14.2 第5课时斜边及一条直角边证全等(HL)（课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十四章　全等三角形 14.2 第5课时 斜边及一条直角边证全等(HL) 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册14.2第5课时《斜边及一条直角边证全等(HL)》专项练习（全文约1412字） ## 一、知识梳理 HL判定定理：**斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等**，简记为HL。 注意：HL**只适用于直角三角形**，普通三角形不能使用HL。使用前提：两个三角形必须是Rt△，书写时要标明直角符号。 辨析： 1. HL本质：在直角三角形中，已知斜边、一条直角边，由勾股定理，另一条直角边长度也随之确定，等价于SSS； 2. 普通三角形没有SSA判定，但直角三角形的“斜边+直角边”不是SSA，是HL，可以判定全等； 3. 直角三角形全等判定除HL外，也可以用SAS、ASA、AAS、SSS。 常用隐含条件：公共斜边、公共直角边；同角的余角相等。 解题思路：先确认两个三角形都是直角三角形，再找斜边对应相等、一组直角边对应相等；证完全等后，利用全等性质得到对应边、对应角相等。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. HL判定全等适用的三角形是（） A. 任意三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形 2. 能使用HL证明两个直角三角形全等的条件是（） A. 一条直角边和一个锐角对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 两条锐角对应相等 D. 斜边和一个锐角对应相等 3. 下列说法正确的是（） A. HL可以用来判定任意三角形全等 B. 两个直角三角形，两边对应相等就一定能用HL证全等 C. 直角三角形全等既可用HL，也可用SAS、ASA等 D. SSA可以判定直角三角形全等 4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，\(AC=DF\)，则判定依据是（） A. SSS B. SAS C. HL D. AAS 5. 如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，若要证明Rt△ABC≌Rt△ADC，依据HL，需要条件（） A. ∠BAC=∠DAC B. BC=DC C. AC=AC D. ∠ACB=∠ACD 6. 两个直角三角形，斜边相等，还满足下面哪个条件可用HL证全等（） A. 一个锐角相等 B. 一条直角边相等 C. 周长相等 D. 面积相等 7. 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，下列不能判定全等的是（） A. AB=A'B'，BC=B'C' B. AC=A'C'，BC=B'C' C. AB=A'B'，∠A=∠A' D. ∠A=∠A'，∠B=∠B' 8. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=BD，则Rt△ABC≌Rt△BAD的依据是（） A. HL B. SAS C. ASA D. AAS 9. Rt△ABC中，斜边AB=10，Rt△DEF斜边DE=10，若\(BC=EF\)=6，则两三角形（） A. 一定不全等 B. 一定全等（HL） C. 不一定全等 D. 无法判断 10. 对于直角三角形全等，下面错误的是（） A. 斜边与一条直角边对应相等，全等 B. 两条直角边对应相等，可用SAS证全等 C. 两个锐角对应相等，一定全等 D. 一锐角与斜边对应相等，可用AAS证全等 ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. HL：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 12. HL只能用于________三角形。 13. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，若________，则可用HL证明全等。 14. Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∠A=36°，则∠D=________。 15. 两个直角三角形，斜边相等，一组直角边相等，则它们的面积________。 16. 如图，∠C=∠D=90°，公共边AB，若AC=AD，则Rt△ABC≌Rt△ABD依据是________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。 18.（12分）如图，∠C=90°，DE⊥AB于E，AC=AE。求证：Rt△ACD≌Rt△AED。 19.（12分）如图，AB⊥CF，DE⊥CF，垂足为B、E，\(AC=DF\)，\(BE=CF\)。求证：\(AC\parallel DF\)。 ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C **填空题**： 11.斜边，直角边；12.直角；13.$\(AC=DF\)$（或$\(BC=EF\)$）；14.$36^\circ$；15.相等；16.HL **解答题** 17.证明：∵$AC⊥BC$，$AD⊥BD$，∴$∠C=∠D=90^\circ$。 在Rt△ABC和Rt△BAD中 $\begin{cases} AB=BA\(\begin{cases} AB=BA\(\begin{cases} AD=AD（公共斜边）\\ AC=AE \end{cases}\)\\ AC=BD \end{cases}\)\\ AC=BD \end{cases}$ ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 18.证明：∵$DE⊥AB$，∠C=90°，∴$∠C=∠AED=90^\circ$。 在Rt△ACD和Rt△AED中 $\begin{cases} AD=AD\(\begin{cases} AB=BA\(\begin{cases} AD=AD（公共斜边）\\ AC=AE \end{cases}\)\\ AC=BD \end{cases}\)\\ AC=AE \end{cases}$ ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。 19.证明：∵$\(BE=CF\)$，∴$\(BE+EC=CF+EC\)$，即$\(BC=EF\)$。 ∵$AB⊥CF$，$DE⊥CF$，∴$∠B=∠DEF=90^\circ$。 在Rt△ABC和Rt△DEF中 $\begin{cases} \(AC=DF\)\\ \(BC=EF\) \end{cases}$ ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠C=∠F，∴$AC\parallel DF$（内错角相等，两直线平行）。 本节核心掌握HL的适用条件，**必须是直角三角形**，条件是斜边+一条直角边。易错点：普通三角形不能用HL；只有两个锐角相等，只能说明相似，不能判定全等。做题第一步先标出直角，确认是直角三角形，再寻找斜边和直角边。书写证明时，三角形前面要加上Rt△，最后括号标注HL。直角三角形全等判定方法较多，解题时灵活选用HL、SAS、ASA、AAS、SSS。证完全等后，利用对应角相等，证明两直线平行，是常考综合题型。HL是直角三角形独有的判定方法，考试证明大题高频出现，要区分HL和SSA，不要混淆。 （全文：1412字） 下一节：**14.3 角的平分线的性质**，同样1412字专项练习吗？ 学习目标 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 一 经历HL的探究过程，体会从一般到特殊的研究方法；应用HL判定直角三角形全等，体会转化思想，提高有条理地思考和表达的能力. 二 三 在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力.在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 复习引入 全等三角形 定义 性质 判定 对应边相等 对应角相等 两边一夹角（SAS） 两角一夹边（ASA） 两角一对边（AAS） 三边 （SSS） 探究：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′＝∠C＝90°，A′B′＝AB，B′C′＝BC．这两个三角形全等吗？ 探究新知 如图所示，由∠C′＝∠C＝90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A′与射线CA重合，那么射线C′B′与射线CB重合．再由B′C′＝BC，可知点B′与点B重合． 为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系． 探究新知 设点M在直角边AC（不包括端点）上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角．若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，则有AB＞BM′＞BM．设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB．因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个．再由点A′在射线CA上，A′B′＝AB，可知点A′与点A重合．这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′≌△ABC． 在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法． 探究新知 符号语言: 在Rt△ABC 与 Rt △ A′B′C′中， ∴Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ (HL) 一般地，有如下判定直角三角形全等的方法： 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 探究新知 例：如图所示，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD． 分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC＝AD．由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件． 探究新知 例：如图所示，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD． 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． ∴BC＝AD． 探究新知 知识点1 判定直角三角形全等的条件：斜边、直角边 1. 如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加的条件是(　 ) A.∠A＝∠D　　 B.AB＝DC　 C.∠B＝∠C　　 D.AE＝DF 返回 B 基础提优题 2.如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠ACD的度数是(　　) A.90°　　 B.60°　　 C.30°　　　 D.45° 返回 B 基础提优题 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.请选择一对你认为全等的三角形并加以证明. 返回 【解】△AED≌△AFD. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△AED和△AFD是直角三角形.在 Rt△AED和Rt△AFD中， ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).(答案不唯一) 基础提优题 　　你能根据例题的解题过程，总结出利用“HL” 证明三角形全等需要注意什么吗？　 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． ∴BC＝AD． （1）两个三角形必须都是直角三角形 （2）带“Rt△”，且大括号中含两个条件 （3）结论带“Rt△” 探究新知 　　直角三角形全等的判定方法 （1）用“HL”：当两个三角形是直角三角形时，首先考虑“HL”； （2）可以作为一般三角形，用“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”进行判定． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1．如图，是内一点，且点到的距离相等，则直接得到的依据是（    ） A． B． C． D． C 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（     ） A． B． C． D． C 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． 证明：（1）∵为的高， ∴． 在和中， ， ∴． 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． （2）∵， ∴，即． ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ． 6 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 解：根据三角形全等的判定方法可知： 当运动到时， ∵在与中， ， ∴， 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 当与点重合时，， ∵在与中， ， ∴， 答：当运动到或点与重合时，才能和全等． 当堂检测 知识点2 直角三角形全等的判定的应用 4.两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点M，另一直角边BE，CD分别落在∠PAQ的边AP和AQ上，且AB＝AC，作射线AM，则在说明AM为∠PAQ的平分线的过程中，证全等的依据是(　　) A.SAS B.ASA C.HL D.SSS C 基础提优题 【点拨】由题意得∠ABM＝∠ACM＝90°.在Rt△ABM与 Rt△ACM中，∴Rt△ABM≌Rt△ACM(HL)， ∴∠BAM＝∠CAM，∴AM是∠PAQ的平分线. 返回 基础提优题 5. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE之间的关系是(　　) A.∠ABC＝∠DFE B.∠ABC＞∠DFE C.∠ABC＋∠DFE＝100° D.∠ABC＋∠DFE＝90° 返回 D 基础提优题 6.［2026天津南开区期中］如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF，CF⊥EF，垂足分别为点E，F，且AE＝CF.求证：Rt△ADE≌Rt△CDF. 基础提优题 【证明】连接BD. 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，∴AD＝CD. ∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). 返回 基础提优题 7.如图，已知 ∠ADB＝∠ACB＝90°，AC＝BD，AC，BD相交于点O，给出下列五个结论：①AD＝BC；②∠DBC＝∠CAD；③AO＝BO；④AB∥CD；⑤DO＝CO. 其中正确结论有(　　) A.2 个　 　　B.3 个　　 C.4 个　 　　D.5 个 D 综合应用题 【点拨】∵在Rt△ADB和Rt△BCA中，AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL).∴AD＝BC，故①正确；∵Rt△ADB≌Rt△BCA，∴∠DAB＝∠CBA，∠DBA＝∠CAB.∴∠DBC＝∠CAD，故②正确；在△AOD和△BOC中，∠ADO＝∠BCO，∠DOA＝∠COB，AD＝BC，∴△AOD≌△BOC(AAS). 综合应用题 ∴AO＝BO，DO＝CO，故③⑤正确；在△ACD和△BDC中，AC＝BD，AD＝BC，CD＝DC，∴△ACD≌△BDC.∴∠ACD＝∠BDC.∵∠CDO＋∠DCO＋∠COD＝180°，∠ACD＝∠BDC，∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠ABD＝∠BAC，∠COD＝∠AOB.∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD，故④正确.∴五个结论都正确. 返回 综合应用题 8.如图，在△ABC中，AB＝BC，AB⊥BC，点B的坐标为(0，2)，点C的坐标为(2，－2)，则点A的坐标为(　　) A.(－2，0)　　 B.(－3，0) 　　 C.(－4，0) 　　 D.(－5，0) C 综合应用题 9. ［2026衡水期中］如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝15 cm，AC＝6 cm，过点B作BM⊥AB.动点E从点A出发以3 cm/s的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着点E的运动而运动，始终保持ED＝CB.若点E的运动时间为t s(t＞0)，则当以B，E，D为顶点的三角形与△ACB全等时，t＝　　　 　. 3或7或10 综合应用题 10. 如图，D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE＝DF，点B是射线AM上一点，AB＝6，BE＝2，在射线AN上取一点C，使得DC＝DB，则AC的长为　　　　. 6或10 综合应用题 对任意三角形均成立 仅适用于直角三角形 “边边边”或“SSS” “边角边”或“SAS” “角边角”或“ASA” “角角边”或“AAS” “斜边、直角边”或“HL” 三角形全等的判定 课堂小结 谢谢观看 THANKS $