15.3.2 第2课时 含30 °角的直角三角形的性质（课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十五章 轴对称 15.3.2 第2课时 含30 °角的直角三角形的性质 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册15.3.2第2课时《含30°角的直角三角形的性质》专项练习（全文约1412字） ## 一、知识梳理 **定理**：在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^\circ$，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，则$\boldsymbol{\(BC=\)\dfrac12AB}$。 逆用（常用推论）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^\circ$。 要点辨析： 1. 定理**前提必须是直角三角形**，普通三角形不能直接使用； 2. 找准边角对应关系：**30°角对着的那条直角边**才是斜边一半，不是另一条直角边； 3. 推导来源：可以用等边三角形折叠得到这个结论； 4. 常用线段倍数关系：30°直角三角形三边之比：$1:\sqrt{3}:2$（短直角边:长直角边:斜边）。 易错提醒： 1. 不要记反，不是30°邻边等于斜边一半； 2. 没有直角，不能用这个性质； 3. 大题书写，一定要先写明是直角三角形，且有一个锐角30°，再写线段关系。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，下面正确的是（） A.$AC=\dfrac12AB$ B.$\(BC=\)\dfrac12AB$ C.$\(BC=\)\dfrac12AC$ D.$\(AB=\)\dfrac12BC$ 2. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，斜边$\(\(AB=\)10\)$，则$AC$长为（） A.$3$ B.$4$ C.$5$ D.$10$ 3. 在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为（） A.$30^\circ$ B.$45^\circ$ C.$60^\circ$ D.$90^\circ$ 4. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$\(\(BC=\)4\)$，斜边$AB$的长是（） A.$4$ B.$6$ C.$8$ D.$12$ 5. 下列条件，不能直接使用“30°直角三角形性质”的是（） A.$\text{Rt}\triangle$，一锐角$30^\circ$ B.三角形是直角三角形，短直角边是斜边一半 C.普通三角形，有一个角30° D.直角三角形，斜边是短直角边两倍 6. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，则$\angle B$等于（） A.$30^\circ$ B.$45^\circ$ C.$60^\circ$ D.$90^\circ$ 7. 如图，在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，$\(AC=6\)$，则$\(AB=\)$（） A.$6$ B.$12$ C.$18$ D.$3$ 8. 等腰三角形顶角120°，腰长6，则底边上的高为（） A.$3$ B.$6$ C.$12$ D.$2$ 9. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\(AB=\)16$，$\(\(BC=\)8\)$，则$\angle A$等于（） A.$60^\circ$ B.$45^\circ$ C.$30^\circ$ D.$90^\circ$ 10. 含30°的直角三角形，短直角边为3，则斜边为（） A.$3$ B.$6$ C.$9$ D.$3\sqrt{3}$ ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^\circ$，那么它所对的直角边等于________的一半。 12. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$\(AB=\)12$，则$\(BC=\)$________。 13. 在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角是________。 14. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，$\(AC=5\)$，斜边$\(AB=\)$________。 15. 使用这个定理，前提图形必须是________三角形。 16. 在$\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$\(BC=\)7$，$\(AB=\)$________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）已知：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，$\(AB=\)14$。求$AC$的长。 18.（12分）已知：$\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\(BC=\)\dfrac12AB$。求证：$\angle A=30^\circ$。 19.（12分）已知：△ABC是等边三角形，$AD⊥BC$，$DE⊥AB$，$\(\(AB=\)10\)$，求$BD$和$BE$的长度。 ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.C 7.B 8.A 9.C 10.B **填空题**： 11.斜边；12.$6$；13.$30^\circ$；14.$10$；15.直角；16.$14$ **解答题** 17.解：∵$\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$， ∴$\angle B$所对直角边$AC=\dfrac12AB$。 ∵$\(AB=\)14$，∴$AC=\dfrac12\times14=7$。 答：$\(AC=7\)$。 18.证明：延长$BC$至$D$，使$\(CD=BC\)$，连接$AD$。 ∵$\angle ACB=90^\circ$，∴$AC$垂直平分$BD$，∴$\(AB=\)AD$。 ∵$\(BC=\)\dfrac12AB$，$\(BD=2BC\)$，∴$\(BD=AB\)$。 ∴$\(AB=\)AD=BD$，△ABD为等边三角形，$\angle B=60^\circ$。 ∵$\angle C=90^\circ$，∴$\angle A=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$。 19.解：∵△ABC是等边三角形，$AD⊥BC$， 由三线合一，$BD=\dfrac12\(BC=\)\dfrac12\(AB=\)5$。 ∵$DE⊥AB$，$\angle B=60^\circ$，∴$\angle BDE=30^\circ$。 在$\text{Rt}\triangle BDE$中，$BE=\dfrac12BD=\dfrac12\times5=2.5$。 答：$\(BD=5\)$，$\(BE=2.5\)$。 本节核心：牢记定理的前提条件和边角对应关系。高频易错：①忽略“直角三角形”前提；②找错30°角对应的直角边。常和等边三角形、等腰三角形、三线合一综合出题，是计算题高频考点，求线段长度经常用到。 （全文：1412字） 下一章：**16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念**，同样1412字专项练习吗？ 学习目标 探索并理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算. 一 经历探索、发现、猜想、证明的过程，体会转化思想. 二 三 在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 复习引入 等边三角形 三角形 这个三角形有什么特点？ ∠D=90° ∠B=60° ∠A=30° 这个三角形的边之间有什么关系？ 1．什么是等边三角形？ 2．说一说等边三角形的性质和判定方法． 三条边都相等的三角形是等边三角形．　　 等边三角形的性质 边 角 对称性 三条边都相等 三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° 三线合一； 轴对称图形，三条对称轴 探究新知 图形 判定 等边三角形 A B C 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形 有一个角是 60°的等腰三角形 等边三角形的判定 探究新知 5 利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质． 探究新知 探究：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论． 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半． 即：BC＝AB 探究新知 分析：要证明BC＝AB，只要证明2BC＝AB．为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可． 探究新知 已知：如图所示，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°． 求证：BC =AB ． 证明：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD． 又∵∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB． 又∵BD＝2BC， ∴BC＝ AB． 你还有其他证明方法吗？ 探究新知 知识点1 含30°角的直角三角形的性质 1. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，且BC＝6，则AB等于(　　) A.2　　 B.3　　 C.9　　 D.12 返回 D 基础提优题 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD.若BD＝6，则AC的长为(　　) A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5 返回 B 基础提优题 3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长是 (　　) A.2　　　 B.3　　 C.4　　 D.5 B 基础提优题 【点拨】如图，过点P作PD⊥OB于点D，则∠ODP＝90°.∵∠AOB＝60°，∴∠OPD＝30°.∴DO＝OP＝4.∵PM＝PN，PD⊥MN，∴MD＝ND＝MN＝1.∴MO＝DO－MD＝4－1＝3. 基础提优题 返回 当题目条件中有30°或60°角时，常设法利用含30°角的直角三角形的性质，即作出含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边一半求解. 基础提优题 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 含30°角的直角三角形的性质 符号语言： ∵在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A=30°， ∴BC＝AB． 探究新知 15 例1：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4ｍ，∠A＝30°．求立柱BC，DE的长． 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD． ∴BC＝×7.4＝3.7（ｍ）． 又∵AD＝AB， ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（ｍ）． 答：立柱BC的长是3.7ｍ，DE的长是1.85ｍ． 探究新知 例2：已知等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a．求腰上的高． 已知：如图，在等腰△ABC 中，∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a．过 C 作腰 BA 延长线的垂线 CD，垂足为 D． 求：CD 的长． A C B 15° D 2a 15° 解：在等腰△ABC 中， ∵∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a， ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°， AC＝AB＝2a． ∴CD＝ AC＝×2a＝a． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1．如图，在中，，，，若，则的长为（    ）  A． B． C． D． B 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（    ）　 A．5 B．6 C．7 D．8 B 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点、交于点，若，求的长． 解：连接， ∵的垂直平分线交于点、交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 5 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则的长为_____． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形. 当堂检测 4.如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是(1，0)，∠A＝30°，则AC＝　　　　. 返回 4 基础提优题 知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用 5.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是　　　　cm2. 基础提优题 【点拨】∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB＝7 cm.∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴BC∥DE.∴∠AFC＝∠D＝45°.∴∠CAF＝45°＝∠AFC.∴CF＝AC＝7 cm.∴S阴影＝×7×7＝(cm2). 返回 基础提优题 6.［2026北师大附中期中］某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境.已知∠BAC＝150°，AB＝20 m，AC＝30 m，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　　　　元.(用含a的代数式表示) 返回 150a 基础提优题 7. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处观察灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°. (1)求海岛B到灯塔C的距离. 【解】由题意得AB＝15×2＝30(n mile). ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝30°. ∴∠ACB＝∠NAC.∴BC＝AB＝30 n mile. ∴海岛B到灯塔C的距离为30 n mile. 基础提优题 (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔C的距离最短？ 返回 【解】如图，过点C作CP⊥AB于点P， ∴∠BPC＝90°.根据垂线段最短，可知线段CP 的长为该船与灯塔C的最短距离. ∵∠PBC＝60°， ∴∠PCB＝180°－∠BPC－∠CBP＝30°. ∵BC＝30 n mile，∴PB＝BC＝15 n mile. ∵15÷15＝1(h)， ∴若继续向正北方向航行，还要经过1 h，该船与灯塔C的距离最短. 基础提优题 8.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为(　　) A.4　　 B.6　　 C.3　　 D.8 返回 B 综合应用题 9.如图，BD是等边三角形ABC的中线，E是直线BD上一点，连接AE，以AE为边，向下方作等边三角形AEF，连接DF.若AB＝8，则DF的最小值为(　　) A.1　　 B.1.5　　 C.2　　 D.3 C 综合应用题 直角三角形的性质——含30°角的直角三角形 文字语言 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 符号语言 ∵ 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝ AB． A B C 30° 课堂小结 谢谢观看 THANKS $