DF＝EF，则　　 ． 【分析】根据相似三角形的性质，得出，根据相似三角形的判定，证明△BAD∽△CAE，得出∠ABD＝∠ACE，进一步推出∠DCE＝60°，得出当DE⊥CE时，取最小值为，设，根据解直角三角形和勾股定理，表示出CE，CD，CF，根据相似三角形的判定，证明△CEF∽△DAF，根据相似三角形的性质，则由计算，根据相似三角形的判定，证明△AEF∽△DCF，根据相似三角形的性质，则由计算，最后由，计算得出答案即可． 【解答】解：如图，连接CE， ∵∠BAC＝120°，△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AEF＝∠DCF，∠ABD+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，∠DAE＝∠BAC＝120°，， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ECF＝∠ADF，∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝∠ABD+∠ACB＝60°， ∴当DE⊥CE时，取最小值，， 又∵当取最小值时，DF＝EF， ∴设此时，则CE＝2a，CD＝4a，， ∵∠ECF＝∠ADF，∠EFC＝∠AFD， ∴△CEF∽△DAF， ∴，则， ∵∠AEF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC， ∴△AEF∽△DCF， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•湖州月考）在直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，则点D的坐标为 　或或或　 ． 【分析】分OC与OA为对应边和OC与OB为对应边，两种情况进行讨论即可解答． 【解答】解：∵△AOB是直角三角形，要使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似， ∴以点D，C，O为顶点的三角形也是直角三角形， ∵点D在x轴上， ∴∠COD＝90°， ∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1）， ∴OA＝3，OB＝4，OC＝1， 如图1，当OC与OA为对应边， 则△AOB∽△COD， 则， ∴， ∴或； 如图2，当OC与OB为对应边， 则△AOB∽△DOC， 则， ∴， ∴，； 综上，点D的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点评】本题主要考查了坐标与图形及三角形的相似，分情况进行讨论是解决本题的关键． 【作业 10】（2025秋•梁溪区期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，CD＝18． （1）求AC的长． （2）求证：△ABE∽△ACB． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）证出，利用相似三角形的判定解答即可． 【解答】（1）解：∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE； ∴， ∴CE9， ∴AC＝AE+CE＝12； （2）证明：∵，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB． 【作业 11】（2026秋•单元）如图，已知点O在△ABC的内部，点D、E、F分别在线段OA、OB、OC上，，求证：△ABC∽△DEF． 【分析】分别证△DOE∽△AOB，△DOF∽△AOC，△EOF∽△BOC，可得，即可得证． 【解答】证明：因为，∠DOE＝∠AOB， 所以△DOE∽△AOB， 所以， 因为，∠DOF＝∠AOC， 所以△DOF∽△AOC， 所以， 因为，∠EOF＝∠BOC， 所以△EOF∽△BOC， 所以， 所以， 所以△ABC∽△DEF． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业 12】（2026•海珠区校级二模）如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB． 【分析】依据△ABC是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据“一线三等角”倒角，推出∠BED＝∠CAE，即可判定△AEC∽△EDB． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120° ∵∠AED＝60°， ∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BED＝∠CAE， ∴△AEC∽△EDB． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识．解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【作业 13】（2024秋•黄浦区期中）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC． （1）求证：； （2）如果，求证：△ABE∽△ACB． 【分析】（1）根据平行线的性质得出，∠BED＝∠CBE，则，根据角平分线定义及平行线的性质得到∠CBE＝∠BEC，则BC＝CE，根据相似三角形的判定与性质得出，根据比例的性质及等量代换即可得解； （2）结合（1）及题意推出，结合∠BED＝∠BEC，推出△BED∽△CEB，根据相似三角形的性质得出∠DBE＝∠BCE，结合∠BAE＝∠CAB，即可判定△ABE∽△ACB． 【解答】证明：（1）∵DE∥BC， ∴，∠BED＝∠CBE， ∴11， ∴， ∵EB平分∠DEC， ∴∠BED＝∠BEC， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴BC＝CE， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽ABC， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，BC＝CE，， ∴， ∴， 又∠BED＝∠BEC， ∴△BED∽△CEB， ∴∠DBE＝∠BCE， 即∠ABE＝∠ACB， 又∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业 14】（2022秋•鄄城县期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：PE•PF＝PC2． （2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC． 【分析】（1）根据菱形的性质，首先利用SAS证明△CDP≌△ADP，得PC＝PA，∠DCP＝∠DAP，再说明△PAE∽△PFA，得，即可证明结论； （2）根据菱形的性质可说明∠COP＝∠CEA，从而证明结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠CDP＝∠ADP，CD∥AB， 在△CDP和△ADP中， ， ∴△CDP≌△ADP（SAS）， ∴PC＝PA，∠DCP＝∠DAP， ∵CD∥AB， ∴∠DCP＝∠F， ∴∠DAP＝∠F， ∵∠APE＝∠FPA， ∴△PAE∽△PFA， ∴， ∴PA2＝PE•PF， ∴PE•PF＝PC2； （2）∵CE⊥BC， ∴∠ECB＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠CEA＝∠BCE＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COP＝90°， ∴∠COP＝∠CEA， ∵∠OCP＝∠ECA， ∴△POC∽△AEC． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明PA＝PC是解决问题（1）的关键． 【作业 15】（2025秋•沛县期末）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，AC＝6，动点P从点A开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，△APQ与△ACB相似？ （2）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ 【分析】（1）由题意得AP＝t，BQ＝2t，则AQ＝10﹣2t，再分两种情况讨论，一是∠APQ＝∠C，则PQ∥CB，所以△APQ∽△ACB，则，求得t；二是∠APQ＝∠B，则△APQ∽△ABC，所以，求得t． （2）作QF⊥AC于点F，则∠QFA＝90°，由∠BCA＝90°，AB＝10，AC＝6，求得BC8，可证明△AQF∽△ABC，得，则QF8t，由S△APQAP•QF＝4tt2，求得t1＝2，t2＝3． 【解答】解：（1）由题意得AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝10，AC＝6， ∴AQ＝10﹣2t， 当∠APQ＝∠C时，则PQ∥CB， ∴△APQ∽△ACB， ∴， ∴， 解得t； 当∠APQ＝∠B时， ∵∠A＝∠A， ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∴， 解得t， 综上所述，当t或t时，△APQ与△ACB相似． （2）作QF⊥AC于点F，则∠QFA＝90°， ∵∠BCA＝90°，AB＝10，AC＝6， ∴BC8， ∵∠QFA＝∠BCA，∠A＝∠A， ∴△AQF∽△ABC， ∴， ∴QF8t， ∴S△APQAP•QFt（8t）＝4tt2， ∵S△APQ， ∴4tt2， 解得t1＝2，t2＝3， ∴当t＝2或t＝3时，△APQ的面积为个平方单位． 【点评】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、一元二次方程及分类讨论数学思想的应用等知识与方法，正确理解和应用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【作业 16】（2025秋•祁东县期末）如图，已知，在△ABC中，BA＝BC＝40cm，AC＝60cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当x为何值时，PQ∥BC； （2）当S△BCQ：S△ABC＝1：3时，求S△BPQ：S△ABC的值； （3）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值． （2）由可得CQ＝20＝3x，再根据等高求出，，最后根据求解即可． （3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值． 【解答】解：（1）由题意得，AP＝4xcm，CQ＝3xcm，PB＝（40﹣4x）cm，AQ＝（60﹣3x）cm， ∵PQ∥BC， ∴AP：AB＝AQ：AC， ∴， ∴， 即当时，PQ∥BC； （2）∵， ∴CQ：AC＝1：3，， ∴CQ＝20＝3x， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即S△BPQ：S△ABC＝2：9； （3）△APQ能与△CQB相似．理由如下： ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C， 要使△APQ∽△CQB， 只需． 此时， 解得：x， ∴AP＝4x； 要使△APQ∽△CBQ， ∴， ∴， ∴x＝﹣20（舍）或x＝10， ∴AP＝4x＝40， 即：AP的长为40或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $