精品解析：广东佛山市南海区桂城街道文翰中学2026-2027学年九年级上学期第一次作业评价数学

2026-2027学年文翰中学九年级（上）第一次作业评价数学科 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知菱形的两条对角线长为6和8，则这个菱形的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 6. 根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的边长为7，则的长等于（ ） A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 8. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 不能确定 9. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为___． 12. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则的长是 ________． 13. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 14. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 15. 在矩形中，，，是上的动点，于点，于点， 则____________. 三、解答题（每小题8分，共24分） 16. 解方程． 17. 已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，AF＝ED．求证：四边形 AEDF 是菱形． 18. 某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米．求通道的宽是多少米． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为，求的值． 20. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 21. 如图，在矩形中，与相交于点O，于点E，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的长． 五、解答题（22题12分，23题12分）3共24分） 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 23. 已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长； （3）如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年文翰中学九年级（上）第一次作业评价数学科 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、满足一元二次方程的定义，符合题意； B、未知数的次数为1次，故不是一元二次方程，不符合题意； C、不是方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，将方程常数项移动到方程右边，二次项系数化为，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．直接运用配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4. 已知菱形的两条对角线长为6和8，则这个菱形的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【详解】解：菱形的两条对角线长为6和8，则这个菱形的面积为． 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A. 平行四边形的对角线互相平分，说法正确； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确； C．菱形的对角线互相垂直，说法正确； D．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误. 故选D. 考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定. 6. 根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据可得当时，，当时，，进而求解. 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个根x的范围是； 故选：B. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键. 7. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的边长为7，则的长等于（ ） A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且边长为7， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 8. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长． 【详解】解：方程分解得：， 解得：，， 若2为底，3为腰，三角形三边为3，3，2，周长为； 若2为腰，3为底，三角形三边为2，2，3，周长为． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 9. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴ ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又∵AD=6， ∴四边形EFGH的周长=6+5=11． 故选D． 点睛：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 10. 如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果． 【详解】解：连接BD，与AC交于点F． ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． ∵正方形ABCD的面积为4， ∴AB=2． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=2． ∴所求最小值为2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了轴对称——最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得. 12. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则的长是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，菱形的性质，根据题意得出，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 13. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，根据题意得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 15. 在矩形中，，，是上的动点，于点，于点， 则____________. 【答案】 【解析】 【分析】连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案． 【详解】连接，过作于， ∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，解题关键是求出DM长和得出PE+PF=DM． 三、解答题（每小题8分，共24分） 16. 解方程． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ，． 17. 已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，AF＝ED．求证：四边形 AEDF 是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，则可求得AF=DF，故可证明四边形AEDF是菱形． 【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD． ∵DE∥AC，ED=AF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠EAD=∠ADF， ∴∠FAD=∠FDA， ∴AF=DF， ∴四边形AEDF是菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”． 18. 某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米．求通道的宽是多少米． 【答案】3米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系建立等式． 设通道的宽为x米，表示出阴影部分的总长度与总宽度，根据喷漆面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设通道的宽为x米， 则阴影部分的总长度为米，总宽度为米， ∵喷漆面积为1056平方米， ∴， 整理可得，， 即， 解得，（舍）， 答：通道的宽为3米． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为，求的值． 【答案】（1） 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）． 【解析】 【详解】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】略 【小问2】解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 20. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在矩形中，与相交于点O，于点E，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴为等边三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，三角函数的应用，熟练的利用特殊角的三角函数值求解边长是解本题的关键. （1）先由矩形的性质得，即，因为，，得，即可作答． （2）由为等边三角形，得，设，根据勾股定理建立等式，得，由，代入数值，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等边三角形 ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 则设， 得， ∴ ∵， ∴ 五、解答题（22题12分，23题12分）3共24分） 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以； （3） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值． 【小问1详解】 解：， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 当时，取最大值， 故的最大值为． 23. 已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长； （3）如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1， 在和中， ， ； （2）； （3）存在，或或或． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理即可证得； （2）通过的对应边相等知；然后由即可求得； （3）分三种情况分别讨论即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：如图1， 平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， （全等三角形的对应角相等）； （三角形内角和定理）， ； 在和中， ， ， ，（全等三角形的对应边相等）， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，， ， ①当时，则， ， 设， ， 解得或， ∴P的坐标为或； ②当时，则， ， 是等腰直角三角形， ∴； ③当时，， 是等腰直角三角形， ∴； 综上，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $