14.3 第2课时角的平分线的判定（课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十四章　全等三角形 14.3 第2课时 角的平分线的判定 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册14.3第2课时《角的平分线的判定》专项练习（全文约1412字） ## 一\(E\(BE、CF\)F\)知识梳理 角平分线的判定：**角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上**。 几何语言：若点$P$在$\(∠AOB\)$内部，$PC⊥OA$，$PD⊥OB$，$\(PC=PD\)$，则$OP$平分$\(∠AOB\)$。 辨析对比： - 角平分线**性质**：点在角平分线上 ⇒ 到角两边距离相等（由角推线段相等） - 角平分线**判定**：到角两边距离相等 ⇒ 点在角平分线上（由线段相等推角相等） 注意要点： 1. 必须满足**在角的内部**；如果点在角外部，结论不成立； 2. “距离”依旧是垂线段长度，必须有两条垂直；缺少垂直条件，不能使用判定； 3. 三角形内心：三角形内到三边距离相等的点，是三条角平分线的交点。 解题思路：题目给出垂线段相等，优先用判定定理证明角平分线，不用证全等。常结合平行线\(E\(BE、CF\)F\)全等三角形综合出题。 ## 二\(E\(BE、CF\)F\)专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 角平分线的判定内容是（） A. 角平分线上的点到角两边距离相等 B. 角内部到角两边距离相等的点，在角的平分线上 C. 到角两边线段相等的点在角平分线上 D. 三角形角平分线交于一点 2. 点$P$在$\(∠AOB\)$内部，$PC⊥OA$，$PD⊥OB$，$\(PC=PD\)$，则（） A.$\(OP=PC\)$ B.$OP$平分$\(∠AOB\)$ C.$\(OA=OB\)$ D.$\(∠A=∠B\)$ 3. 下列条件，能判定点在角平分线上的是（） A. 点到角两边线段长度相等 B. 点在角内部，到两边垂线段相等 C. 点到角顶点距离相等 D. 点在角外部，垂线段相等 4. 如图，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，$\(DE=DF\)$，则可以判定（） A.$\(AD=BC\)$ B.$AD$平分$\(∠BAC\)$ C.$\(AB=AC\)$ D.$\(∠B=∠C\)$ 5. 三角形内，到三边距离相等的点是（） A. 三边中线交点 B. 三条高线交点 C. 三条角平分线交点 D. 三边垂直平分线交点 6. 点$P$在$\(∠AOB\)$外部，$PC⊥OA$，$PD⊥OB$，$\(PC=PD\)$，则$OP$（） A. 一定平分$\(∠AOB\)$ B. 不平分$\(∠AOB\)$ C. 不一定平分$\(∠AOB\)$ D. 以上都错 7. 已知$PM⊥OA$，$PN⊥OB$，下列能推出$OP$平分$\(∠AOB\)$的是（） A.$\(PM=PN\)$ B.$\(OM=ON\)$ C.$\(OP=OP\)$ D.$\(∠MPO=∠NOP\)$ 8. 下列说法正确的是（） A. 只要两条线段相等，点就在角平分线上 B. 角平分线判定不需要垂直条件 C. 性质和判定互为互逆命题 D. 三角形外心到三边距离相等 9. 在△ABC中，$DE⊥AB$，$DF⊥BC$，$\(DE=DF\)$，则（） A.$BD$平分$\(∠ABC\)$ B.$\(AD=DC\)$ C.$\(AB=BC\)$ D.$\(∠A=∠C\)$ 10. 若点$P$在$\(∠BAC\)$内部，$PB⊥AB$，$PC⊥AC$，$\(PB=PC\)$，$\(∠BAC\)=60°$，则$\(∠BAP\)$等于（） A.$20^\circ$ B.$30^\circ$ C.$40^\circ$ D.$60^\circ$ ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 角的内部到角两边________相等的点，在角的平分线上。 12. 使用角平分线判定，点必须在角的________。 13. 点$P$在$\(∠AOB\)$内部，$PC⊥OA$，$PD⊥OB$，$\(PC=PD\)$，则$OP$________$\(∠AOB\)$。 14. 三角形的内心到三角形________的距离相等。 15. 角平分线性质与判定是________命题。 16. 若缺少________条件，即使线段相等，也不能使用角平分线判定。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）已知：点$P$在$\(∠ABC\)$内部，$PD⊥AB$于$D$，$PE⊥BC$于$E$，$\(PD=PE\)$。求证：$BP$平分$\(∠ABC\)$。 18.（12分）如图，$D$是$BC$上一点，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，垂足$E\(E\(BE、CF\)F\)F$，且$\(DE=DF\)$。求证：$AD$平分$\(∠BAC\)$。 19.（12分）已知：$BE⊥AC$，$CF⊥AB$，垂足为$E\(E\(BE、CF\)F\)F$，$\(BE=CF\)$，$BE\(E\(BE、CF\)F\)CF$交于点$D$。求证：$AD$平分$\(∠BAC\)$。 ## 三\(E\(BE、CF\)F\)参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.A 10.B **填空题**： 11.距离；12.内部；13.平分；14.三边；15.互逆；16.垂直 **解答题** 17.证明：∵点$P$在$\(∠ABC\)$内部，$PD⊥AB$，$PE⊥BC$，$\(PD=PE\)$， 根据角平分线的判定，∴$BP$平分$\(∠ABC\)$。 18.证明：∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，$\(DE=DF\)$，点$D$在$\(∠BAC\)$内部， 由角平分线的判定可得：$AD$平分$\(∠BAC\)$。 19.证明：∵$BE⊥AC$，$CF⊥AB$，∴$∠BFD=∠CED=90^\circ$。 在△BDF和△CDE中， $\begin{cases} ∠BFD=∠CED\\ ∠BDF=∠CDE（对顶角相等）\\ \(BE=CF\) \Rightarrow BD+DE=CD+DF，可证△BDF≌△CDE(AAS) \end{cases}$ ∴$\(DF=DE\)$。 又∵$DF⊥AB$，$DE⊥AC$，点$D$在$\(∠BAC\)$内部， 根据角平分线判定，$AD$平分$\(∠BAC\)$。 本节核心是区分**角平分线性质和判定**。性质：由角平分线推出垂线段相等；判定：由垂线段相等推出角平分线。高频易错点：①忽略“在角内部”；②没有垂直，直接用判定定理；③混淆内心\(E\(BE、CF\)F\)外心。判定定理可以直接证明角平分线，省去全等证明。大题常把性质\(E\(BE、CF\)F\)判定混合在一起考查，先利用判定证明角平分线，再用性质得到垂线段相等。做题时看清条件是给角平分线，还是给垂线段相等，选择对应定理，规范书写几何语言。 （全文：1412字） 接下来开始**第十五章 轴对称**，第一课时：**15.1.1 轴对称**，同样1412字练习吗？ 学习目标 探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题. 一 经历角平分线性质定理的逆定理的探究过程，培养逻辑推理能力，体会逆向思维；在应用逆定理解决问题的过程中，体会转化思想. 二 三 在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 依据:SSS 相等的角 角的平分线 复习引入 定义 画法 依据:SSS 相等的角 角的平分线 复习引入 定义 画法 ？ 性质 判定 互 逆 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题设：一个点在一个角的平分线上． 结论：它到角的两边的距离相等． 交换题设和结论 新命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 得到的命题还成立吗？快来证一证吧. 探究新知 已知：如图，P 是∠AOB内部一点，PC⊥OA，PD⊥OB，C、 D 分别是垂足,且 PC＝PD . 求证：点 P 在∠ AOB 的平分线上． 证明：作射线OP， ∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠PCO=∠PDO． 在Rt△PCO和Rt△PDO中， ∵ ∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴OP是∠AOB的平分线，即P点在∠AOB的平分线上． 探究新知 　　符号语言: ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 且PD=PE， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 作用：用来说明两个角相等或一条射线是角的平分线． 注意：不能缺少 PD⊥OA，PE⊥OB 这两个条件． 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 探究新知 7 　　角的平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的射线． 探究新知 角的平分线的性质与判定的关系 点在角的平分线上 点到角两边的距离相等 性质 题设 结论 题设 结论 角的平分线的性质与判定是互逆的，它们的条件和结论相反． 判定 探究新知 例：如图所示，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证： （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 分析：（1）由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等； （2）要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上． 探究新知 证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE． 同理PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF． 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等． （2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上． ∴△ABC的三条角平分线交于一点． 探究新知 知识点 角平分线的判定 1.在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(　　) A.点M B.点N C.点P D.点Q 返回 A 基础提优题 2.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺(单位：cm)放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，已知∠POB＝18°，则∠ACP的度数是 (　　) A.36°　　 B.30°　　 C.54°　　 D.72° 返回 A 基础提优题 3. 如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有　　处. 返回 4 【点拨】到三角形三边距离相等的点有1个，到三角形三边所在直线的距离相等的点有4个(三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等).本题易因认为满足条件的点只有一处而导致漏解. 基础提优题 返回 基础提优题 【知识技能类练习】必做题： 1．如图，于点，于点．若，则的度数为（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° B 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为 ． 104° 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，交于点O，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分，∴． 当堂检测 4．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【知识技能类练习】选做题： B 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 证明：（1）如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． （2）设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 当堂检测 4.［2026泰安期中］如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是　　 . 75° 【点拨】∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠ABC＝30°.∵ON⊥BC， OM⊥AB，OM＝ON，∴BO是∠ABC的平分线.∴∠ABO＝∠ABC＝15°.∴∠BOM＝90°－∠ABO＝75°. 返回 基础提优题 5.如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等，OD⊥BC于点D，OD＝3，△ABC的周长是36，则△ABC的面积为　　　. 54 基础提优题 返回 【点拨】∵点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等，∴点O为△ABC的三条角平分线的交点.如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE＝OF＝OD＝3.∵△ABC的周长为36，∴AB＋BC＋AC＝36.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB•OE＋BC•OD＋AC•OF＝(AB＋BC＋AC)•OD＝×36×3＝54. 基础提优题 6. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，且B，O，C在一条直线上，∠AOB＝∠COD，连接AC，BD交于点M，连接OM.求证：点O在∠CMB的平分线上. 【解】∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD. 综合应用题 在△AOC和△BOD中， ∴∠OCA＝∠ODB. 如图，过点O分别作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，则∠OGC＝∠OHD＝90°. 在△OCG和△ODH中， ∴△OCG≌△ODH(AAS)，∴OG＝OH， ∴MO平分∠CMB，∴点O在∠CMB的平分线上. 返回 综合应用题 7. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点M，N，连接MN.MP平分∠AMN，NP平分∠MNB. (1)求证：OP平分∠AOB； 【证明】如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E. 综合应用题 ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC＝PD. ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN， PE⊥OB， ∴PD＝PE，∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB. 综合应用题 (2)若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和. 【解】∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16，∴×8•PD＝16，∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4. 综合应用题 ∵△OMN的面积是24，∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积＋△OMN的面积＝16＋24＝40， ∴△POM的面积＋△PON的面积＝40， ∴OM•PC＋ON•PE＝40， ∴OM•4＋ON•4＝40，∴OM＋ON＝20， 即线段OM与ON的长度之和为20. 返回 综合应用题 角的平分线的判定 内容 作用 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 用来说明两个角相等或一条射线是角的平分线 课堂小结 谢谢观看 THANKS $