3.1 相似多边形 主干题型巩固2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形 主干题型巩固2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 2．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 3．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 4．如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 5．若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   7．如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长为，宽为，若图中b的长度为，为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似，则图中a的长度应为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积 二、填空题 9．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是___________千米． 10．“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是________事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 11．如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 12．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为_________，AE的最小值为________． 三、解答题 13．（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 14．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 15．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 16．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C A B D C 1．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段的判断．判断一组线段是否成比例，可将其按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则这四条线段成比例；反之，则不成比例，根据成比例线段的概念判断各选项即可． 【详解】解：A、选项中，，∴A选项的线段不成比例； B、，∴B选项的线段不成比例； C、，∴C选项的线段不成比例； D、，∴D选项的线段成比例； 故选：D． 2．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得：． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】相似多边形、相似图形 【分析】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键．根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，此项不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，此项符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，此项不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，此项不符合题意； 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形四边形，且相似比， ∴面积比为：， 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 6．【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似图形的性质．根据相似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似， ∴， 解得：， 即图中a的长度应为． 故选：D． 8．【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设，，的面积为，根据，推出，再由相似多边形的性质得到，即，则，据此证明，再由可以推出，据此可得答案． 【详解】解：设，，的面积为， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴已知的面积，则一定能求出矩形的面积， 故选：C． 9．【答案】17 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． 10．【答案】随机 【知识点】相似多边形、事件的分类 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，随机事件，根据相似多边形的性质及随机事件的定义解答即可． 【详解】解：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形， ∴任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形不一定相似， 故“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是随机事件． 故答案为：随机． 11．【答案】/120度 【知识点】等边三角形的性质、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】 2 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、半圆（直径）所对的圆周角是直角、成比例线段 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求CG；当AC=BC时，可知，代入数据即可求解． 圆周角定理可知， 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵G是EF的中点， ∴CG=． 当AC=BC时，此时AE=BF最小，如图， 则CE=CF，AC=BC= ∴ ∴EF∥AB， ∴ 即 解得CE=， ∴AE=， 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握这些定理和性质． 13．【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【知识点】相似图形 【分析】（1）将原图形的每个顶点沿格点方向，使得到对应顶点的距离变为原来的2倍，然后依次连接这些新顶点，即可得到放大2倍后的图形． （2）在左边格点图中画一个直角梯形，然后在右边格点图中画出一个边长比例不同但形状相同的直角梯形，使其与左边图形相似． 【详解】（1）解：如图所示，图①是把左边的图形放大到原来的2倍的图形． （2）解：可画出两个相似梯形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查图形的放大与相似图形的绘制，掌握图形放大时各边按比例扩大，相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键． 14．【答案】(1) (2)，，． 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 15．【答案】相似， 理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、相似多边形 【分析】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 【详解】略 16．【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似形的性质、矩形的性质、折叠的性质等知识点，掌握根据相似图形面积比是相似比的平方是解题的关键． 根据矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值即可． 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 答：AB与AD的比值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $