15.3.2 第1课时等边三角形的性质与判定（课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十五章 轴对称 15.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册15.3.2第1课时《等边三角形的性质与判定》专项练习（全文约1412字） ## 一、知识梳理 等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 ### 等边三角形的性质 1. 三边都相等； 2. 三个内角都相等，并且每一个内角都等于$\boldsymbol{60^\circ}$； 3. 是轴对称图形，有**3条对称轴**； 4. 具备等腰三角形所有性质：三线合一（每个顶点都满足三线合一）。 ### 等边三角形的判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形； 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 3. **有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形**（最常用）。 辨析： - 等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； - 判定第三条：前提必须是**等腰三角形**，再加一个60°角，才能推出等边。 易错提醒： 1. 三个角都是60°，才是等边；仅有一个角60°，不能直接判定等边，必须先满足等腰； 2. 等边三角形每个顶点都可以用三线合一，不同于普通等腰三角形只有底边的三线合一。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 等边三角形的每个内角的度数是（） A.$30^\circ$ B.$60^\circ$ C.$90^\circ$ D.$120^\circ$ 2. 等边三角形对称轴的条数是（） A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 3. 下列条件，不能判定三角形是等边三角形的是（） A.三边都相等 B.三个内角都相等 C.有一个角是60°的三角形 D.有一个角是60°的等腰三角形 4. 下列说法正确的是（） A.等腰三角形一定是等边三角形 B.等边三角形不是等腰三角形 C.等边三角形是特殊的等腰三角形 D.有两个角是60°的三角形不一定是等边三角形 5. △ABC是等边三角形，则$\(∠A+\(∠B\)\)$等于（） A.$60^\circ$ B.$90^\circ$ C.$120^\circ$ D.$180^\circ$ 6. 等腰三角形有一个内角为$60^\circ$，这个三角形是（） A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 7. 等边△ABC中，AD是BC边上的高，下列结论错误的是（） A.$\(BD=DC\)$ B.$\(∠B\)AD=30^\circ$ C.$\(AD=BC\)$ D.$\(∠B\)=60^\circ$ 8. 一个三角形三个外角都相等，则这个三角形是（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 9. 等边三角形的边长为5，则它的周长为（） A.5 B.10 C.15 D.20 10. 在等边△ABC中，$\(∠B\)$的平分线交AC于D，则BD（） A.只是角平分线 B.只是中线 C.只是高 D.同时是中线、高、角平分线 ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 等边三角形的三个内角都等于________。 12. 等边三角形有________条对称轴。 13. 有一个角是60°的________三角形是等边三角形。 14. 等边三角形三边________。 15. 三个角都________的三角形是等边三角形。 16. 等边三角形的任意一条边上的高、中线、角平分线________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）已知△ABC是等边三角形。求证：$∠A=\(∠B\)=∠C=60^\circ$。 18.（12分）已知：在△ABC中，$\(AB=AC\)$，$∠A=60^\circ$。求证：△ABC是等边三角形。 19.（12分）已知△ABC是等边三角形，点D在BC上，$AD⊥BC$，若$\(AB=8\)$，求BD的长和$\(∠B\)AD$的度数。 ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.C 10.D **填空题**： 11.$60^\circ$；12.3；13.等腰；14.相等；15.相等；16.互相重合 **解答题** 17.证明：∵△ABC是等边三角形，∴$\(AB=BC=AC\)$。 ∴$\(∠B\)=∠C$，$∠A=\(∠B\)$（等边对等角）。 ∴$∠A=\(∠B\)=∠C$。 又∵三角形内角和$180^\circ$， ∴$∠A=\(∠B\)=∠C=\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$。 18.证明：∵$\(AB=AC\)$，∴$\(∠B\)=∠C$（等边对等角）。 ∵$∠A=60^\circ$， ∴$\(∠B\)=∠C=\dfrac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$。 ∴$∠A=\(∠B\)=∠C=60^\circ$， ∴△ABC是等边三角形。 19.解：∵△ABC是等边三角形，$AD⊥BC$， 根据等边三角形三线合一，AD也是BC边上中线、角平分线。 ∴$BD=\dfrac12BC$，$\(∠B\)AD=\dfrac12\(∠B\)AC$。 ∵$\(AB=BC=8\)$，∴$\(BD=4\)$。 ∵$\(∠B\)AC=60^\circ$，∴$\(∠B\)AD=30^\circ$。 答：$\(BD=4\)$，$\(∠B\)AD=30^\circ$。 本节核心：等边三角形是特殊等腰三角形，熟记三条判定方法。高频易错：直接认为“有一个角60°就是等边三角形”，忽略前提是等腰三角形。等边三角形每个顶点都满足三线合一，填空选择经常考角度、周长、对称轴数量。经常和全等、等腰三角形综合出证明大题。 （全文：1412字） 下一节：**15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质**，同样1412字专项练习吗？ 学习目标 探索等边三角形的性质定理和判定定理. 一 能运用等边三角形的性质定理和判定定理进行计算和证明. 二 三 在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 判定 性质 判定 性质 复习引入 依据 图形的轴对称 定义 性质 画轴对称的图形 研究轴对称图形 数形结合 坐标与轴对称 等腰三角形 从一般 到特殊 等边三角形 名称 图形 性质 判定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 等腰三角形的性质和判定 探究新知 我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定． 探究新知 5 探究1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 边 两边相等（定义） 角 两底角相等 （等边对等角） “三线合一” 是 轴对称图形 是 三边相等（定义） 三个内角都相等， 每个角都等于60° 是 是 你能证明 它们吗？ 探究新知 已知：△ABC 是等边三角形． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°． 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AC，BC＝AB． ∴∠A＝∠B，∠A＝∠C（等边对等角）． ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. A B C 探究新知 A B C 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（“三线合一”）． 探究新知 等边三角形的性质 边 角 对称性 三条边都相等 三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° 三线合一； 轴对称图形，三条对称轴 探究新知 探究2：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 1．三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．三个角都相等的三角形是等边三角形． 一般三角形 等边三角形 定义 你能说明理由吗？ 探究新知 已知：在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠C． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C， ∴BC＝AC，AC＝AB（等角对等边）． ∴AB＝BC＝AC． ∴△ABC 是等边三角形． A B C 探究新知 知识点1 等边三角形的性质 1.如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠2＝68°，则∠1的大小为(　　) A.68°　　 B.62°　 C.52°　　 D.42° 返回 C 基础提优题 2.［2026天津滨海新区期中］如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，图中能够表示PC＋PE的最小值的是下列哪条线段的长(　　) A.BC　　　 B.AD 　　 C.CD 　　 D.CE 返回 B 基础提优题 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEF为正三角形，∠BFD＝α，∠ADE＝β，∠FEC＝γ，则(　　) A.β＝　　　　 B.β＝ C.α＝　　　　 D.α＝ D 基础提优题 【点拨】如图.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠A＋2∠B＝180°①.∵△DEF是等边三角形，∠BFD＝α，∠ADE＝β，∠FEC＝γ.∴∠1＝120°－γ，∠2＝120°－β.在△ADE中，∠A＋∠1＋β＝180°，即∠A＋120°－γ＋β＝180°②.在△BDF中，∠B＋α＋∠2＝180°，即∠B＋α＋120°－β＝180°③. ①②③联立，解得α＝.故选D. 返回 基础提优题 探究2：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 等边三角形 等腰三角形 3．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 你能说明理由吗？ 探究新知 已知：在等腰三角形△ABC 中，∠A＝60°． 求证：△ABC 是等边三角形． A B C 证明：（1）当顶角∠A＝60°时， ∴∠B＝∠C＝×(180°－60°)＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∴△ABC 是等边三角形． （2）当底角∠A＝60°时，则∠C＝60°， ∴∠B＝180°－(60°＋60°)＝60°． ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∴△ABC 是等边三角形． B A C 探究新知 等边三角形的判定 图形 判定 等边三角形 A B C 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形 有一个角是 60°的等腰三角形 探究新知 三个角都相等的三角形是等边三角形． 例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE//BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． ∴∠A＝∠ADE＝∠AED． ∴△ADE 是等边三角形． 还有其他 证法吗？ 探究新知 19 例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明（方法二）：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∵DE//BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED． 　∴∠ADE＝∠AED． ∴AD＝AE． ∴△ADE 是等腰三角形． ∵∠A＝60°， ∴△ADE 是等边三角形． 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 探究新知 例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明（方法三）： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE//BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED． ∴∠A＝∠ADE，∠ADE＝∠AED． ∴DE＝AE，AD＝AE． 即AD＝AE＝DE． ∴△ADE 是等边三角形． 条边都相等的三角形是等边三角形． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1．如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． B 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是 ． 等边三角形 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长． 证明：（1）∵， ∴； ∵， ∴； ∵为的中点，∴， 又∵， ∴， ∴，∴是等边三角形； 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长． （2）在中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论： ①；②；③； ④；⑤， 正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为_______，（不用写证明）； (3)探究：当为______________度时，是等腰三角形． 证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 直角三角形 125或140或110 当堂检测 4.［2026广州期末］如图，P是等边三角形ABC内一点，∠BPC＝90°，以PC为边在PC的左侧作等边三角形CPQ，连接AQ. (1)根据题意补全图形； 【解】补全图形如下图所示： 基础提优题 (2)求∠AQC的度数. 返回 【解】∵△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°， ∵△CPQ是等边三角形，∴CQ＝CP，∠PCQ＝60°， ∴∠PCQ－∠ACP＝∠ACB－∠ACP， 即∠ACQ＝∠BCP. 在△ACQ和△BCP中， ∴△ACQ≌△BCP(SAS)， ∴∠AQC＝∠BPC＝90°. 基础提优题 5.下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是(　　) A.∠A＝∠B＝60°　　 B.∠B＋∠C＝120° C.∠B＝60°，AB＝AC　　 D.AB＝AC＝BC 返回 B 基础提优题 6.如图，一艘轮船由海面上A地出发，向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距(　　) A.100海里　　 B.80海里　　 C.60海里　　 D.40海里 返回 B 基础提优题 7.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AB的长为　　　　cm. 返回 2 【点拨】∵直尺的两对边互相平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.易知∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AB＝BC＝3－1＝2(cm). 基础提优题 8.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝ 1 cm，BC＝3 cm，CD＝3 cm，DE＝2 cm，则这个六边形的周长是　　　　cm. 15 基础提优题 9.如图是由若干个相同的小等边三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A的坐标是(－4， 6)，点B的坐标是(0， －3)，由此可知点C的坐标是 (　　) A. (3，9)　　 B. (3，4) C. (，3)　　 D. (， 9) A 综合应用题 10.如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝4，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于(　　) A.4　　 B. C.2　　 D. A 综合应用题 等边三角形的性质和判定 性质 判定 三个角都相等，都等于 60° 三线合一 三条边都相等 轴对称图形 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形 有一个角是 60°的等腰三角形 课堂小结 36 谢谢观看 THANKS $