精品解析：贵州毕节市部分校2027届高三9月素养训练数学试卷

高三数学素养训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线：（）的渐近线方程为，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 3. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象关于点对称，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，且，则的最小值为（ ） A. 11 B. 8 C. 6 D. 1 6. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 7. 若函数的极大值点为负数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，半径为4的大球内有3个小球，每个小球球面均过大球球心，且与大球球面有且仅有一个公共点，以3个小球球心为顶点的正三角形的中心为大球球心．若为小球两两相交部分（图中线条阴影部分）的体积，为大球内、小球外区域（图中纯色阴影部分）的体积，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据为，，，，，，，则该组数据的（ ） A. 极差为8 B. 众数为6 C. 中位数为3 D. 平均数大于3 10. 已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则直线的斜率为0 C. 若，则的离心率的取值范围为 D. 若，则，，，四点共圆 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. 为等腰三角形 B. 为钝角三角形 C. 的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则________． 13. 已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 14. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复数字的四位数，其千位数、百位数、十位数、个位数分别为，，，，若为偶数，则不同的四位数共有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． （1）若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； （2）若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与期望． 17. 在等比数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：． 18. 已知动点到直线的距离为，到原点的距离为，且．记点的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）已知直线与交于，两点，过，两点分别作的切线，，且，交于点． ①求在轴上的截距． ②若为的焦点，判断是否是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数（）． （1）当时，证明：的导函数是增函数． （2）证明：． （3）证明：对任意的，，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学素养训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为全集，集合，则. 2. 若双曲线：（）的渐近线方程为，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】双曲线：（），得双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 所以，，所以，. 3. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模长公式和运算法则计算即可. 【详解】因为， 所以共轭复数为. 4. 若函数的图象关于点对称，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的性质求解即可. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以， 所以， 所以正数的最小值为. 5. 已知向量，，且，则的最小值为（ ） A. 11 B. 8 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 6. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 【答案】B 【解析】 【详解】设训练个单位数据的时间为​，训练个单位数据的时间为​， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 7. 若函数的极大值点为负数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，应用导数研究函数的极值点，结合极大值点为负数求参数范围. 【详解】对函数求导 令，得，且是开口向上的二次函数， 当，即时， 在附近的左侧为正，右侧为负，是极大值点， 在附近的左侧为负，右侧为正，是极小值点， 由极大值点为负数，即，得，故此时； 当，即 时， 在附近的左侧为正，右侧为负，是极大值点， 在附近的左侧为负，右侧为正，是极小值点， 显然不满足题意，舍去； 当，即时，， 函数在定义域上单调递增，没有极大值点，舍去； 综上，的取值范围为. 8. 如图，半径为4的大球内有3个小球，每个小球球面均过大球球心，且与大球球面有且仅有一个公共点，以3个小球球心为顶点的正三角形的中心为大球球心．若为小球两两相交部分（图中线条阴影部分）的体积，为大球内、小球外区域（图中纯色阴影部分）的体积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用球的体积公式，割补法求解. 【详解】设大球的半径为，小球半径为， 由题3个小球球心为顶点的正三角形的中心为大球球心． 根据球的对称性可知，则， 大球的体积：，一个小球的体积：， 由图可知， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据为，，，，，，，则该组数据的（ ） A. 极差为8 B. 众数为6 C. 中位数为3 D. 平均数大于3 【答案】BC 【解析】 【详解】极差为，A错误； 众数为6，B正确； 将所有数按从小到大排列，故中位数为3，C正确； 平均数，D错误. 10. 已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则直线的斜率为0 C. 若，则的离心率的取值范围为 D. 若，则，，，四点共圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆的性质、中点坐标公式以及相关的几何关系进行推理和计算. 【详解】在A选项中，短轴端点到原点距离为，长轴端点到原点距离为， 故，设，因为关于原点对称，则， 已知，,分别为线段，的中点， 根据中点坐标公式可得：，， 则， 因为在椭圆上，所以，即， 则，其中， 因为，则当时，取得最小值， 当时，取得最大值，所以的取值范围为，A正确， 在B选项中，若，则，即， 因为，所以，此时直线的斜率不存在，B错误， 在C选项中，若，则，即， 又因为，所以，可得， 因为，所以，即， 由得，得，又因为， 所以离心率，C正确， 在D选项中，若，则， 若以为直径圆，则，，圆心，半径， 圆方程为，化简可得：， 将代入可得：， 即在圆上，同理，将代入可得： ， 即在圆上，而，也在圆上，所以，，，四点共圆，D正确. 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. 为等腰三角形 B. 为钝角三角形 C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：结合三角恒等变换和三角函数有界性，式子取定值6时需各项同时取最大值，可推出，即，能够判定该三角形为等腰三角形，A选项正确；选项B：根据条件算出，可知角A为锐角， B选项错误；选项C：由的等腰三角形性质和，代入三角形面积公式推导运算，可验证该选项的面积结论成立，C选项正确；选项D：利用等腰三角形边角关系，结合半角公式求出底角正弦值，再通过正弦定理换算边长比例，可证明该边长比例结论成立，D选项正确. 【详解】由积化和差公式得, 所以原式变形为， 由辅助角公式得， 又，且，所以只能同时取等号， 因此，， 因为、，所以，则，得， 即为等腰三角形，A 正确； 由，得，所以为锐角，B 错误； 由，得，所以的面积，C 正确； 由，得，因为为锐角，所以为锐角， 所以， 由正弦定理得，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 又当时，，令，所以， 所以，所以. 13. 已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设出圆心的坐标，再由弦长公式计算可得半径为4. 【详解】由圆心在直线上可设，且圆的半径设为； 又圆与轴相切，所以， 则被轴截得的弦长为，解得, 所以圆的半径为. 14. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复数字的四位数，其千位数、百位数、十位数、个位数分别为，，，，若为偶数，则不同的四位数共有________个． 【答案】144 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，利用排列组合公式求解即可. 【详解】这6个数字中偶数为，奇数为； 第一类，若为奇数，则为奇数，即都为奇数，奇、偶数各一个， 共有个； 第二类，若为偶数，则为偶数，即至少有一个偶数，同为奇数或同为偶数， 若同为偶数，则一个偶数，一个奇数，共有个； 若同为奇数，则必为偶数，共有个， 所以第二类共有个， 所以根据分类加法计数原理，共有个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，． ，分别为，的中点，，，，， ，， ∴四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，． 设平面的法向量为，则， 取，得，，得． 故直线与平面所成角的正弦值为． 16. 已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． （1）若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； （2）若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由间接法代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，写出的可能取值，然后分别求得其对应的概率，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 由间接法可得所求概率为． 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 的分布列为 0 1 2 3 故． 17. 在等比数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）或． （2）证明：因为，所以，所以， 由题意得，则， ，① ，② 得， 得． 因为，所以． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出公比和首项，代入等比数列通项公式即可. （2）根据题意，求出，再根据错位相减的方法求出，进而证明. 【小问1详解】 设的公比为，由，得，因为，所以， 因为，所以或， 故或． 【小问2详解】 略 18. 已知动点到直线的距离为，到原点的距离为，且．记点的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）已知直线与交于，两点，过，两点分别作的切线，，且，交于点． ①求在轴上的截距． ②若为的焦点，判断是否是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①2；②是定值2，理由如下： 如下图： （方法一）是定值2，理由如下： 设与轴交于点．当时，不妨假设，， 易得，得，则， 所以． 当时，不妨假设，过点的切线与轴交于点，过点的切线与轴交于点． 由①可知：，令，得，则， 同理可得， 所以，，得，． 因为，， ， 所以． 故． （方法二）是定值2，理由如下： 由①得，， ，，，， 所以， 由①得，则，， ， ， ， ， 所以． 又，，，所以，故． 【解析】 【分析】（1）设，由得，所以的方程为； （2）①设的方程为，利用导数的几何意义分别求出切线，的方程，求出点坐标表达式，并利用韦达定理可求出在轴上的截距；②（方法一）对和两种情况分类讨论，由线段相等以及角的关系可得，故． （方法二）利用韦达定理以及向量的夹角公式求出两角的余弦值的表达式，再由二倍角公式计算可得. 【小问1详解】 设，则，， 由题意得， 得，所以的方程为． 【小问2详解】 ①易得的斜率存在，设：，，． 由，得，因为函数的导数为，所以的斜率为， 所以的方程为； 同理可得：； 由得 由得，得 所以，得． 当时，， 所以在轴上的截距为2． ②略 19. 已知函数（）． （1）当时，证明：的导函数是增函数． （2）证明：． （3）证明：对任意的，，有． 【答案】（1）当时，，， 的导函数， 所以的导函数是增函数． （2）． 令，则，所以是增函数． ，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ． 因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以． （3）令， 则． 因为，所以．因为在上单调递增，所以，则，在上单调递增． 因为，所以，即． 因为，所以． 【解析】 【分析】（1）使用导函数的正负证明函数单调性； （2）使用导数计算函数的最小值，证明的最小值大于； （3）构造函数，使用导数分析函数的单调性求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $