14.3.1 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3 角的平分线 第一课时 角的平分线的性质 第十四章 全等三角形 人教版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 会用尺规作图做出角的角平分线，掌握角平分线的性质，能结合图形书写它的数学符号语言， 学生通过画图探究及自己推理论证得出角平分线性质的过程达到掌握角平分线的性质，会利用角平分线的性质进行简单的计算与证明。 培养学生积极探求客观真理的科学态度，提高动手能力和几何推理能力 知识回顾 （1）两个三角形全等 SSS SAS AAS ASA 从直线外一点到这条直线的垂线段的长. 点到直线的距离: HL 直角三角形全等判定特殊方法： 三角形全等性质 判断方法 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 证明线段相等和角相等的重要方法 ┐ A B P C （2）如图，点P是直线AB外一点，过点P作PC⊥AB，垂足为C，则线段PC的长度称为 。 点P到直线AB的距离 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线 O B A C 想一想,我们学过的角的平分线的概念是什么? 知识回顾 ∵∠AOB =2∠AOC =2∠BOC 文字语言： 图示： 几何语言： ∴OC是的角平分线 ∵∠AOC =∠BOC= 反之： ∵OC是的角平分线 ∴∠AOC =∠BOC= P 点P是角的平分线上的点，那么点P由什么特性？ 与角的两边上的的点有关系吗？ 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系。 可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A B M N C O 例1 已知: ∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. ☀思考：角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系是什么？ 如图，OC是∠AOB 的平分线.点，，，…在OC上，过点， ，，…分别画0A与OB的垂线，垂足分别为与与与与…….分别比较、……，你有什么发现? ☀归纳 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. ☀思考：你能证明这个性质吗？ 已知：一个点在角的平分线上，求证：这个点到这个角两边的距离相等.用符号表示如下： 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，求证PD=PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE,就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°. ∴△PDO≌△PEO（AAS）， ∴PD=PE. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP， 2.请你找出角的平分线的性质的已知和求证，完成这个证明. 新课导入 1.用尺规作已知角的平分线： 知识点1．作已知角的平分线（重点） 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线． 新课讲解 2.作图依据：构造△OMC≌△ONC，利用全等三角形的对应角相等，得到角的平分线. 注：(1)画“射线OC”不能叙述为“连接OC”．因为角的平分线是一条射线． (2)两弧的交点应该在角的内部找，因为角的平分线肯定在角的内部． 新课讲解 1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.符号语言： 如图，∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE. 知识点2．角的平分线的性质（难点） 注：(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据． (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角的平分线上的已知点向另一边作垂线段． 新课讲解 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 知识点3．证明几何命题的一般步骤 新课讲解 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 ①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3， 则点P到OB的距离为3 O B A C P D 图3 O B A C P D 图2 E O B A C P D 图1 E ┐ ┐ ┐ 判断下列命题是否正确： （PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）. （OC不是∠AOB的平分线）. （PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）. 角的平分线的性质的标准条件 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC. 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC. C A B D F E ┐ ┐ =DE+DB+EB=? 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D， DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，求△DEB的周长. 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 解：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC. 又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE. ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路、铁路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何处？ 解：∵集贸市场到公路和铁路的距离相等 ∴集贸市场应该在公路和铁路的角平分线上 不妨设公路和铁路的交点为O 作∠AOB的平分线OP 在OP上找一点S，使得OS=500m 点S即为集贸市场 A B O P 看见距离，就想角的平分线！ 回顾：三角形的三条角平分线交于一点如何证明？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 证明：过点P作PE⊥BC于点E，作PD⊥AB于点D， 作PF⊥AC于点F， ∵BM、CN分别平分∠ABC、∠ACB ∴PD=PF 由于三角形三条角平分线交于一点 故点P也在∠A的平分线上 ∴PD=PF=PE ∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等 归纳总结 角的平分线 作一个角的平分线 角的平分线的性质 图示 的点到 的距离相等. 图示 依据 符号 语言 角的平分线上 角两边 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE. SSS 感受中考 1.(2025·内蒙古)如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧.交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为（ ） A.100° B.80° C.50° D.40° D 感受中考 2.(2024·天津)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为( ) A.60° B.65° C.70° D. 75° B 感受中考 3.(2024•绵阳)如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 B 感受中考 4.(2025·陕西)如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP =25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法) 点P即为所求. 1.如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中错误的是 ( ) A. PC=PD. B. ∠CPO=∠DPO. C. OC=OP. D. OC=OD. C 随堂练习 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB. 若AC=2，DE=1，则S△ACD=_______. 1 F 随堂练习 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. （2）分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E. （3）作射线OE.交MN于P. 此时点P到射线OA和OB的距离相等. 3.如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等. O B A M N E C D P 随堂练习 4.如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2. 在△AOD和△BOD中, OA=OB， ∠2=∠1， OD=OD， ∴△AOD≌△BOD（SAS）， 随堂练习 4.如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∴∠3=∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM=PN. (角平分线上的点到角两边的距离相等) 随堂练习 A．1 B．2 C．3 D．4 C 6．（2024·遵义期中）如图，在△ABC中，BC＝9 cm，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝2 cm.则△BCD的面积为 _____cm2. 9 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点P从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t s(t＞0). (1)AP的长为 ；（用含t的代数式表示） (2)若点P在∠ABC的角平分线上，已知△APB的面积为20，求t的值． 解：(1)4t (2)过点P作PM⊥AB于点M，如答图所示． ∵∠ACB＝90°， ∴PC⊥BC. 又∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB， ∴PC＝PM. ∵AP＝4t， ∴PC＝PM＝AC－AP＝8－4t. 8．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连接AD. (1)如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ACD的值为 ； (2)类比探究：如图②，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD∶S△ACD的值；（用含m，n的代数式表示） 解：(1)1∶1 35 如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，求证PD＝PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE. 作法：如图所示． (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC，射线OC即为所求． 5．（2025·贵州一模）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于 eq \f(1,2)AB长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为(2a－3，a)，则a的值为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 ∴S△APB＝ eq \f(1,2)AB·PM＝ eq \f(1,2)×10×(8－4t)＝20， 解得t＝1， 即t的值为1. (2)过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. ∵AD为∠BAC的平分线， ∴DE＝DF. ∵AB＝m，AC＝n， ∴S△ABD∶S△ACD＝（ eq \f(1,2)AB·DE）∶（ eq \f(1,2)AC·DF）＝m∶n； $