15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年八年级上册数学授课课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质，通过三角尺拼接、等边三角形对折的操作导入，衔接轴对称与等边三角形知识，搭建从具体到抽象的探究支架。 其亮点在于以动手操作和多证法（倍长法、截半法）引导探究，结合角平分线、实际问题（屋架设计、台风折树）等实例，培养数学眼光（观察发现）、数学思维（推理证明）。课堂小结明确定理要点，助力学生掌握性质应用，教师可高效开展教学。

轴对称 第十五章 数学 人教版 八年级上册 §15.3.2等边三角形（2） 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 学习目标： 1.经历含30°角的直角三角形的性质的探究过程，理解特殊的直角三角形的相关性质.（难点） 2.能用含30°角的直角三角形的性质进行有关的计算及证明.（重点） 3.用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题.（重点） 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 分离 拼接 A C B 情景引入 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB. 你还能用其他方法证明吗？ 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 证法1 证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD,∴BC = BD． ∴　BC = AB．　 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． A B C D 证明方法：倍长法 　 　　 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） E A B C 证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴　BC = AB．　　 证明方法：截半法 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 A B C ∴　BC = AB．　　 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D. 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C.1.5 D．1 解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C. E C 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形． 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)， 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°， ∴AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. ∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB. 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质． 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 想一想：图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例4　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ A B C D E 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） A B C D E 解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC= AB, DE= AD. ∴BC= AB= ×7.4=3.7(m). 又AD= AB, ∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m). 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. A C B D 15 ° 15 ° 20 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°， ) ) ∴CD= AC= ×20=10. 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题. 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元 B B 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = . 5 5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______. A C B 8 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . A B C D 1 第3题图 第5题图 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长． 解：连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE=AE， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°． ∵∠C=90°， ∴AC= AE= BE=2.5． 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含30°角的直角三角形的性质 找准30 °的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：直角三角形中 课堂小结 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 谢谢 ! 谢谢聆听 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） $