精品解析：北京市第五十五中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

北京市第五十五中学2024-2025学年度第一学期 12月阶段调研试卷 高一数学 本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 1. 若集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数存在零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若在处取得最小值，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的减函数，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 记函数在上的最大值是，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 10. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，②． 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（ ） （参考数据：，） A. 6min B. 6.5min C. 7min D. 7.5min 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上） 11. 函数的定义域________. 12. __________． 13. 函数（且）恒过定点________ 14. 已知函数 ①若，则x的值是________ ②若且，则的取值范围是________ 15. 人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论： ①； ②在上是增函数； ③． 其中所有正确结论的序号是_______________． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 17. 已知定义在的函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为指数函数的一部分． （1）写出函数的解析式和值域； （2）求的值． （3）若方程有两个不相等的实根，求实数m的取值范围 18. 已知函数， （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3），直接写出与的大小关系（不用证明）. 19. 已知函数的零点是． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并说明理由； （3）设，若不等式在区间上有解，求的取值范围． 20. 某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元． （1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）； （2）该车若干年后有两种处理方案： ①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出； ②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出． 问：哪一种方案较为合算？并说明理由． 21. 设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. （1）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； （2）若为集合的“相关数”，证明：； （3）给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十五中学2024-2025学年度第一学期 12月阶段调研试卷 高一数学 本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 1. 若集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系可判断A，求出可判断BC；求出可判断D. 【详解】，，，故A错误； ，所以，故B错误，C正确； ，故D错误. 故选：C. 2. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断得解. 【详解】对于A，函数定义域为R，而，不是奇函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，不是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，而，不是奇函数，C不是； 对于D，函数的定义域为R，，则是奇函数，D是. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法可判断A，B；根据函数的单调性可判断C，D. 【详解】因为，所以， 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，因为在上单调递增，且，所以，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，且，则， 所以，故D正确. 故选：D. 4. “”是“函数存在零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】若函数存在零点，则有实数解，即有实数解， 因为，所以，而，由得， 则“”是“函数存在零点”的充分必要条件. 故选：C 5. 若在处取得最小值，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值2，因此. 故选：B 6. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质结合单调性计算即可. 【详解】根据奇函数的性质可知在和上单调递减， 且， 所以的解集为. 故选：B 7. 已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案. 【详解】的定义域为，不符合函数图像，A不满足； 的定义域为，不符合函数图像，B不满足； ，，不符合函数图像，D不满足. 故选：C 8. 已知函数是上的减函数，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数是上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不高于右边一段的最高，据此列不等式求解即可. 【详解】函数是上的减函数, 则，解得 故选：A. 9. 记函数在上的最大值是，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的图象求出，再由的图象可得答案. 【详解】函数的图象如下， 令，解得， 当时，， 当时，， 所以，其图象如下， 则的最小值为. 故选：A. 10. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，②． 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（ ） （参考数据：，） A. 6min B. 6.5min C. 7min D. 7.5min 【答案】B 【解析】 【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得和的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得的值，即可做出判断. 【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6,5.4,4.86,4.37,3.94, 呈现越来越小的变化趋势， 故选用模型①为更符合实际的模型. 由时，，代入，得,解得. ∴. 由时,可得，解得, ∴, 由,得,∴, , 刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min, 故选:B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上） 11. 函数的定义域________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数有意义的条件得到不等式求解. 【详解】要使函数有意义，则，即， 所以函数的定义域为， 故答案为:. 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】由指数幂和对数的运算性质，可得. 故答案为：. 13. 函数（且）恒过定点________ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质进行求解即可. 【详解】由得，此时， 即函数过定点. 故答案为：. 14. 已知函数 ①若，则x的值是________ ②若且，则的取值范围是________ 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】（1）根据函数值求自变量的值. （2）设，根据函数解析式，把转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. 【详解】（1）若，由； 若，由； 所以或； （2）设， 由题意：，； ，，； 所以，， 所以. 故答案为：或；. 15. 人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论： ①； ②在上是增函数； ③． 其中所有正确结论的序号是_______________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①代入函数值即可求解；②求导后确定函数的单调性即可；③进行等价证明看是否复合条件即可. 【详解】①当， 所以； ②， 因为均为正常数，且， 所以， 所以在上是增函数； ③， 等价于， 即等价于， 即等价于， 等价于， 而恒成立，且， 所以恒成立， 即． 故选项③正确. 故答案为：①②③. 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，求解集合，，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合，由并集为全集得出集合的范围，从而求出的范围. 【小问1详解】 解：由得或. 所以. 当时，. 所以. 【小问2详解】 由题意知].又， 因为， 所以. 所以. 所以实数的取值范围是. 17. 已知定义在的函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为指数函数的一部分． （1）写出函数的解析式和值域； （2）求的值． （3）若方程有两个不相等的实根，求实数m的取值范围 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当，函数为一次函数，设其解析式为；当，设指数函数解析式为,结合待定系数法即可求出函数解析式，由图象可得值域； （2）由函数的解析式，分别计算求的值即可得答案； （3）求当直线与图象有两个交点时的的值即可. 【小问1详解】 当，函数为一次函数，设其解析式为． ∵点和在该一次函数的图象上， ∴，解得， ∴． 当，函数为指数函数且是单调减函数， 故设其解析式为, ∵点在该指数函数的图象上，即. ∴， 综上，， 观察图象可知的值域为； 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴， 所以； 【小问3详解】 若方程有两个不相等的实根，则直线与图象有两个交点， 由图象可知，. 故实数m的取值范围为. 18. 已知函数， （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3），直接写出与的大小关系（不用证明）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据偶函数的定义得到答案； （2）利用二次函数性质可得结果； （3）直接证明即可. 【小问1详解】 若是偶函数，则，即，解得； 当时，确实是偶函数. 所以的值是. 【小问2详解】 由于单调递增，故命题等价于在上单调递减. 根据二次函数的性质可知，这等价于对称轴在直线处或其右侧，也就是，即. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由于 . 故. 19. 已知函数的零点是． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并说明理由； （3）设，若不等式在区间上有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上是单调递减函数，理由为： 设，则， 因为，所以， 因为为增函数， 所以， 所以， 所以在上是单调递减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据可求出结果； （2）根据对数函数的单调性和单调性的定义可得结果； （3）转化为在区间上有解，换元后化为在区间上有解，令， ，化为，根据二次函数知识求出的最大值可得答案. 【小问1详解】 因为函数的零点是， 所以，即，所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 所以在区间上有解， 因为为增函数， 所以在区间上有解， 所以在区间上有解， 令，因为，所以， 所以在区间上有解， 令，，则， 因为在上单调递减， 所以当时，. 所以. 20. 某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元． （1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）； （2）该车若干年后有两种处理方案： ①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出； ②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出． 问：哪一种方案较为合算？并说明理由． 【答案】（1）第3年开始赢利； （2）方案②合算．理由如下： 方案①赢利总额， 时，赢利总额达到最大值为万元． 年后卖出客车，可获利润总额为万元． 方案②年平均赢利总额 （当且仅当时取等号）． 时年平均赢利总额达到最大值万元． 年后卖出客车，可获利润总额为万元． 两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短， 方案②合算． 【解析】 【分析】（1）设该车年开始盈利，可构造不等关系，结合可求得解集，由此得到结果； （2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算． 【详解】（1）客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元，若该车年开始赢利，则， 即，，， 该车营运第年开始赢利． （2）略 【点睛】关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值. 21. 设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. （1）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； （2）若为集合的“相关数”，证明：； （3）给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 【答案】（1）5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析 （2）证明： 考察集合的含有个元素的子集， 中任意4个元素之和一定不小于， 所以一定不是集合的“相关数”； 所以当时，一定不是集合的“相关数”， 因此若为集合的“相关数”，必有， 即若为集合的“相关数”，必有. （3） 【解析】 【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解； （2）根据相关数的定义，得到时，一定不是集合的“相关数”，得到，从而证明结论； （3）根据，将集合的元素分成组，对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为，从而求出的最小值． 【小问1详解】 当时，， ①对于的含有5个元素的子集， 因为，所以5不是集合的“相关数”； ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）得， 先将集合的元素分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和， 所以集合的“相关数”的最小值为. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $