天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2026-2027学年高二上学期第一次课堂练习数学试卷

2026—2027学年高二年级上学期数学学科第一次课堂练习 注意事项： 1、本次练习分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间100分钟。 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。 第I卷（选择题，满分60分） 一、选择题（本题共12小题，每小题只有一个选项符合要求。每题5分，共60分） 1.在空间直角坐标系中，点A(2,1,1)关于yOz平面对称的点的坐标为() A.(-2,1,) B.(2,-1,1) C.(2,1,-1) D.(2,-1,-I) 2平面a的一个法向量是r(),1艺》，平面B的-个法向量是乐(36,2，则平面α与平面B的关系是 A.平行 B.重合 C.平行或重合 D.垂直 3.过点PV3,-25且倾斜角为135°的直线方程为() A.3x-y-4W3=0 B.x-y-3=0 C.x+y-3=0 D.x+y+5=0 4.设x∈R，向量a=(x,1,1),c=(2,-4,2),且ā1c,则a+c=() A.2W2 B.9 C.3 D.3W3 5.如图，空间四边形0ABC中，O1=a,Oi=i,OC=c,点M在OA上，且OM=名OA,点N为BC中 点，则等于 A. 1a-2+c B.2a++1 2 3 2 3a+2b+2 C. 1→.11- 2 2+2汤-2 D. 2a+6-c '22 6.已知m为实数，直线4：x+y-1=0,2:(3n-2)x+y-2=0,若/1儿2，则实数m的值 A.2 B.1 C.1或8 D.0政写 7.总知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),则点C到直线AB的距离为（) 第1页/ A.6 B.v6 3 c.v D. 3 2 8.已知平行六面体ABCD-AB,CD,的各棱长均为1，∠AAB=∠AAD=4S°，∠DAB=90°，则BD- Q D A.3 B.√2-1 c.√5 D.√2+1 9.直线(m+2)x+(m-2)y-2m=0,无论m取何值， 该直线恒过定点（) A.(L,-1) B.(L1) C.（-2,2) D.(2,-2) 10.已知{a,6,c是空间的一组基底，其中AB=2a-36,AC=a-c,D=26+1c若4，B,C,D四点 共面，则入=() 11.已知两点A(-3,2),B(2,1),过点P(0,-1)的直线1与线段AB（含端点)有交点，则直线1的斜率的取值范 围为() A.（o,-U[l+oo)B.【-1,刂 c.(-L)D. 12.如图所示，若长方体ABCD-AB,C,D,的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD,的中点，则下列说法正 确的个数是() ①点B到直线CE的距离为2√5： ②三棱锥B~C,CE的外接球的表面积为I2π： ③平面B,CE∥平面ABD; ④三梭锥C-ACE的体积为号， 的 /供2页 A.1 B.2 C.3 D.4 Ⅱ卷（非选择题，满分40分） 二.填空题（本题共8小题，共40分) 13.已知向量立=(-2,1，-1)，b=(2,1,1),若与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 14.已知空间向量a=(1,l,2),6=(-3,11),c=（-2,2,m),若a,6,a共面，则m= 15.如图，在正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为DB,AC的中点，则直线AM和BW的夹角的余弦值为 16.已知空间向量ā=(1,0,1)，b=(2,-1,2),则向量a在向量)上的投影向量的坐标 17.如图，在棱长为2的正方体ABCD一AB,CD中，F,G分别是AB,CC的中点，则点A到平面BGF的距离 为 18.已知直线1过点P(L,-2),且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线I的方程为 19.给出下列命题： ①直线1的方向向量为-化-12到.直线m的方向向量为3-(2L-》 则l与m垂直： ②直线1的方向向量为a=(0,l-1),平面x的法向量为n=(L,-1,-I),则1上a: ③平面C,P的法向量分别为%=(0,13)，五=(1,0,2)，则a∥B: ④平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,l0),C(-1,2,0),向量n=(1,4,)是平面a的法向量，则+t=1. 其中真命题是·（把你认为是正确命题的序号都填上） 20.已知a>0,b>0,若直线(2a-)x+2y-1=0与直线x+by-2=0垂直，则二+的最小值为 a b 三.解答题（本题共四小题，共50分） 21根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程.已知直线：x-2y+3=0,4:2x+3y-8=0: (1)经过点A(L,4)且与直线（平行的直线： 第2页 (2)经过点AL,4)且与直线马垂直的直线. 22.已知a=1,4,-2),6=(-2,2,4) )若8=6，求co位，的值， (2)若(a+b)/1(G-3b),求实数k的值； (3)若(ka+b)⊥（ā-3，求实数k的值， 23.已知平行六面体ABCD-AB,CD,的底面是边长为1的菱形，且∠CCB=∠CCD=∠BCD= 3, DD=2. (1)证明：DD⊥BD: (2)求异面直线CA与AB夹角的余弦值 24.已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PAIID2,PA=AD=3D2=3,点E、F分别为线段PB、 C2的中点. D (1)求证：EF∥平面PAD2; (2)求平面PC2与平面CD2夹角的余弦值； (3)线段P℃上是否存在点M,使得直线MM与平面PCQ所成角的正弦值是√至，若存在求出以的值， MC 若不存在，说明理由。 /共2页 2026一2027学年高二年级上学期数学学科第一次课堂练习 参考答案 一、选择题： 题号1 23 4 56 > 9 1011 12 答案A D B B A A B D A 二、填空题： 13.（-0,-1)(-1,5) 14.3 848 16999 7.4v5 18.x-y-3=0或2x+y=0 5 19.①④ 20.8 三、解答题： 21、【分析】(1)设所求直线的方程为x-2y+C=0,求出C即可： (2)设所求直线方程为3x-2y+C2=0,求出C2即可： (3)先求出交点坐标，再分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公 式即可得解； 【小问1详解】 设所求直线的方程为x-2y+C=0, 则有1-2×4+C=0,解得C=7, 所以所求直线方程为x-2y+7=0: 【小问2详解】 设所求直线方程为3x-2y+C,=0, 则有3×1-2×4+C2=0,解得C2=5, 所以所求直线方程为3x-2y+5=0: 322、【分析】(1)根据向量的坐标运算及向量夹角公式即得： (2)根据空间向量的线性运算的坐标表示可得ka+b=(化-2,4k+2,-2k+4), ā-36=(7，-2，-14)，然后根据向量平行的坐标关系即得； (3)根据向量垂直的坐标表示即得。 【小问1详解】 由已知可得c=6=(-11,2),ā=0,4，-2)， 所以cos(a,c)=1 :c_1×(-l)+4×1+(-2)×2-1√14 dd√1+16+4×1+1+4√21.√642 【小问2详解】 因为ka+b=(k-2,4k+2,-2k+4),ā-3b=(7,-2,-14), 又(ka+b)/1a-3b), ∴.存在实数m使得ka+b=m(ā-3b), ∴.k-2=7m,4k+2=-2m,-2k+4=-14m, 将=月 【小问3详解】 因为(ka+b)⊥(a-3b), 所以(ka+b)(à-3b)=0, 即7(k-2)-2(4k+2)-14(-2k+4)=0, 保网t-号 23、【答案】(1)设CD=a,CB=b,CC=G 由题可知：a6,两两之间的夹角均为行，且d=1=,=2 由DD·BD=CC(CD-CB -c-a-b)=c.a-c.B=1-1=0 所以DD⊥BD即证， (2)5vi 22 【解析】 【分析】(1)由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明DD·BD=0即可； (2)用基向量求解向量CA,AB的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算 即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由CA=CD+DA+AA=a+b+c,又AB=-a 所以cA=(a+h+c=V而，a=l 又4=-a(a+6+d小-马 5 则cos(CA,.AB2 CA·AB 51 CA AB 1-22 又异面直线夹角范围为 所以异面直线CA,AB夹角的余弦值为5 22 24、【答案】(1) 证明：法一：分别取AB、CD的中点G、H,连接EG、GH、FH, 由题意可知点E、F分别为线段PB、CQ的中点.所以EG//PA,FHI/QD, 因为PA/IDQ,所以EG//FH,所以点E、G、H、F四点共面， 因为G、H分别为AB、CD的中点，所以GHI∥AD, 因为ADC平面ADQP,GHE平面ADQP,所以GH∥平面ADQP, 又因为FH//OD,QDc平面ADQP,FHd平面ADQP,所以FHI∥平面ADQP, 又因为FH⌒GH=H,FH、GHC平面EGHF,所以平面EGHF/I平面ADQP, 因为EFC平面EGHF,所以EF∥平面ADQP; 法二：因为ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD,所以AP、AB、AD两两互相垂直， 以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空 间直角坐标系， B 则Pro,a)、c3.o、Qo.3B6.0,o、30引F3 所以EF=(0,3,-),易知平面PAD9的一个法向量à=(1,0,0)， 所以aEF=0,所以EF⊥d, 又因为EF亡平面ADQP,所以EF∥平面ADQP. (2)【小问2详解】 解：设平面PC9的法向量m=（x,y,z),PC=(3,3,-3),CQ=（-3,0,1), m.PC=3x+3y-3z=0 则 ”,取x=1,可得m=(1,2,3), mCO=-3x+z=0 所以平面PC9的一个法向量为m=(1,2,3), 易知平面CQD的一个法向量n=(0,1,0),设平面PC与平面CQD夹角为0， 则cos0=cosm,i= 2 m.n 2V14 mi1x+4+9147’ 所以平面PCQ与平面CQD夹角余弦值为VM4 (3)假设存在点M,使得PM=PC=(32,32,-32),其中1∈[0，， 则AM=AP+PM=(0,0,3)+(3,32,-32)=(3元，3,3-32) 由(2)得平面PC9的一个法向量为m=(1,2,3), AM.m 3元+6元+9-9 V42 由题意可得cos AM,m= AM:m14V922+92+(3-3) 7 整理可得1222-82+1=0.即(22-1)(62-1)=0， 因为0≤见≤1，解得2-。或；，所以，M=或 6 、M=5或MC三/、