精品解析：重庆珊瑚中学教育集团2026-2027学年度上期九年级第一次定时作业数学试题

重庆珊瑚中学教育集团2026-2027学年度上期九年级第一次定时作业 数学试题 （1．考试时间：120分钟2．监测类型：闭卷3．满分：150分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图和左视图确定是柱体，再结合俯视图确定具体形状即可． 【详解】解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴该几何体为柱体， ∵俯视图为圆形， ∴该几何体为圆柱． 2. 下列现象中，不属于中心投影的是（ ） A. 路灯下人的影子 B. 电影院银幕上的影子 C. 阳光下窗框的影子 D. 路灯下物体的影子 【答案】C 【解析】 【分析】本题需区分中心投影与平行投影的概念，中心投影由点光源发出的光线形成，平行投影由平行光线形成，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 3. 要使为菱形，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. 对角线，互相平分 D. 对角线，互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】已知是平行四边形，结合菱形的判定定理逐一判断选项，即可得到正确结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 是平行四边形的固有性质，因此选项A不能判定它是菱形； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，因此选项B错误； 对角线互相平分是平行四边形的性质，因此选项C不能判定它是菱形； 根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加条件“对角线，互相垂直”可判定为菱形. 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 5. 如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，可知：， ∴， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 【答案】B 【解析】 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 8. 如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 9. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知：，则_____． 【答案】## 【解析】 【详解】解：， 设， ． 12. 如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键．根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树的投影的长度． 【详解】解：，，点、、、在同一直线上， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 13. 设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 14. 如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质与勾股定理可得，设，则，由可得，利用直角三角形的性质可得，从而得到，因此，进而求出的长． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， 在中，点是的中点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 已知整式，其中，且均为整数，n为正整数．若，则满足条件的整式A共有__________个；若，则满足条件的整式共有__________个． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一个空直接按条件列举系数组合，统计个数；第二个空按的不同取值分类，根据条件列出所有满足，且和为的整数组合，统计总个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为：；，共个满足条件的整式． 再计算第二个空： 已知，，，所有系数为整数，为正整数，系数共个，因此最小系数和为． 计算得只能取，时最小和大于，无符合条件的整式． 1．当时： ，，得，为正整数，因此，对应个满足条件的整式． 2．当时： ，，按分类： 时，，，得，，共个； 时，，，得，，共个； 时，最小系数和为，无符合条件的组合； 因此时共个满足条件的整式． 3．当时： ，，最小系数和为，刚好等于，仅个组合满足条件，因此共个满足条件的整式． 综上，满足条件的整式总个数为． 16. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 【答案】 ①. ##30度 ②. 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18题每题8分，第19—第25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接、；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】（1）如图所示： （2）解：四边形是菱形，证明如下： 垂直平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， 在和中， ， ， 互相垂直平分， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧交于两点，过这两点画直线即为线段的垂直平分线； （2）连接，，由垂直平分，得到，，再由平行四边形的性质得到，，进而证明，得到，互相垂直平分，由此证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． （1）该几何体的形状是什么？ （2）求该几何体的表面积． 【答案】（1）三棱柱 （2） 【解析】 【分析】（1）首先，应分别根据主视图、左视图和俯视图想象几何体的前面、左侧面和上面的形状，然后综合起来考虑整体形状； （2）根据形状求表面积即可． 【小问1详解】 解：该几何体是一个三棱柱， 【小问2详解】 解：如图，底面等边三角形边长为，过点作于点， ， ， 底面三角形的面积为， 该几何体的表面积为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似图形的性质画图即可． （3）作直线，交于点P，点P即为位似中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 21. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 22. 如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处． （1）求路灯AB的高度． （2）请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长． （3）如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？ 【答案】（1）6.4米；（2）5米；（3）米 【解析】 【分析】（1）根据题意得到一些线段的长度，由得到，列式求出AB的高度； （2）先画出图象，由得到，列式求出FO的长度； （3）过点M作BO的平行线，交AB于点H，交PO于点K，连接AM并延长交PO于点L，由得，列式求出KL的长度，再求出OL的长度． 【详解】解：（1）∵米，米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵AB、CD都与地面BO垂直， ∴， ∴，即， ∴米； （2）小亮的位置如图所示： ∵， ∴，即， ∴米； （3）如图，过点M作BO的平行线，交AB于点H，交PO于点K，连接AM并延长交PO于点L， ∵小亮距离墙2米， ∴米， ∴米， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴，即， ∴米， ∴墙上的影子长为米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是能够根据题意找到图中的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质进行列式求解． 23. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． （1）当的面积为时，求t的值； （2）连接，当时，求t的值． 【答案】（1）1或4 （2）1 【解析】 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 25. 在三角形中，，，线段和交于点，且．点为的中点．过点作的垂线交于点． （1）如图1，连接，若，求的度数； （2）如图2，连接，且的角平分线交于点．求证：； （3）如图3，若，点为的中点，点是线段上一动点，满足，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得，求出，得到，利用三角形的外角性质求出，再利用三角形的内角和定理即可求解； （2）证明，得，求出，证明，得到，利用线段的和差关系结合即可得证； （3）过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接，证明为等腰直角三角形，得，证明四边形为平行四边形，推出，证明，证明，进而得到，即得当、、三点共线时，有最小值，进而求解． 【小问1详解】 解：，， ． ，， ． 在和中 ， ， ， ， ． ，E为中点， ， ， ， 中，， ． 【小问2详解】 证明：过点P作的垂线交于点K，连接 ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在中，，E为的中点， ， 在中，，为的中点， ， ，， 平分，， ， ， ， ， 在和中 ， ， 在中，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：同（2）题可证， ∴ ， 过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接， 则， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ∵， ∴∥， 四边形为平行四边形， ， ∵垂直平分， ， ∴ 在和中 ∴， 当、、三点共线时，有最小值， ∵，M是中点， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线、熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆珊瑚中学教育集团2026-2027学年度上期九年级第一次定时作业 数学试题 （1．考试时间：120分钟2．监测类型：闭卷3．满分：150分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 棱柱 2. 下列现象中，不属于中心投影的是（ ） A. 路灯下人的影子 B. 电影院银幕上的影子 C. 阳光下窗框的影子 D. 路灯下物体的影子 3. 要使为菱形，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. 对角线，互相平分 D. 对角线，互相垂直 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 8. 如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知：，则_____． 12. 如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 13. 设，是方程的两实数根，则____________． 14. 如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 15. 已知整式，其中，且均为整数，n为正整数．若，则满足条件的整式A共有__________个；若，则满足条件的整式共有__________个． 16. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18题每题8分，第19—第25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程 （1）； （2） 18. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接、；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 19. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． （1）该几何体的形状是什么？ （2）求该几何体的表面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 21. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 22. 如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处． （1）求路灯AB的高度． （2）请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长． （3）如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？ 23. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． （1）当的面积为时，求t的值； （2）连接，当时，求t的值． 25. 在三角形中，，，线段和交于点，且．点为的中点．过点作的垂线交于点． （1）如图1，连接，若，求的度数； （2）如图2，连接，且的角平分线交于点．求证：； （3）如图3，若，点为的中点，点是线段上一动点，满足，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $