专题：圆锥曲线的方程 提优专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：圆锥曲线的方程-2027届高三数学上学期一轮提优专项 一、单选题 1．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（   ） A．至多一个 B．2 C．1 D．0 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 7．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 8．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题 9．已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（   ） A．2 B． C．6 D．8 10．已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：（），设，，点为抛物线上的动点（异于顶点），连接并延长交抛物线于点，连接，并延长交抛物线于点，，连接，，，设，的斜率分别为，，下列说法正确的是（     ）    A．若，，，则 B．若，则的坐标为 C．若为抛物线的焦点，则的最小值为 D． 三、填空题 12．已知是椭圆的四个顶点与两个焦点中的三个点，且，，，则该椭圆的离心率为________． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为和，由和四个点构成了一个高为，面积为的等腰梯形．则椭圆的方程________．若过点的直线与椭圆交于两点，则面积的最大值是________． 14．若双曲线：的离心率为，为的左支上一点，，分别为的左、右焦点，且，则_______________． 四、解答题 15．已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 16．已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 17．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 18．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足，且两个焦点与短轴的上顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； (3)求的最大值. 19．已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求动点到直线的距离的最大值； (3)设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：圆锥曲线的方程-2027届高三数学上学期一轮提优专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C C A A A AD AD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，即. 2．D 【分析】根据抛物线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 3．B 【分析】根据直线与圆的位置关系性质，结合点到直线距离公式、椭圆内部点的性质进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为直线和圆没有交点， 所以． ， ∴点在椭圆的内部， ∴过点的直线与椭圆的交点有2个. 4．C 【分析】设，，利用椭圆的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可得出，再利用正弦定理得出，结合可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 5．C 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 6．A 【详解】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 7．A 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 8．A 【分析】设两焦半径，由抛物线定义将中点到准线距离转化为焦半径和的一半，再求焦点到中点距离的平方，利用基本不等式消元求比值的最大值. 【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，点到抛物线的准线的距离为， 因为， ， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 9．AD 【详解】由，得，即，所以， 化为， 若焦点在轴上，则，所以，解得； 若焦点在轴上，则，则，解得． 所以或． 10．AD 【分析】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断 选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支，所以存在点； 选项B：直线与一、三象限的曲线的渐近线不平行，故直线与曲线有交点； 选项C：结合图像，可知直线与曲线有两个交点，显然； 选项D：点到直线距离公式求得：，结合点是曲线上在第三象限内的一点，可求得：. 【详解】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断即可. 当，时，曲线：； 当，时，曲线：； 当，时，曲线：（不存在）； 当，时，曲线：. 画出图形如图所示：    对于选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支， 所以存在曲线上的点，使得成立，故选项A正确； 对于选项B：一、三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线有交点，故选项B错误； 对于选项C：设过点的直线：，与曲线有两个交点，显然，故选项C错误； 对于选项D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 即，所以，故选项D正确. 11．ACD 【分析】利用直线与抛物线方程联立，求弦长即可判断A，根据抛物线的性质即可判断BC，利用斜率公式即可判断D. 【详解】选项A．直线，设∴ ∴．∵∴，故A正确； 对于B，若，则E的坐标为，故B错误； 对于C，若E为抛物线的焦点，设MN的倾斜角为则的最小值为，故C正确； 对于D，设则有， 即，故D正确． 12． 【分析】根据三边的长度确定点的位置，再分类讨论a，b，c的值求出离心率 【详解】由题意，因为，即三点不共线，故A，B，C三点组成三角形， 又因，故不是等腰三角形， 故上下顶点不能同时取到，左右顶点不能同时取到，两焦点也不能同时取到， 故只能取一个上下顶点，一个左右顶点，一个左右焦点， 不妨设椭圆的焦点在轴， 如图，三个线段分别为，或， 当三个线段分别为时，为三个当中最小， （1）满足题意； （2），无解； 当三个线段分别为时，， 故，无解； 综上，． 13． 3 【分析】（1）由等腰梯形的高直接得，利用梯形面积公式得到，再结合椭圆关系式联立方程组，解出，写出椭圆标准方程. （2）设过焦点的直线，联立椭圆，由韦达定理求出，代入面积转化为以为底、为高，换元后利用函数单调性求得面积最大值. 【详解】（1）如图： 由条件，得，且，． 又，解得． ∴椭圆的方程为． （2）显然，直线的斜率不能为0，如图： 设直线的方程为，， 联立方程，得消去得，，∴， ． ． 令，设， 易知函数在上单调递增， ∴当，即时，，此时取得最大值，为3． 14．6 【详解】由题可知，的标准方程为，离心率，解得， 由双曲线的定义可得，与联立，解得. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）先求出双曲线的方程，再与直线联立，结合韦达定理求解即可； （2）由，可得，分别代入双曲线方程，求出点的坐标，再将点的坐标代入直线，求解即可. 【详解】（1）由题意可知在双曲线中，，解得， 又因为，解得， 所以， 所以双曲线的方程为， 所以右焦点， 则直线方程为， ，得， 设且， 由韦达定理可得， 所以，即， 解得或； （2）因为， 即， 所以， 从而得， 又因为，， 所以， 整理得①， 又因为②， 由①②可得，， 即或， 将点代入直线方程， 得； 将点代入直线方程， 得； 综上，. 16．(1) (2)或. 【分析】（1）由和即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在，结合四边形的面积求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，，所以， 所以， 即椭圆方程为. （2） 当直线斜率不存在时，方程为，联立椭圆方程， 可得：，， 四边形的面积为，舍去； 当直线斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得：， ，， 所以四边形的面积为：， 即，， 即： ， 即：， 即：， 即：， 即：， 解得，即， 所以直线的方程为：或. 17．(1) (2)设，， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 因为直线与关于对称，所以，即， 所以． （提示：的证明可用三种方法： 法1：到角公式，化简得； 法2：OA与OB的倾斜角，满足，即， 则，得； 法3：设关于直线的对称点为，则， 则，即，得．） 法1.设，，由题意得，且， 则直线的斜率存在，从而可设方程为，显然，， 将与联立消去，得，， 由韦达定理知，可得， 则方程为，可知直线恒过定点． 法2.由前面已得，直线的斜率为， 则直线的方程为， 化简． 又，所以， 则直线恒过定点． 法3.因为直线与关于对称，所以． 设直线的斜率为，则直线OB的斜率为． 直线，与联立， 解得或，则． 同理，直线，与联立， 解得或，则． 直线的斜率为， 于是直线的方程为， 化简得． 则直线AB恒过定点． 【分析】（1）法1：由抛物线定义可知从而得到，设点，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，结合二次函数的图像和性质得到最小值.      法2：利用导数的几何意义求出与直线平行且与抛物线相切的切线方程，求出切线和直线的距离就是所求的最小值. （2）设，，由于直线与关于对称得到，求得（提示：的证明可用三种方法．法1：利用到角公式求解；法2：与的倾斜角，满足，即，利用三角函数的公式求解；法3：设关于直线的对称点为，则，则，从而得解．）法1.利用韦达定理得到，得到的值，从而得到，直线恒过的定点．法2.求出直线的斜率为，利用点斜式求出直线的方程，结合得到直线恒过的定点．法3.由于直线与关于对称得到，直线与联立求出．同理求出，求出直线的斜率，得到直线的方程，通过化简得到直线恒过的定点． 【详解】（1）法1：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 设点，则点P到直线l的距离为 ， 当且仅当时取等号． 则动点P到直线的最小距离为． 法2：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 抛物线，其切线斜率为，要与直线平行， 则，，．切点为，切线为． 直线与的距离． 则最小距离为． （2）略 18．(1) (2)设直线， 联立曲线方程，消去可得， 整理可得， 显然， 设， 则， 直线，直线， 两直线方程联立可得， 代入可得， 化简可得， 因为，代入上式可得， 即， 因为不可能恒满足，所以， 所以点在定直线上. (3) 【分析】（1）根据椭圆的性质结合题意可得； （2）设直线方程，直曲联立得到韦达定理，利用点斜式得到，方程，联立解方程组再结合韦达定理化简可得； （3）由斜率关系和两直线夹角公式结合基本不等式和正切函数的性质可得. 【详解】（1）由可得， 因为两个焦点与短轴的上顶点构成等边三角形， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）略. （3）设，， 因为，所以， 设， 由两直线夹角公式， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 因为，且在上单调递增， 所以，即的最大值为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用角为参数来表达动点坐标，消参即可得椭圆方程； （2）再利用椭圆的参数方程来表示椭圆上的动点坐标，用点到直线的距离公式即可求最大值； （3）利用动直线方程去求解交点坐标的关系，然后借助，可求出动直线的参数关系式， 从而可研究动直线过定点，最后再研究垂足的轨迹是圆，即可求最小值. 【详解】（1） 设为，，设， 由题意，有，即，平方后相加，可得， 即轨迹的方程为. （2）由（1）知，设，其中， 设动点到直线的距离为，， 故动点到直线的距离的最大值为. （3） 由对称性可知直线的斜率不为0，故可设直线， 联立直线与椭圆， ， 设，， 则 ，① ，，② 又，所以， 令，得点横坐标，同理可得点横坐标， 故 ， 将，代入上式， 整理可得：， 再将② 式代入得 ， （i）若，则直线，恒过，不合题意； （ii）若，则，恒过，符合题意， 故直线恒过，且与椭圆始终有两个交点， 又，，垂足为， 所以点的轨迹是以为直径的半圆（不含点，，在直线下方部分）， 且圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取到最小值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $