精品解析：北京市第一零九中学2026-2027学年高一第一学期九月月考数学试卷

2026-2027一零九中学高一第一学期九月月考数学试卷 2026.9 一、选择题，共15题，每题2分 1. 如果是一元二次方程的一个根，那么的值和另一个根的值是（ ） A. 3和1 B. -3和1 C. 3和-1 D. -3和-1 【答案】B 【解析】 【详解】将代入方程得，解得， 原方程为，解得方程的两根为，， 因此的值为，另一根为. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 近似值的全体构成一个集合 B. C. 在自然数集中，若，则 D. 若，则且 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，“的近似值”没有明确的精度标准，不能构成集合，故A错误； 对于B，集合，集合， 显然两集合不相等，故B错误；  对于C，自然数的相反数不一定是自然数，如，但，故C错误； 对于D，的定义是“对任意，都有”，其否定即为“且”， 也就是的等价表述，故D正确. 4. 含有三个实数的集合，若且，求的值（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】对于，由题意得， 若，则，解得，此时， 而，可得或， 当时，不符合互异性，排除， 当，解得（舍去）或，此时，符合题意， 得到. 5. “”是“关于的方程有两个负根”的条件（ ） A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【详解】若的方程有两个负根，则，故. 故关于的方程有两个负根的等价条件为， 而为的真子集， 故“”是“关于的方程有两个负根”的必要不充分条件. 6. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则.②若，则方程一定有解.③若，则.④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理即可判断①；由可得，即可判断②；由已知条件可知，为方程的两个解，不能确定是否相等，从而判断③；先根据已知条件可得，再由判别式可得方程有两个不相等实数解，最后由韦达定理即可判断④. 【详解】对于①，由题可知为方程的两个解，则，所以， 因此，①正确； 对于②，由，则，所以为方程的解，因此方程一定有解，②正确； 对于③，由，则为方程的两个解，而可以不等于，③错误； 对于④，由，则，又，则，即与异号，所以，因此，所以， 则方程有两个不相等的实数解，又，所以方程的两个实数解一定互为相反数，④正确. 7. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为4和5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则方程真的根是（ ） A. 3和6 B. 3和 C. 和6 D. 和 【答案】A 【解析】 【详解】设甲乙所解方程为， 由题设有，故， 故方程为，故， 故或. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】选项：由可知分母，根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数， 不等号方向不变，可得，正确； 选项：计算两个分式的差：， 由，可得，因此差为正，即，错误； 选项：取，满足， 此时，即，不满足错误， 选项：取，满足， 此时，即，不满足，错误. 9. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置及与轴交点位置确定的符号，进而判断一次函数与反比例函数图象的特征. 【详解】由二次函数的图象可知，抛物线开口向下，所以． 又因为抛物线的对称轴在轴右侧，所以， 所以， 由于抛物线与轴的交点在轴上方，所以， 所以对于一次函数，因为， 所以该函数图象经过第一、二、四象限， 对于反比例函数， 因为， 所以该函数图象位于第一、三象限， 观察各选项，只有C选项符合题意． 故C正确． 10. 若集合内的元素个数为2027，则（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 【答案】C 【解析】 【分析】求解绝对值不等式得到整数的取值范围，根据元素个数列方程求解的值. 【详解】当时，则绝对值不等式无解，此时，元素个数为，与题意中元素个数为矛盾，舍去； 当时，解，得， 又，故集合的元素为从到的所有连续整数，且. 令，解得，满足且，符合条件. 综上，. 11. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对参数分、、三类讨论，结合一次不等式、二次不等式有解的条件分别求取值范围，最终取并集即可得到结果. 【详解】当时，不等式化为，解得，存在解，符合题意； 当时，二次函数开口向上，必然存在使得，故符合题意； 当时，二次函数开口向下，若不等式有解，则需，解得， 又，所以. 综上，的取值范围为. 12. “恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，其中 故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，D选项满足题意． 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 14. 已知命题，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，解得，则， 因为是的必要不充分条件，所以，解得，故B正确. 15. “”是“命题为假命题”的（ ）条件 A. 既不充分也不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 充分不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与存在命题之间的关系、一元二次不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】因为命题，为假命题， 所以该命题的否定为真命题，即，为真命题， 当时，，该命题为真命题； 当时，则有，所以， 显然当能推出，但是由不一定能推出， 所以“”是“命题，为假命题”的必要不充分条件. 二、填空题，共5题，每题5分 16. 请在下列空格中填入适当的集合关系符号（等） 1_________，0__________，_________，0_________. 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【详解】 17. 适合条件的集合的个数是________. 【答案】15 【解析】 【分析】适合条件的集合的个数等价为求集合的真子集个数， 从而可求得答案. 【详解】适合条件的集合的个数等价为求集合的真子集个数， 集合的真子集个数为个， 故答案为：15 【点睛】本题考查有限集合的真子集个数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题. 18. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为_________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合即可. 【详解】由题可得，又，则， 所以，由韦恩图可知，图中阴影部分表示的集合为. 19. 对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可． 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 20. 若集合有且仅有三个真子集，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【详解】因为集合有且仅有三个真子集，则该集合包含2个元素， 即方程有两个不同的实数解， 则，解得或， 故的取值范围是. 三、解答题，共4道，21-23题11分，24题12分 21. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1），； （2），或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得； （2）先求集合的补集，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得. 【小问1详解】 因为集合， 又集合， 所以， ． 【小问2详解】 因为全集，，， 所以或，或， 所以或， 或或或. 22. 设命题，；命题， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； （3）若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【小问1详解】 若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 23. 设全集，集合，集合 （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围： （2）若命题“”是真命题，求实数的取值范围 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，根据必要条件的逻辑关系得，分为空集、非空集两种情况列不等式求解； （2）命题为真等价于，先求的范围再取补集即可得. 【小问1详解】 解不等式，得，即，故. 因为“是的必要条件”等价于，分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，要使，则，，解得. 综上所述，当时，或. 因此实数的取值范围为或. 【小问2详解】 命题“”为真命题等价于，先求的取值范围： ① 当时，由（1）知，满足； ② 当时，，若，则或， 即或，解得或. 或 综上，时，的取值范围是或， 取补集得时，的取值范围为. 因此实数的取值范围为. 24. 已知集合为非空数集，定义： ，. （1）若集合，直接写出集合，. （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），； （2）由于集合，，且， 所以中也只包含四个元素， 即， 剩下的， 所以； （3）1347. 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合及； （2）根据两集合相等即可找到，，，的关系； （3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值． 【详解】（1）根据题意，由， 则，； （2）略 （3）设满足题意，其中， 则， ， ， ， ，， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，即， 故的最小值为674，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347. 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027一零九中学高一第一学期九月月考数学试卷 2026.9 一、选择题，共15题，每题2分 1. 如果是一元二次方程的一个根，那么的值和另一个根的值是（ ） A. 3和1 B. -3和1 C. 3和-1 D. -3和-1 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 近似值的全体构成一个集合 B. C. 在自然数集中，若，则 D. 若，则且 4. 含有三个实数的集合，若且，求的值（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 2 5. “”是“关于的方程有两个负根”的条件（ ） A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 6. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则.②若，则方程一定有解.③若，则.④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为4和5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则方程真的根是（ ） A. 3和6 B. 3和 C. 和6 D. 和 8. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若集合内的元素个数为2027，则（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 11. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. “恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知命题，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. “”是“命题为假命题”的（ ）条件 A. 既不充分也不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 充分不必要 二、填空题，共5题，每题5分 16. 请在下列空格中填入适当的集合关系符号（等） 1_________，0__________，_________，0_________. 17. 适合条件的集合的个数是________. 18. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为_________. 19. 对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 20. 若集合有且仅有三个真子集，则的取值范围是__________ 三、解答题，共4道，21-23题11分，24题12分 21. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 22. 设命题，；命题， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； （3）若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 23. 设全集，集合，集合 （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围： （2）若命题“”是真命题，求实数的取值范围 24. 已知集合为非空数集，定义： ，. （1）若集合，直接写出集合，. （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $