第15讲 二次函数综合及应用 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第13讲 二次函数综合及应用 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能根据实际问题建立二次函数模型 · 会用二次函数求利润最大、面积最大等最值问题 · 掌握抛物线型实际问题（喷水、拱桥、投篮等） · 能解决二次函数与几何综合题 · 培养数形结合与建模能力 📚 知识梳理 ☆ 1.实际问题列函数关系式 利润问题：利润=单件利润×销售量 面积问题：用长和宽表示面积 抛物线型问题：建立坐标系求解析式 注意自变量取值范围受实际限制 概念辨析例题：进价2元，售价13元时卖50件，每降1元多卖10件，求利润y与售价x关系 解析：单件利润(x-2)，销量50+10(13-x)，y=(x-2)[50+10(13-x)]=-10x2+200x-360 ☆ 2.最值问题 化为顶点式，在顶点处取最值 注意自变量取值范围是否包含顶点 若顶点在取值范围外，最值在端点 结合实际意义取舍 概念辨析例题：商品进价9元，10元时卖100件，每涨1元少卖10件，求最大利润 解析：y=(10+x-9)(100-10x)=-10x2+90x+1000，顶点x=4.5取最大 ☆ 3.抛物线型实际问题 喷水、拱桥、投篮、隧道等：以顶点或原点建系 用待定系数法求解析式 求最大高度、水平距离、宽度等 注意坐标系选取使计算简化 概念辨析例题：喷水池水柱在水平距中心1m处最高3m，落地距中心3m，求水管高 解析：顶点(1,3)，设y=a(x-1)2+3，代入(3,0)得a=-；x=0时y= ☆ 4.二次函数与几何综合 求抛物线与坐标轴交点、顶点 结合三角形、四边形性质 动点问题用t表示线段列函数 存在性问题先假设再验证 概念辨析例题：抛物线y=-x2+bx+3过A(-1,0)，求B点坐标与解析式 解析：代入A(-1,0)得-1-b+3=0，b=2；令y=0解得x=-1或3 📋 知识总结表 【考点1】根据实际问题列二次函数关系式（第1-12题） · 利润、面积、运动等问题先列等量关系 · 化为一般式y=ax2+bx+c · 写清自变量取值范围 · 注意单位统一 1．（2025秋•西和县期末）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[300+3（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[300+3（x﹣99）] C．w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[300﹣3（99﹣x）] 【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则销售量为[300+3（99﹣x）]件，由此即可得出答案． 【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元）， ∵每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， ∴每件电子产品售价为x（元）时，销售量为[300+3（99﹣x）]件， ∴w与x之间的函数解析式为w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）]， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 2．（2025秋•金湾区期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（　　） A．y＝1500（1+x）2 B．y＝1500+（1﹣x）2 C．y＝（1+x）2+1500 D．y＝x2+1500 【分析】依据题意，由增长率为x，根据“7月份销售1500个，9月份销售y个”列得函数关系式即可求解． 【解答】解：由题意，∵增长率为x，根据“7月份销售1500个， ∴9月份销售y个”列得函数关系式为：y＝1500（1+x）2，故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 3．（2025秋•田阳区期末）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x+10）（200﹣6x） B．y＝（x+40）（200﹣12x） C．y＝（x﹣30）（200﹣6x） D．y＝（x+10）（200﹣12x） 【分析】根据利润＝每个利润×销售量列出关系式即可． 【解答】解：根据利润＝每个利润×销售量列出关系式可知： 售价上涨x元后，每个利润为（40+x）﹣30＝（x+10）元， 销售量减少6x个，即为（200﹣6x）个， ∴利润y＝（x+10）（200﹣6x）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的应用．熟练掌握利润＝每个利润×销售量是关键． 4．（2025秋•城关区期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤．设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（10+x）（50﹣10x） B．y＝（10﹣x）（50+10x） C．y＝（10﹣x）（50﹣10x） D．y＝（10+x）（50+10x） 【分析】根据每斤盈利×销售量列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意得：y＝（10﹣x）（50+10x） 故选：B． 【点评】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，关键是找到的量关系． 5．（2025秋•迁安市期末）家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．30° B．35° C．38° D．46° 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴x的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴且， ∴36＜x＜45， ∴旋钮的旋转角度x在36°和45°之间，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故C符合题意，其他选ABD不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2026•宜兴市一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“2型闭函数”； ②若一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”，则a＝1； ③反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝2024； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）是“k型闭函数”．则k的取值范围是k≥1.5． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【分析】根据“k型闭函数”的定义，并结合一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个计算验证每个结论即可． 【解答】解：①对于一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5），可知y随x的增大而增大， ∴根据定义，当x＝1时，m＝1；x＝5时，n＝9， ∴n﹣m＝k（5﹣1）＝8，故k＝2， 故①正确； ②对于一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”， 故有n﹣m＝1×（8﹣3）＝5， 当a＞0时，y随x的增大而增大，n﹣m＝（8a+2）﹣（3a+2）＝5a＝5，得a＝1； 当a＜0时，y随x的增大而减小，n﹣m＝（3a+2）﹣（8a+2）＝﹣5a＝5，得a＝﹣1， 综上，a＝±1，故②错误； ③对于反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）， 可知y随x的增大而减小， 故n，m， ∴n﹣m， 又∵反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”， ∴k（b﹣a），可得ab＝1， ∵a+b， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2026﹣2＝2024， 故③正确； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）的开口向下，对称轴为直线x＝a，且b﹣a＝2， 由定义可得n﹣m＝2k，故k． 当a≤﹣1时，最大值在x＝﹣1处取得，n＝﹣3﹣6a+a2+2a＝a2﹣4a﹣3； 最小值在x＝1处取得，m＝﹣3+6a+a2+2a＝a2+8a﹣3， 故n﹣m＝﹣12a≥12， ∴k≥6； 当a≤0时，最大值在x＝a处取得，n＝﹣3a2﹣6a2+a2+2a＝4a2+2a； 最小值在x＝1处取得，m＝﹣3+6a+a2+2a＝a2+8a﹣3， ∴n﹣m＝3a2﹣6a+3＝3（a﹣1）2， ∵a≤0， 则n﹣m＝3（a﹣1）2在a≤0上的函数值随a的增大而减小， ∴n﹣m≥3， 解得k≥1.5； 当a＞0时，最大值在x＝a处取得，n＝4a2+2a； 最小值在x＝﹣1处取得，m＝a2﹣4a﹣3， ∴n﹣m＝3（a+1）2， ∵a＞0， 则n﹣m＝3（a+1）2在a＞0上的函数值随a的增大而减小， ∴n﹣m＞3， 解得k＞1.5； 当a≥1时，最大值在x＝1处取得，n＝a2+8a﹣3； 最小值在x＝﹣1处取得，m＝a2﹣4a﹣3， ∴n﹣m＝12a＞12， 解得k≥6， 综上，k≥1.5，故④正确， 综上，正确结论为①③④， 故选：D． 【点评】本题以新定义为背景，考查了一次函数，反比例函数，二次函数的增减性质，重点要掌握好这些函数的性质，以及用分类讨论的思想进行分析． 7．（2025秋•浙江期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程s（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为s＝at2．则表格中m的值为（　　） t（秒） 0 1 2 3 4 … s（米） 0 20 m … A．40 B．50 C．80 D．160 【分析】根据给定关系式s＝at2，利用表中t＝2时 s＝20 的条件求出常数 a，再代入t＝4计算s的值． 【解答】解：∵s＝at2，且当 t＝2 时，s＝20， ∴20＝a×22＝4a， ∴a＝20÷4＝5， ∴s＝5t2， 当t＝4时，s＝5×42＝5×16＝80， ∴m＝80． 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 8．（2024秋•喀什地区期末）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x，那么y与x的函数关系是y＝1500（1+x）2 ． 【分析】设增长率为x，根据“7月份销售1500个，9月份销售y个”列得函数关系式即可求解． 【解答】解：设增长率为x，根据“7月份销售1500个，9月份销售y个”列得函数关系式为： y＝1500（1+x）2， 故答案为：y＝1500（1+x）2． 【点评】本题考查了二次函数的应用．理解题意是关键． 9．（2025秋•长丰县期末）一台机器原价为60万元，如果每年价格的下降率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为y＝60（1﹣x）2 ． 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【解答】解：根据题意可知y与x的函数关系式是：y＝60（1﹣x）2． 故答案为：y＝60（1﹣x）2． 【点评】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格＝原价×（1﹣x）2． 10．（2025•重庆模拟）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为y＝200（1+x）2 ． 【分析】根据：现有量＝原有量×（1+增长率）n，即可列出函数解析式． 【解答】解：现有量＝原有量×（1+增长率）n， 依题意得：y＝200（1+x）2． 故答案为：y＝200（1+x）2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，可直接套公式：原有量×（1+增长率）n＝现有量，n表示增长的次数． 【考点2】二次函数的应用（第13-31题） · 最值问题用顶点式求 · 抛物线型问题建坐标系求解析式 · 实际答案要符合意义 · 双解或端点要取舍 11．（2025秋•沈丘县期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据正常水位时水面宽AB＝16米，找出当x＝8时y＝﹣4，再根据水位上升3米时，代入解析式求值即可． 【解答】解：AB＝16，当x＝8时，y64＝﹣4．当水位上升3米时，y＝﹣1，把 y＝﹣1代入 yx2， 得﹣1x2，解得 x＝±4，此时水面宽CD＝8米，故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 12．（2025秋•礼县期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答． 【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4， 把y＝﹣4代入yx2， ∴﹣4x2， ∴x＝±4， ∴A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）， ∴AB＝4﹣（﹣4）＝8m． 故选：B． 【点评】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 13．（2025秋•河间市期中）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为y＝﹣0.6x2；乙：点C到AD的距离为1.8m．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点D的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m， ∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0）， ∴点E的坐标为（0，0.6）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），将点E的坐标代入得： a（0+1）×（0﹣1）＝0.6， 解得：a＝﹣0.6， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.6（x+1）（x﹣1）．故甲不对； ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为﹣0.6×（2+1）×（2﹣1）＝﹣1.8， ∴点C到AD的距离为1.8m．故乙对． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，正确求出抛物线解析式是解此题的关键． 14．（2026•垦利区二模）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价　8　 元，才能使每日利润最大． 【分析】设当涨价a元时，单日利润为W元，则W＝（a+24﹣20）（40﹣2a）＝﹣2（a﹣8）2+288，即可求解． 【解答】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则W＝（a+24﹣20）（40﹣2a）＝﹣2（a﹣8）2+288， 因为﹣2＜0，抛物线开口向下， 所以当a＝8时，W最大＝288， 答：当每件纪念品应涨价8元，才能使每日利润最大． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润＝（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键． 15．（2024秋•东城区校级期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），运动2秒时，小球的高度是　40　 米． 【分析】将t＝2代入函数解析式中进行计算求解． 【解答】解：由题意可得：h＝30×2﹣5×22＝40（米）． 故答案为：40． 【点评】本题考查了二次函数求值，正确进行计算是解题关键． 16．（2026•甘肃）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流　不能　 击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【分析】依据题意，把x＝20代入解析式：，结合昆虫纵坐标为50，40≠50，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，把x＝20代入解析式：， ∵昆虫纵坐标为50，40≠50， ∴不能击中． 故答案为：不能． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17．（2023秋•江都区月考）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3，2）．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为 　m ．（结果保留根号） 【分析】根据题意和图象，可以设二次函数的交点式，然后将点P（3，2）代入求出a的值，即可写出该抛物线的解析式；将y＝1代入函数解析式，求出相应的x的值，然后作差，即可得到因降暴雨水位上升1m，此时水面宽． 【解答】解：（1）设拱桥所在抛物线的函数表达式为y＝ax（x﹣4）， ∵点P（3，2）在该函数图象上， ∴2＝3a（3﹣4）， 解得a， ∴yx（x﹣4）x2x， 即拱桥所在抛物线的函数表达式是yx2x； （2）当y＝1时， 1x2x 解得x1，x2， ∵， ∴因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为m， 故答案为：m． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是利用交点式求函数的解析式． 18．（2025秋•浑南区期末）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为　0.2　 m． 【分析】根据二次函数性质，结合实际情况，先求出篮板距离y轴距离，再求出起跳位置距离y轴距离，进而得到答案． 【解答】解：根据题意可知， 当y＝3.05时，即3.05＝﹣0.2x2+3.5， 解得：x＝1.5m， ∴4﹣1.5＝2.5， 当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25， ∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2（m）； 故答案为：0.2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（2025•定西一模）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．则小明此次试投的成绩（线段CO的长度）是 　（）　 米． 【分析】根据图中信息可设抛物线表达式为y＝a（x﹣4）2+3，再将点A坐标代入表达式中可求出a值，以此即可求出抛物线的表达式，再根据题意解方程即可解答． 【解答】解：根据图中信息可设抛物线表达式为y＝a（x﹣4）2+3， 由抛物线过点A（0，2）， 得2＝a（0﹣4）2+3， 解得：， ∴铅球路径所在抛物线的表达式为； 令y＝0，则， 解得：， ∵点C在x轴正半轴上， ∴， ∴米， 故答案为：（）． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2025秋•镇原县期末）如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝　20　 米． 【分析】根据正常水位时水面宽AB＝30米，求出当x＝15时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可． 【解答】解：∵AB＝30米， ∴当x＝15时，y152＝﹣9， 当水位上升5米时，y＝﹣4， 把y＝﹣4代入yx2得：﹣4x2， 解得x＝±10， 此时水面宽CD＝20米， 故答案为：20． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值． 21．（2026•河南模拟）如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）写出C1和C2的解析式：C1：yx2﹣3，C2：yx2+1　 ； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是0.48dm，则此时水面的直径为　2.4　 dm； （3）如果将一个底面直径为3.6dm，高度为2.8dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【分析】（1）分别设出C1和C2的解析式，把图中所给的点代入即可求得相关的函数解析式； （2）易得y＝﹣2.52，代入C1的解析式，求得x的值，取较大的值减去较小的值即可求得水面的直径； （3）易得x＝1.8，代入（1）中得到的两个函数解析式，求得y的值，相减即可得到最大高度，与2.8比较即可判断锅盖能否正常盖上． 【解答】解：（1）设C1的解析式为y＝ax2+k， ∵经过点（3，0），（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴C1：yx2﹣3， 设C2的解析式为y＝mx2+n，∵经过点（3，0），（0，1），∴， 解得：， ∴C2：yx2+1， 故答案为：C1：yx2﹣3，C2：yx2+1； （2）∵水位高度是0.48dm， ∴y＝﹣3+0.48＝﹣2.52， ∴﹣2.52x2﹣3， 解得：x1＝1.2，x2＝﹣1.2， ∴水面的直径为：1.2﹣（﹣1.2）＝2.4（dm）， 故答案为：2.4； （3）锅盖不能正常盖上． 理由：∵直径为3.6dm， ∴半径为1.8dm， 当x＝1.8时，y1.82﹣3＝﹣1.92，y1.82+1＝0.64， 0.64﹣（﹣1.92）＝2.56＜2.8， ∴锅盖不能正常盖上． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键．易错点是判断出相对应的自变量的值，函数值． 22．（2026•兰州校级一模）一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高1.82m，在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.02＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5． 【解答】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5． 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5； （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵y＝﹣0.2x2+3.5， 而球出手时，球的高度为h+1.82+0.2＝（h+2.02）m， ∴h+2.02＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.23． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.23m． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键． 23．（2026•碑林区校级四模）如图所示，取某一位置的水平线为x轴，建立了平面坐标系后，小山坡AB可以近似看成抛物线l1：y．小明在离A点2m的楼顶C抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点D处，测得点D离y轴的距离为8m． （1）求点D的坐标； （2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 【分析】（1）根据点D在抛物线上，把x＝8代入计算出点D的坐标； （2）根据题意求出点C的坐标，再根据点C（0，4）和点D（8，2）在抛物线l2上，利用待定系数法求出b，c的值，再根据二次函数的图象的性质求出小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 【解答】解：（1）∵测得点D离y轴的距离为8m， ∴点D的横坐标为8， ∵点D在抛物线上， ∴当x＝8时，， ∴点D的坐标是（8，2）； （2）∵，当x＝0时，y＝2， ∴A（0，2）， ∴OA＝2， ∵AC＝2m， ∴OC＝4m， ∴C（0，4）， ∵点C（0，4）和点D（8，2）在抛物线上， ∴， ∴， ∴． ∴高出山坡的高度． ∴当x＝3时，小球飞行过程中，离山坡的最大高度为． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键． 24．（2026•周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标为（5，8），则可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8，又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8，求出a后即可判断得解； （2）依据题意，由（1）y（x﹣5）2+8，从而可令x＝0，则y（0﹣5）2+8，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8）， ∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8． 又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8， ∴0＝a（13﹣5）2+8． ∴a． ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y（x﹣5）2+8． （2）由题意，由（1）y（x﹣5）2+8， ∴可令x＝0，则y（0﹣5）2+8（m）． 答：这个装饰物的设计高度为m． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 25．（2025春•鼓楼区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱AC和BD组成，立柱高为1m，顶棚最高点距离地面AB是4m，AB的长为20m． 素材2 现打算在AB的中点F处安装一款自动喷灌器EF，从喷水口E喷出的水流可以看成抛物线，其形状与y＝﹣0.04x2的图象相同，EF＝3m，此时水流刚好喷到立柱的端点D处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问EF处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，最高点距离地面多少米？ 【分析】任务1．设顶棚部分抛物线的解析式为：y＝ax2，易得点D的坐标，把点D的坐标代入可得a的值； 任务2．设从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：y＝﹣0.04x2+bx+c，易得点E的坐标，把点E的坐标和点D的坐标代入所设解析式可得b和c的值，进而根据二次函数的性质可得当抛物线的顶点坐标，进而可得EF处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，以及最高点距离地面多少米． 【解答】解：任务1．设顶棚部分抛物线的解析式为：y＝ax2， 由题意得：点D坐标为（10，﹣3）， ∴﹣3＝a×102， 解得：a， ∴顶棚部分抛物线的解析式为：yx2； 任务2．设从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：y＝﹣0.04x2+bx+c， 由题意得：点E（0，﹣1），点D（10，﹣3）， ∴， 解得：， ∴从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：y＝﹣0.04x2+0.2x﹣1， ∵﹣0.04＜0， ∴抛物线的开口向下， ∴x2.5时，y有最大值，y最大0.75， ∴最高点距离地面的距离为：﹣0.75﹣（﹣4）＝3.25（米）． 答：EF处喷出的水流在距离F点水平距离为2.5米时达到最高，最高点距离地面3.25米． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相关的函数解析式是解决本题的关键． 26．（2026•英山县校级自主招生）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【分析】（1）①已知火箭第二级的引发点坐标，即可求解； ②算出最高点的纵坐标即可得出要求位置的点的纵坐标，解方程即可； （2）已知火箭第二级的引发点横坐标，代入抛物线和直线方程中即可得a、b的关系，再求出落地点的横坐标，利用关系式消元，即可得一元不等式． 【解答】解：（1）①由题意，将（9，3.6）代入抛物线y＝ax2+x得： 3.6＝92a+9， ∴a； 将（9，3.6）代入直线yx+b得：3.69+b， ∴b＝8.1； ②由题意可得：抛物线方程为和直线方程为， 又∵， ∴抛物线的最高点为， ∴方程的根为3， ∴方程.4的根为11.4， ∴这两个位置之间的距离为11.4﹣3＝8.4（km）． （2）由题意，当x＝9时，，即， ∴落地点的横坐标为 2b＝162a+27，则162a+27＞15的解为． ∵抛物线开口向下， ∴． 又∵9， ∴a． ∴当a时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 27．（2026•龙湖区一模）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据“用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个”，求解即可； （2）根据利润＝1个蛋黄豆沙月饼所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据题意，得 50， 解得x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意， ∴2x＝2×2＝4， 答：普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元； （2）设售价定为t元，利润为y元，根据题意得， y＝（t﹣4）[200]＝﹣20（t﹣10）2+720， ∵﹣20＜0， ∴当t＝10时，y的最大值是720， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用和分式方程的应用，解题的关键：（1）准确找出等量关系；（2）利用了利润＝1个蛋黄豆沙月饼所获得的利润×销售量列式． 28．（2025•邯山区校级一模）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是； ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E横坐标xE的取值范围 xE≥10　 ． 【分析】（1）用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把（0，0）代入可得a的值，即可求得抛物线L的解析式； （2）①取（1）中的y＝0，求得合适的x的解即为点A的横坐标； ②求出反弹后的抛物线解析式，取x＝13，看y是否是2可得反弹后的小球是否经过点（13，2）； （3）求得抛物线L与一次函数的交点D，进而求得反弹后的抛物线解析式，那么可求得反弹后的抛物线与一次函数的交点，则挡板的端点E在反弹后的抛物线与一次函数的交点或者交点的右边． 【解答】解：（1）设抛物线L的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， ∵经过点（0，0）， ∴0＝a（0﹣4）2+4， 解得：a， ∴抛物线L的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）①当y＝0时，0（x﹣4）2+4， （x﹣4）2＝16， （x﹣4）2＝±4， 解得：x1＝0，x2＝8， ∴点A的横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点（13，2），理由如下： 由题意得：反弹后的抛物线的顶点的纵坐标为，二次项的系数不变， ∴设反弹后的抛物线解析式为：y（x﹣h）2， ∵过点（8，0）， ∴0（8﹣h）2， （8﹣h）2＝9， 8﹣h＝±3， 解得：h1＝5（不合题意，舍去），h2＝11， ∴y（x﹣11）2， 当x＝13时，y2， ∴反弹后的小球不经过点（13，2）； （3）由题意得：， 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝7， ∴点D的坐标为（7，）， 设反弹后的抛物线解析式为：y（x﹣m）2， ∵经过点D（7，）， ∴（7﹣m）2， 解得：m1＝5（不合题意，舍去），m2＝9， ∴y（x﹣9）2， ∴， 解得：x1＝7（不合题意，舍去），x2＝10， ∴反弹后抛物线与挡板的交点的横坐标为10， ∴挡板端点E横坐标xE的取值范围是xE≥10． 故答案为：xE≥10． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键． 【考点3】二次函数综合题（第32-38题） · 求解析式、交点、顶点 · 结合三角形/四边形性质 · 动点用t表示线段 · 存在性问题先假设后验证 29．（2026•东营区校级三模）已知如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使得△CAN的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由； （3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM和△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得出A（﹣3，0），C（0，﹣3），再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，求出点B（1，0），则AB＝4，求出S△ABCAB•OC＝6，作NE∥y轴交AC于E，设点N（n，n2+2n﹣3）（﹣3＜n＜0），则E（n，﹣n﹣3），EN＝﹣n2﹣3n，表示出S△ACNEN•（xC﹣xA），再根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据∠OAM＝∠BAC，进而分两种情况：△BAC∽△OAM，△BAC∽△MAO；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3， ∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）， 将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）在直线AC下方的抛物线上，存在一点N，使得△CAN的面积最大；理由如下： 设直线AC的解析式为：y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3， 在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0，得出x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4， ∴S△ABCAB•OC4×3＝6， 如图1，作NE∥y轴交AC于E， 设点N（n，n2+2n﹣3）（﹣3＜n＜0），则E（n，﹣n﹣3）， ∴EN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n﹣3﹣n2﹣2n+3＝﹣n2﹣3n， ∴S△ACNEN•（xC﹣xA）（﹣n2﹣3n）×3， ∵a0， ∴当n时，S△ACN最大，为； （3）在线段AC上存在一点M，使△AOM和△ABC相似；理由如下： ∵∠OAM＝∠BAC， ∴当△AOM和△ABC相似有两种情形， ①当△BAC∽△OAM时，如图2， ∴∠AOM＝∠ABC， ∴OM∥BC， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B（1，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3， ∴直线OM的解析式为y＝3x， 联立得：， 解得：， ∴M（，）； ②当△BAC∽△MAO时，如图3， ∴， ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）， ∴AB＝4，AO＝CO＝3，AC3， ∴AM2， 设M（t，﹣t﹣3）， ∴AM2＝（t+3）2+（﹣t﹣3）2， 解得：t＝﹣1或t＝﹣5（舍去）， ∴M（﹣1，﹣4）， 综上所述，M（，）或 M（﹣1，﹣2）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、相似三角形的性质与判定，熟练运用数形结合的思想解决问题是解答本题的关键． 30．（2026春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）当a＝1时， ①若该函数图象的对称轴为直线x＝2，且过点（1，4），求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点（1，m），（3，n），（5，p）且满足m﹣n＝4，请比较n与p的大小． 【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将（1，4）代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式； ②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出Δ＝b2﹣4×1×c＝0，整理为4c＝b2，进而可求出b+4c＝b2+b，再配方，结合二次函数的性质即可求解； （2）先将m、n、p用abc表示出来，然后根据m﹣n＝4得到b＝﹣4a﹣2，比较大小用作差法，所以得到p﹣n＝8a﹣4，再根即可判断． 【解答】解：（1）①∵a＝1， ∴该函数解析式为y＝x2+bx+c． ∵该函数图象的对称轴为直线x＝2， ∴x2， 解得：b＝﹣4． ∵该函数图象过点（1，4）， ∴4＝12﹣4+c， 解得：c＝7， ∴该函数解析式为y＝x2﹣4x+7； ②∵该函数解析式为y＝x2+bx+c，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数解， ∴Δ＝b2﹣4×1×c＝0， 整理得：b2﹣4c＝0，即4c＝b2， ∴b+4c＝b2+b＝（b）2， ∵（b）≥0， ∴（b）2， ∴； （2）由题可知，m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，p＝25a+5b+c， ∵m﹣n＝a+b+c﹣9a﹣3b﹣c＝﹣8a﹣2b＝4， ∴b＝﹣4a﹣2， ∴p﹣n＝25a+5b+c﹣（9a+3b+c） ＝16a+2b ＝16a﹣8a﹣4 ＝8a﹣4， ∵a， ∴8a＞4， ∴8a﹣4＞0， ∴p﹣n＞0， 即n＜p． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与x轴的交点问题，整式的加减，分解因式等知识．掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键． 31．（2026•弋江区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线对称轴为直线x＝a，且经过点A（2a，0）． （1）用含a的式子表示b，并求c的值； （2）已知抛物线，过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线y1于点M，交抛物线y2于点N，点H为线段MN的中点（若M，N重合，取点H为M）． ①若a＝2，t＝1，求H点坐标； ②已知点P从点B（a，0）运动到C（3a，0）的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围． 【分析】（1）由对称轴直线x＝a得到b＝﹣2a，再把A（2a，0）代入抛物线得到c＝0； （2）①先得到，，即可求出M（1，﹣3），N（1，﹣5），再根据中点得到H（1，﹣4）； ②设M（t，t2﹣2at），N（t，（a﹣1）t2﹣3a），由中点得到，再根据a＞0和a＜0分情况讨论，求出a≤t≤3a或3a≤t≤a范围内的最小值，只要最小值大于0即可． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝a，且经过点A（2a，0）． ∴，即b＝﹣2a， ∴y1＝x2﹣2ax+c， 将点A的坐标代入y1＝x2﹣2ax+c得： 4a2﹣4a2+c＝0， 解得：c＝0； （2）①∵抛物线，抛物线，过点P（t，0）作x轴的垂线， 当a＝2，t＝1时，得：，，P（1，0）， ∵过点P作x轴的垂线，交抛物线y1于点M，交抛物线y2于点N， ∴当x＝1时，得：，， ∴M（1，﹣3），N（1，﹣5）， ∵点H为线段MN的中点， ∴xH＝1，， ∴H（1，﹣4）； ②由（1）得：， 由题意得：M（t，t2﹣2at），N（t，（a﹣1）t2﹣3a），点H为线段MN的中点， ∴xH＝t，， ∴， 当a＞0时， ∵点P从点B（a，0）运动到C（3a，0）的过程中，点H始终保持在x轴上方， ∴当a≤t≤3a时，恒成立， 当1＜a≤t≤3a时，在a≤t≤3a范围内随t的增大而增大，此时当t＝a时，在a≤t≤3a范围内yH有最小值，最小值， ∵a＞1，a+1＞2， ∴要使yH＞0恒成立，必须满足a﹣3＞0，即a＞3； 当a≤1≤3a，即时，在a≤t≤3a范围内顶点处取最小值，最小值﹣2a， ∴要使yH＞0恒成立，必须满足﹣2a＞0，即a＜0（无解，不合题意，舍去）； 当a≤t≤3a＜1，即时，在a≤t≤3a范围内随t的增大而减小，此时当t＝3a时，在a≤t≤3a范围内yH有最小值，最小值， ∵，3a+1＞0， ∴要使yH＞0恒成立，必须满足3a﹣3＞0，即a＞1（无解，不合题意，舍去）； 当a＜0时， ∵点P从点B（a，0）运动到C（3a，0）的过程中，点H始终保持在x轴上方， ∴当3a≤t≤a时，恒成立， ∵a＜0， ∴3a≤t≤a＜1， ∴在3a≤t≤a范围内随t的增大而增大，此时当t＝3a时，在3a≤t≤a范围内yH有最小值，最小值， ∵a＜0，3a﹣3＜0， ∴要使yH＞0恒成立，必须满足3a+1＞0，即， ∴此时； 综上所述，点P从点B（a，0）运动到C（3a，0）的过程中，点H始终保持在x轴上方，a的取值范围为a＞3或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，分类讨论是解答本题的关键． 32．（2026•历下区一模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G． ①如图1，连结AC，CG，AG，求△ACG的面积； ②如图2，设新函数的图象M与x轴交于点E和F，连结CE，CB，CF，若∠BCE＝∠BCF，求新函数的表达式． 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）①连接DG，AD，CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，利用平行线之间的距离相等的性质，同底等高的三角形的面积相等的性质得到△ACG的面积等于△ACD的面积，利用勾股定理求得AC；过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，利用矩形的判定与性质，勾股定理求得CD，设DE＝m，CE＝n，由勾股定理求得DE，再利用实际行动面积公式解答即可得出结论； ②连接DG，过点G作GM⊥AF于点M，过点D作N⊥GM于点N，设DN＝c，则GN＝2c，利用平移的性质，相似三角形的判定与性质得到点G（1+c，2c），利用二次函数的图象与性质得到新函数的图象的解析式为y2c，则点E，F的横坐标为方程（c+1）xc+4＝0的两根，利用一元二次方程的根与系数的关系定理得到efc2﹣2c﹣8，则OE•OF＝c2﹣2c﹣8，再利用相似三角形的判定与性质求得c值，则结论可求． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为yx+4． ∵yx+4， ∴顶点D的坐标为（1，）； （2）①连接DG，AD，CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，如图， ∵将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G， ∴DG∥AC， ∴△ACG与△ACD同底等高， ∴△ACG的面积等于△ACD的面积． 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴AC2， 过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H， 则四边形OCHF为矩形， ∴CH＝OF，FH＝OC＝4， ∵D的坐标为（1，）， ∴DF，OF＝1， ∴CH＝1，DH＝DF﹣HF， ∴CD， 设DE＝m，CE＝n，由勾股定理可得：DE2+CE2＝CD2，AE2+DE2＝AD2＝AF2+DF2， ∴， ∴， ∴DE， ∴△ACG的面积． ∴△ACG的面积为． ②∵将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G， ∴DG∥AC， 连接DG，过点G作GM⊥AF于点M，过点D作N⊥GM于点N，如图， 则△AOC∽△DNG， ∴， ∴， 设DN＝c，则GN＝2c， ∵D的坐标为（1，）， ∴G（1+c，2c）， ∴新函数的图象的解析式为y2c， ∴y（x+1）xc+4， 令y＝0，则（x+1）xc+4＝0， ∴点E，F的横坐标为方程（c+1）xc+4＝0的两根， 设E（e，0），F（f，0）， ∴OE＝e，OF＝f， ∵efc2﹣2c﹣8， ∴OE•OF＝c2﹣2c﹣8， ∵B（4，0）， ∴OB＝4， ∵OC＝4， ∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵∠OCE+∠BCE＝∠OCB，∠OBC＝∠BCF+∠F，∠BCE＝∠BCF， ∴∠OCE＝∠F， ∵∠COE＝∠FOC＝90°， ∴△OCE∽△OFC， ∴， ∴OC2＝OE•OF， ∴16＝c2﹣2c﹣8， ∴c＝6或﹣4（不合题意，舍去）， ∴DN＝6，GN＝12， ∴G（7，）， ∴新函数的表达式为y， 即y7x﹣8． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，平移的性质，三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 33．（2026•南山区三模）【定义】 我们将二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c均不为0且a≠c）与二次函数y＝cx2+bx+a称之为“互反抛物线”．例如：二次函数y＝3x2+4x+5与二次函数y＝5x2+4x+3就是一组“互反抛物线”． （1）已知二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3，其“互反抛物线”记作C2．若C1与C2交于y轴上的交点M和N且MN＝2，求a的值； （2）在（1）的条件下，已知（1，0）是二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3上的一点，求C1、C2的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值． （3）已知二次函数C1：y＝x2+bx+c（其中，b、c均不为0且c≠1）的顶点为P，其“互反抛物线”的顶点为Q，C1和C2的函数图象交于点M（1，0），如图所示，当∠PMQ＝90°时，请直接写出c的值． 【分析】（1）分别求出M、N点坐标，即可求求解； （2）根据题意可知a＝5，分别求出函数与x轴的交点横坐标，再求解即可； （3）分别求出P（，），Q（，），过Q点作QG⊥x轴交于G点，过P点作PH⊥x轴交于H点，可证明△GMQ∽△HPM， 再由，求出满足题意的c＝3． 【解答】解：（1）“互反抛物线”C2为y＝（2a﹣3）x2+bx+a， ∴M（0，2a﹣3），N（0，a）， ∴MN＝|a﹣3|＝2， 解得a＝5或a＝1； （2）当x＝1时，a+b+2a﹣3＝0， ∴b＝3﹣3a， 当a＝1时，b＝0，不符合题意，舍去； 当a＝5时，y＝5x2﹣12x+7，y＝7x2﹣12x+5， 当5x2﹣12x+7＝0时，解得x＝1或x； 当7x2﹣12x+5＝0时，解得x＝1或x； ∴交点的最大距离为； （3）∵点M是两个函数的交点， ∴c+b+1＝0， ∴b＝﹣c﹣1， ∴C1：y＝x2+（﹣c﹣1）x+c，C2：y＝cx2+（﹣c﹣1）x+1， ∴P（，），Q（，）， 过Q点作QG⊥x轴交于G点，过P点作PH⊥x轴交于H点， ∵∠PMQ＝90°， ∴∠GMQ+∠HMP＝90°， ∵∠GMQ+∠GQM＝90°， ∴∠HMP＝∠GQM， ∴△GMQ∽△HPM， ∴，即， ∵c≠1， ∴c＝3或c＝﹣1； 当c＝﹣1时，b＝0，舍去； ∴c＝3． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 34．（2026•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是直线AB上一点（不与点A重合），且AB＝BC，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形OBCD是梯形，求梯形OBCD的面积； （3）点P、Q都在第三象限，其中点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，如果△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据一次函数可知A，B的坐标，进而根据AB＝BC可得点B是线段AC的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据OBCD是梯形，可知OD的直线解析式，进而联立方程可知点D的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点A作AG⊥GP，过点Q作QH⊥PH，进而可知△GAP∽△HPQ，根据相似三角形的性质即可求解；②过点A作AM⊥QM交对称轴于M，过点P作PN⊥QN交对称轴于N，证明△NPQ∽△MQA，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）由题可知，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则点A（﹣4，0），B（0，2）， ∵C是直线AB上一点，且AB＝BC， ∴点B是线段AC的中点， 设点C（m，n）， ∴点， ∴m＝4，n＝4， ∴点C（4，4）， 将点C，点A代入抛物线y＝ax2+bx﹣2，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）如图1，四边形OBCD是梯形， ∴OD∥AC， ∵O为原点， ∴OD的直线解析式为， 联立得：， 解得：或， ∵点D在抛物线上，且位于第一象限， ∴， 过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴， ∴S梯形OBCD＝S梯形OBCF﹣S梯形CDEF﹣S△ODE（2+4）×4（4）×（4﹣2）24+2； （3）①如图2，过点A作AG⊥GP，过点Q作QH⊥PH， 当∠APQ＝90°，△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应， 则2， 抛物线， ∵∠AGP＝∠PHQ＝90°， ∴∠GAP+∠APG＝90°，∠APG+∠HPQ＝90°， ∴∠GAP＝∠HPQ， ∴△GAP∽△HPQ， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 设点Q（﹣1，h），点， ∴GA，QH，HP＝﹣1﹣k， ，PG＝k﹣（﹣4）， 则2，2， 解得：k＝8或k＝﹣2， ∵点P、Q都在第三象限， ∴k＝﹣2， ∴h＝﹣1， ∴Q（﹣1，﹣1）； ②由题可得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 如图3，过点A作AM⊥QM交对称轴于M，过点P作PN⊥QN交对称轴于N， 当∠AQP＝90°，△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应， ∴， 抛物线的解析式为， ∵∠AMQ＝∠PNQ＝90°， ∴∠NPQ+∠PQN＝90°，∠MQA+∠PQN＝90°， ∴∠NPQ＝∠MQA， ∴△NPQ∽△MQA， ∴2， 则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 设点Q（﹣1，h），， ∴AM＝3，MQ＝0﹣h， ，PN＝﹣1﹣k， ∴2，， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，Q（﹣1，﹣1），． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 35．（2025•仪征市三模）抛物线的与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），顶点为C． （1）顶点C坐标为　（0，﹣2）　 ； （2）如图，若点D的坐标是（0，4），连接AD． ①把线段AD沿一定的方向平移，平移后，点A的对应点为E，点D的对应点为F，若点E，点F均在抛物线L1上，求点E的坐标； ②将抛物线L1沿射线AD方向平移得到抛物线L2，且抛物线L2经过点D．请问在抛物线L2上是否存在点G，使得∠GAD＝45°﹣∠ADO，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，从而得出C（0，﹣2）， （2）①设E（m，n）则F（m+2，n+4），将其代入抛物线的解析式，解方程组，进而得出结果； ②先求出L2的解析式，取点E（0，2），设直线AE交L2于G，可推出直线AE与L2的交点G符合条件，将L2和直线AE联立成方程组，进而得出G点坐标；作EF⊥AD于F，在EF上截取FH＝EF，作射线AG′，交L2于G′，可推出∠DAG′＝∠DAG，从而得出直线AD和L2的交点也满足条件，进一步得出结果． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）； （2）①设E（m，n）则F（m+2，n+4）， ∴， ∴， ∴E（1，）； ②如图， A点向右平移2个单位，再向上平移4个单位得出D，故L2的解析式为：y， 取点E（0，2），设直线AE交L2于G， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝OE， ∴∠AEO＝∠OAE＝45°，直线AE的解析式为：y＝x+2， ∴∠DAE＝∠AEO﹣∠ADO＝45°﹣∠ADO， ∵∠GAD＝45°﹣∠ADO， ∴直线AE与L2的交点G符合条件， 由得， ∴，， ∴G1（3），G2（3， 作EF⊥AD于F，在EF上截取FH＝EF，作射线AG′，交L2于G′， ∴AH＝AE， ∴∠DAG′＝∠DAG， ∵A（﹣2，0），D（0，4）， ∴直线AD的解析式为：y＝2x+4， ∴直线EF的解析式为：yx+2， 由得， ， ∴F（）， ∴H（）， ∴AH的解析式为：y＝7x+14， 由得， ， ∴）， 综上所述：G（3）或（3）或（9）或（9）． 【点评】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 a　 ． 【分析】依据题意，抛物线的顶点在直线y＝3x上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边15m可知其对称轴，可得a的范围． 【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx的顶点为（，），抛物线的顶点在直线y＝3x上， ∴3． ∴b＝6． ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边15m， ∴，即：． ∴a． 故答案为：a． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 【练习 2】（2026春•新昌县期末）刘徽在《九章算术注》的“开立圆术”中提出：对于正整数v，若球体体积公式（d为直径）存在误差，可用“以盈补虚”法修正．其思想可推广至求二次根式的近似值：对于正整数q，若q＝m2+n（m为正整数，n为非零整数且|n|最小），则．用此方法计算的近似值为　13.68　 （结果保留两位小数）． 【分析】根据题目所提供的方法进行计算即可． 【解答】解：由题意，∵187＝132+18，187＝142﹣9，且|﹣9|＜|18|， ∴m＝14，n＝﹣9． ∴由，则1413.68． 故答案为：13.68． 【点评】本题考查估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 实际问题先建函数模型，注意自变量取值范围 · 最值问题用顶点式，注意顶点是否在范围内 · 喷水、拱桥、投篮题选好坐标系使计算简化 · 几何综合先求解析式、交点、顶点，再结合图形 · 存在性问题先假设成立，再列方程验证 【作业 1】（2025秋•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 【分析】先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润＝每件利润×销售量”列出函数式． 【解答】解：商品原售价为10元，涨价x元后，新售价为（10+x）元， 由题意得利润y＝每件利润×销售量， y＝（10+x﹣9）（100﹣10x）， 故选：C． 【点评】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润＝每件利润×销售量”的数量关系． 【作业 2】（2023秋•双阳区期末）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】求出点A，C的坐标，即可求出杯口的口径AC长． 【解答】解：∵OD＝13， ∴点D的坐标为D（0，13）， 当y＝13时，x2+6＝13， 解得x＝±， ∴A（，13），D（，13）， ∴AD（）＝7， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当x＝0时，， ∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 4】（2025•武都区校级模拟）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 y＝﹣10x2+200x﹣360　 ． 【分析】根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣2）[50+10（13﹣x）] 整理得：y＝﹣10x2+200x﹣360． 故答案为：y＝﹣10x2+200x﹣360． 【点评】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 【作业 5】（2026•陈仓区模拟）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD组成，矩形ABCD的边BC＝4m，CD＝1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形FGMN的边FN、MN、MG为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形ABCD的顶点B为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长； （3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离），求此时BF的取值范围． 【分析】（1）依据题意得，顶点E为（2，3），则可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，又图象过A（0，1），进而计算可以得解； （2）由四边形FGMN为正方形，则MN＝FG＝2FH，又设BF＝m，则FH＝2﹣m，NF＝4﹣2m，故N（m，4﹣2m），结合N在抛物线L：y（x﹣2）2+3的图象上，可得4﹣2m（m﹣2）2+3，求出m后即可得解； （3）依据题意，设BF＝m，则N（m，m2+2m+1），故NFm2+2m+1，结合FH＝2﹣m1.3，NFm2+2m+1≥1.9+0.1＝2，从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，顶点E为（2，3）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3， 又图象过A（0，1）， ∴4a+3＝1． ∴a． ∴抛物线L的表达式为y（x﹣2）2+3； （2）∵四边形FGMN为正方形， ∴MN＝FG＝2FH． 设BF＝m，则FH＝2﹣m，NF＝4﹣2m， ∴N（m，4﹣2m）． 又∵N在抛物线L：y（x﹣2）2+3的图象上， ∴4﹣2m（m﹣2）2+3． ∴m1＝4，m2＝4（不合题意，舍去）． ∴MN＝FN＝4﹣2m＝24； （3）设BF＝m，则N（m，m2+2m+1）， ∴NFm2+2m+1． ∵FH＝2﹣m1.3，NFm2+2m+1≥1.9+0.1＝2， ∴2m≤0.7，即2BF≤0.7． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、轴对称图形，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业 6】（2026•攀枝花模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意求得的PE最大值，再根据平行线性质和锐角三角函数得到，，进而可求解； （3）根据平移性质和菱形的性质分AP、AN、AM分别为对角线三种情况求解即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．代入得： 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E， 令， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0），则OB＝4， 当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），则OC＝2； 设直线BC的表达式为y＝kx+t， 则， 解得， ∴直线BC的表达式为， 设，则， ∴， ∵，0＜x＜4， ∴当x＝2时，PE最大，最大值为2，此时点P坐标为（2，3）； ∵PE∥y轴，PD⊥BC， ∴∠PED＝∠OCB，， ∵，， ∴，， ∵△PDE周长为PE+PD+DE， ∴△PDE周长的最大值为，点P坐标为（2，3）； （3）在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，符合条件的N点坐标为或或；理由如下： ∵，， ∴根据平移性质，该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为， 设，N（p，s），AP2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2＝18， 当AP为对角线时，则AM＝AN， ∴， 解得， ∴点N坐标为； 当AM或AN为对角线时，AP＝AN或AP＝AM， 则或， 解得（不合题意的值已舍去）， ∴点N坐标为或， 综上，满足题意的N点坐标为或或． 【点评】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，解答本题的关键是注意分类讨论和数形结合思想的运用． 【作业 7】（2026•松江区校级模拟）已知抛物线C1：y＝a（x﹣h）2+2h（a≠0，h≥1），其顶点为A，且与y轴交于点B（0，1），将抛物线C1沿直线y＝﹣1翻折，得到抛物线C2． （1）当h＝1时， ①求抛物线C1的解析式，并写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线C1上，延长AD至E使得AE＝2AD，若点E落在抛物线C2上，求D的坐标． （2）过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，求h的值． 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标； ②求出翻折后的抛物线顶点坐标为（1，﹣4），则翻折后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，设D（d，﹣d2+2d+1），可证明点D为AE的中点，则E（2d﹣1，﹣2d2+4d），代入y＝x2﹣2x﹣3，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得M（h，1），则，，同理可得抛物线C2的解析式为：y＝﹣a（x﹣h）2﹣2h﹣2，则，再由a（0﹣h2）+2h＝1，联立求解即可． 【解答】解：（1）①当h＝1时，抛物线C1的解析式为y＝a（x﹣1）2+2， 把B（0，1）代入y＝a（x﹣1）2+2得，1＝a（0﹣1）2+2， 解得a＝﹣1， ∴抛物线C1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1， ∴顶点A的坐标为（1，2）； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为（1，2）， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为（1，﹣4）， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3， 设D（d，﹣d2+2d+1）， ∵AE＝2AD， ∴点D为AE的中点， ∴，， ∴xE＝2d﹣1，， ∴E（2d﹣1，﹣2d2+4d）， ∵E（2d﹣1，﹣2d2+4d）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象上， ∴﹣2d2+4d＝（2d﹣1）2﹣2（2d﹣1）﹣3， 解得d＝0或d＝2， 当d＝2时，﹣d2+2d+1＝﹣22+2×2+1＝1， 当d＝0时，﹣d2+2d+1＝0+0+1＝1， ∴若点E落在抛物线C2上，则点D的坐标为（0，1）或（2，1）； （2）∵MB⊥y轴交对称轴x＝h于点M， ∴M（h，1）， ∴MB＝h， ∵， ∴， 同理可得抛物线C2的解析式为：y＝﹣a（x﹣h）2﹣2h﹣2， ∵点Q在抛物线C2上， ∴，即﹣3ah2﹣2h﹣3＝0①， 又点B（0，1）在抛物线C1上， ∴a（0﹣h）2+2h＝1，即ah2＝1﹣2h②， 把②代入①得3（1﹣2h）＝﹣2h﹣3， 解得：． ∴过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，则得． 【点评】本题考查二次函数综合，二次函数的图象与性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 8】（2026•舒城县一模）已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的表达式和点B的坐标； （2）点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，直线PB与y轴相交于点D，作PM⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x+3 于点N． （Ⅰ）求证：CD＝OM； （Ⅱ）若要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值． 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式；再求出y＝0时，二次函数的自变量的值即可得点B的坐标； （2）（Ⅰ）先求出OM的长，再求出直线PB的解析式，则可得点D的坐标，然后求出CD的长即可； （Ⅱ）先求出PN的长，再求出PN∥CD，则只需PN＝CD，建立方程，解方程即可． 【解答】（1）解：直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（3，0），C（0，3）， 抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B．将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）； （2）（Ⅰ）证明：由题意，画出图形如下： ∵P（m，n）（m＞0），PM⊥x轴于点M， ∴OM＝m， 将点P（m，n）（m＞0）代入y＝﹣x2+2x+3得：n＝﹣m2+2m+3， ∴P（m，﹣m2+2m+3）， 设直线PB的解析式为y＝k0x+b0（k0≠0）， 将点P（m，﹣m2+2m+3），B（﹣1，0）代入得： ， 解得：， ∴直线PB的解析式为y＝（3﹣m）x+3﹣m， 将x＝0代入y＝（3﹣m）x+3﹣m得：y＝3﹣m， ∴D（0，3﹣m）， ∵C（0，3）， ∴CD＝3﹣（3﹣m）＝m， ∴CD＝OM； （Ⅱ）解：将x＝m代入y＝﹣x+3得：y＝3﹣m， ∴N（m，3﹣m）， ∵P（m，﹣m2+2m+3）， ∴PN＝|﹣m2+2m+3﹣（3﹣m）|＝|m2﹣3m|， ∵PN⊥x轴，CD⊥x轴， ∴PN∥CD， ∴要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，则只需PN＝CD，即|m2﹣3m|＝m， 解得m＝4或m＝0（不符合题意，舍去）或m＝2， 综上，m的值为2或4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业 9】（2025•沈阳三模）平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，NC的长为d． ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）根据题意求出b，即可解答； （2）根据题意求出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设M（m，﹣m2+2m+3），作MH⊥x轴于点H，根据∠MAB＝∠ACO，得到，列式求解即可； （3）①根据题意表示出新抛物线L的表达式，进而求出D； ②根据①画出d关与n的大致图象如图，分类讨论，列出不等式组求解即可解答． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）， ∴0＝﹣1﹣b+3， 解得b＝2， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 令y＝0，0＝﹣（x﹣1）2+4， 解得x＝﹣1或 x＝3， 令x＝0，得y＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， 设M（m，﹣m2+2m+3）， 作MH⊥x轴于点H，如图， ∵∠MAB＝∠ACO， ∴tan∠MAB＝tan∠ACO， 即， ∴， 解得或m＝﹣1（舍去）， ∴点M的横坐标为； （3）①∵将抛物线沿水平方向平移，顶点的纵坐标不变，为4， ∴新抛物线L的表达式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4， ∴N（0，﹣n2+4）， ∴d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|， ∴． ②n的取值范围为或． 由①得d，画出大致图象如图， ∵d随着n的增大而增大， ∴﹣1≤n≤0或n＞1， △ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整数点（不含边界）， 当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时， 当x＝0时，yL＞2， 当x＝1时，yL≤1， ∴， ∴， ∵﹣1≤n≤0或n＞1， ∴； 当W内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时， 当x＝0时，1＜yL≤2， 当x＝1时，yL＞1， ∴， ∴， ∴﹣1≤n≤0或n＞1， ∴； 当W内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去； 综上，n的取值范围为﹣1≤n≤1或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，二次函数与几何变换，掌握二次函数的性质，二次函数与几何变换是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 二次函数综合及应用 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能根据实际问题建立二次函数模型 · 会用二次函数求利润最大、面积最大等最值问题 · 掌握抛物线型实际问题（喷水、拱桥、投篮等） · 能解决二次函数与几何综合题 · 培养数形结合与建模能力 📚 知识梳理 ☆ 1.实际问题列函数关系式 利润问题：利润=单件利润×销售量 面积问题：用长和宽表示面积 抛物线型问题：建立坐标系求解析式 注意自变量取值范围受实际限制 概念辨析例题：进价2元，售价13元时卖50件，每降1元多卖10件，求利润y与售价x关系 解析：单件利润(x-2)，销量50+10(13-x)，y=(x-2)[50+10(13-x)]=-10x2+200x-360 ☆ 2.最值问题 化为顶点式，在顶点处取最值 注意自变量取值范围是否包含顶点 若顶点在取值范围外，最值在端点 结合实际意义取舍 概念辨析例题：商品进价9元，10元时卖100件，每涨1元少卖10件，求最大利润 解析：y=(10+x-9)(100-10x)=-10x2+90x+1000，顶点x=4.5取最大 ☆ 3.抛物线型实际问题 喷水、拱桥、投篮、隧道等：以顶点或原点建系 用待定系数法求解析式 求最大高度、水平距离、宽度等 注意坐标系选取使计算简化 概念辨析例题：喷水池水柱在水平距中心1m处最高3m，落地距中心3m，求水管高 解析：顶点(1,3)，设y=a(x-1)2+3，代入(3,0)得a=-；x=0时y= ☆ 4.二次函数与几何综合 求抛物线与坐标轴交点、顶点 结合三角形、四边形性质 动点问题用t表示线段列函数 存在性问题先假设再验证 概念辨析例题：抛物线y=-x2+bx+3过A(-1,0)，求B点坐标与解析式 解析：代入A(-1,0)得-1-b+3=0，b=2；令y=0解得x=-1或3 📋 知识总结表 问题类型 建模方法 注意 利润最大 利润=单件利润×销量 取值范围 面积最大 长×宽表示面积 自变量受限 喷水/拱桥 顶点建系求解析式 选好原点 投篮/隧道 建立坐标系 注意单位 几何综合 交点+顶点+图形 存在性验证 最值位置 顶点或端点 看取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】根据实际问题列二次函数关系式（第1-12题） · 利润、面积、运动等问题先列等量关系 · 化为一般式y=ax2+bx+c · 写清自变量取值范围 · 注意单位统一 1．（2025秋•西和县期末）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[300+3（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[300+3（x﹣99）] C．w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[300﹣3（99﹣x）] 2．（2025秋•金湾区期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（　　） A．y＝1500（1+x）2 B．y＝1500+（1﹣x）2 C．y＝（1+x）2+1500 D．y＝x2+1500 3．（2025秋•田阳区期末）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x+10）（200﹣6x） B．y＝（x+40）（200﹣12x） C．y＝（x﹣30）（200﹣6x） D．y＝（x+10）（200﹣12x） 4．（2025秋•城关区期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤．设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（10+x）（50﹣10x） B．y＝（10﹣x）（50+10x） C．y＝（10﹣x）（50﹣10x） D．y＝（10+x）（50+10x） 5．（2025秋•迁安市期末）家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．30° B．35° C．38° D．46° 6．（2026•宜兴市一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“2型闭函数”； ②若一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”，则a＝1； ③反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝2024； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）是“k型闭函数”．则k的取值范围是k≥1.5． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 7．（2025秋•浙江期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程s（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为s＝at2．则表格中m的值为（　　） t（秒） 0 1 2 3 4 … s（米） 0 20 m … A．40 B．50 C．80 D．160 8．（2024秋•喀什地区期末）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x，那么y与x的函数关系是_________________ ． 9．（2025秋•长丰县期末）一台机器原价为60万元，如果每年价格的下降率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为_______________ ． 10．（2025•重庆模拟）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为________________ ． 【考点2】二次函数的应用（第13-31题） · 最值问题用顶点式求 · 抛物线型问题建坐标系求解析式 · 实际答案要符合意义 · 双解或端点要取舍 11．（2025秋•沈丘县期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 12．（2025秋•礼县期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 13．（2025秋•河间市期中）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为y＝﹣0.6x2；乙：点C到AD的距离为1.8m．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 14．（2026•垦利区二模）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价_____ 元，才能使每日利润最大． 15．（2024秋•东城区校级期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），运动2秒时，小球的高度是_______ 米． 16．（2026•甘肃）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流_______ 击中昆虫．（填“能”或“不能”） 17．（2023秋•江都区月考）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3，2）．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为 _________________ ．（结果保留根号） 18．（2025秋•浑南区期末）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为________ m． 19．（2025•定西一模）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．则小明此次试投的成绩（线段CO的长度）是 ____________________ 米． 20．（2025秋•镇原县期末）如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝_______ 米． 21．（2026•河南模拟）如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）写出C1和C2的解析式：____________________ ； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是0.48dm，则此时水面的直径为________ dm； （3）如果将一个底面直径为3.6dm，高度为2.8dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 22．（2026•兰州校级一模）一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高1.82m，在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 23．（2026•碑林区校级四模）如图所示，取某一位置的水平线为x轴，建立了平面坐标系后，小山坡AB可以近似看成抛物线l1：y．小明在离A点2m的楼顶C抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点D处，测得点D离y轴的距离为8m． （1）求点D的坐标； （2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 24．（2026•周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 25．（2025春•鼓楼区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱AC和BD组成，立柱高为1m，顶棚最高点距离地面AB是4m，AB的长为20m． 素材2 现打算在AB的中点F处安装一款自动喷灌器EF，从喷水口E喷出的水流可以看成抛物线，其形状与y＝﹣0.04x2的图象相同，EF＝3m，此时水流刚好喷到立柱的端点D处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问EF处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，最高点距离地面多少米？ 26．（2026•英山县校级自主招生）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 27．（2026•龙湖区一模）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 28．（2025•邯山区校级一模）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是； ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E横坐标xE的取值范围 __________ ． 【考点3】二次函数综合题（第32-38题） · 求解析式、交点、顶点 · 结合三角形/四边形性质 · 动点用t表示线段 · 存在性问题先假设后验证 29．（2026•东营区校级三模）已知如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使得△CAN的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由； （3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM和△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2026春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）当a＝1时， ①若该函数图象的对称轴为直线x＝2，且过点（1，4），求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点（1，m），（3，n），（5，p）且满足m﹣n＝4，请比较n与p的大小． 31．（2026•弋江区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线对称轴为直线x＝a，且经过点A（2a，0）． （1）用含a的式子表示b，并求c的值； （2）已知抛物线，过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线y1于点M，交抛物线y2于点N，点H为线段MN的中点（若M，N重合，取点H为M）． ①若a＝2，t＝1，求H点坐标； ②已知点P从点B（a，0）运动到C（3a，0）的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围． 32．（2026•历下区一模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G． ①如图1，连结AC，CG，AG，求△ACG的面积； ②如图2，设新函数的图象M与x轴交于点E和F，连结CE，CB，CF，若∠BCE＝∠BCF，求新函数的表达式． 33．（2026•南山区三模）【定义】 我们将二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c均不为0且a≠c）与二次函数y＝cx2+bx+a称之为“互反抛物线”．例如：二次函数y＝3x2+4x+5与二次函数y＝5x2+4x+3就是一组“互反抛物线”． （1）已知二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3，其“互反抛物线”记作C2．若C1与C2交于y轴上的交点M和N且MN＝2，求a的值； （2）在（1）的条件下，已知（1，0）是二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3上的一点，求C1、C2的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值． （3）已知二次函数C1：y＝x2+bx+c（其中，b、c均不为0且c≠1）的顶点为P，其“互反抛物线”的顶点为Q，C1和C2的函数图象交于点M（1，0），如图所示，当∠PMQ＝90°时，请直接写出c的值． 34．（2026•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是直线AB上一点（不与点A重合），且AB＝BC，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形OBCD是梯形，求梯形OBCD的面积； （3）点P、Q都在第三象限，其中点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，如果△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应，求点Q的坐标． 35．（2025•仪征市三模）抛物线的与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），顶点为C． （1）顶点C坐标为___________ ； （2）如图，若点D的坐标是（0，4），连接AD． ①把线段AD沿一定的方向平移，平移后，点A的对应点为E，点D的对应点为F，若点E，点F均在抛物线L1上，求点E的坐标； ②将抛物线L1沿射线AD方向平移得到抛物线L2，且抛物线L2经过点D．请问在抛物线L2上是否存在点G，使得∠GAD＝45°﹣∠ADO，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 ____________________ ． 【练习 2】（2026春•新昌县期末）刘徽在《九章算术注》的“开立圆术”中提出：对于正整数v，若球体体积公式（d为直径）存在误差，可用“以盈补虚”法修正．其思想可推广至求二次根式的近似值：对于正整数q，若q＝m2+n（m为正整数，n为非零整数且|n|最小），则．用此方法计算的近似值为__________ （结果保留两位小数）． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 【作业 2】（2023秋•双阳区期末）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【作业 3】（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m． 【作业 4】（2025•武都区校级模拟）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 ____________________ ． 【作业 5】（2026•陈仓区模拟）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD组成，矩形ABCD的边BC＝4m，CD＝1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形FGMN的边FN、MN、MG为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形ABCD的顶点B为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长； （3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离），求此时BF的取值范围． 【作业 6】（2026•攀枝花模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【作业 7】（2026•松江区校级模拟）已知抛物线C1：y＝a（x﹣h）2+2h（a≠0，h≥1），其顶点为A，且与y轴交于点B（0，1），将抛物线C1沿直线y＝﹣1翻折，得到抛物线C2． （1）当h＝1时， ①求抛物线C1的解析式，并写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线C1上，延长AD至E使得AE＝2AD，若点E落在抛物线C2上，求D的坐标． （2）过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，求h的值． 【作业 8】（2026•舒城县一模）已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的表达式和点B的坐标； （2）点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，直线PB与y轴相交于点D，作PM⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x+3 于点N． （Ⅰ）求证：CD＝OM； （Ⅱ）若要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值． 【作业 9】（2025•沈阳三模）平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，NC的长为d． ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 复习建议 · 实际问题先建函数模型，注意自变量取值范围 · 最值问题用顶点式，注意顶点是否在范围内 · 喷水、拱桥、投篮题选好坐标系使计算简化 · 几何综合先求解析式、交点、顶点，再结合图形 · 存在性问题先假设成立，再列方程验证 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $