14.2.4斜边及一条直角边证全等（HL）（SSS）（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的HL判定及尺规作图，通过舞台背景直角三角形问题导入，衔接普通三角形全等判定方法，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生系统掌握HL定理及作图原理。 其亮点在于以现实情境问题驱动（数学眼光），通过推理辨析HL与其他判定的区别（数学思维），规范几何书写和作图步骤（数学语言），融入分层练习与中考题，助力学生提升推理及应用能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 14.2.4斜边及一条直角边证全等（HL） 第十四章 全等三角形 14.2.4 直角三角形全等的判定（HL）同步精讲练习题 一、核心知识点精讲 1. HL判定定理（斜边、直角边） 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为HL。 适用范围（重中之重）：只针对直角三角形，普通三角形不能使用HL判定。 核心优势：HL是直角三角形专属判定，只需两个条件，比普通三角形判定更简便。 2. 标准几何书写格式（考试必考） 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∵  AB=DE（斜边对应相等）     AC=DF（直角边对应相等） ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 3. 全等判定方法总区分 普通三角形判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS 直角三角形专属判定方法：HL（同时也可以使用SSS、SAS、ASA、AAS） 注意：HL只能用于直角三角形，非直角三角形即使有斜边、直角边条件，也不能用HL。 4. 高频隐含条件 （1）直角相等：所有直角均为90°，可直接使用； （2）公共直角边、公共斜边； （3）同角的余角相等、垂直得到直角。 5. 易错重难点 （1）HL必须是：斜边+一条直角边，不能是两条直角边（两条直角边用SAS）； （2）必须先写明三角形是直角三角形，才能用HL； （3）SSA不能判定普通三角形全等，但直角三角形HL本质是特殊的SSA，可以判定全等。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 下列关于HL判定定理说法正确的是（） A. 可用于任意三角形 B. 只适用于直角三角形 C. 需要三个条件 D. 是两角一边判定 2. 判定两个直角三角形全等，不能用的方法是（） A. HL B. SSS C. AAA D. SAS 3. Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若斜边AB=DE，直角边BC=EF，则判定全等依据是（） A. SSS B. SAS C. HL D. AAS （二）填空题 4. HL判定定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 5. 直角三角形全等判定中，专属方法是________。 6. 在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，只需补充________，即可用HL证明全等。 （三）基础证明题 7. 已知：∠C=∠D=90°，AC=AD。求证：Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。 8. 已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF。求证：△ABC≌△DEF。 三、能力提升题 9. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD。求证：BC=BD。 10. 已知：点C、D在BE上，AC⊥BE，DF⊥BE，AB=DE，BC=EF。求证：AB∥DE。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. B 解析：HL是直角三角形专属全等判定定理。 2. C 解析：AAA只能证明相似，无法判定全等。 3. C 解析：斜边+直角边对应相等，符合HL判定条件。 （二）填空题 4. 斜边、直角边 5. HL 6. AC=AD（或BC=BD） （三）基础证明题 7. 证明：∵∠C=∠D=90°，∴△ABC、△ABD均为直角三角形 在Rt△ABC和Rt△ABD中 ∵ AB=AB（公共斜边）     AC=AD（已知） ∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL） 8. 证明：∵∠C=∠F=90°，∴两三角形均为直角三角形 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∵ AB=DE（已知）     AC=DF（已知） ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） （四）能力提升题解析 9. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△ABD中 ∵ AB=AB（公共斜边），AC=AD（已知） ∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL） ∴ BC=BD（全等三角形对应边相等） 10. 证明：∵AC⊥BE，DF⊥BE，∴∠ACB=∠DFE=90° 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∵ AB=DE（已知），BC=EF（已知） ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） ∴ ∠B=∠E（全等三角形对应角相等） ∴ AB∥DE（内错角相等，两直线平行） 五、全章判定方法总结 1. 通用判定：SSS、SAS、ASA、AAS（适用于所有三角形）； 2. 直角三角形专属：HL（斜边+直角边，条件最简）； 3. 易错口诀：直角优先想HL，非直不用HL；两角找ASA/AAS，两边找SAS，三边找SSS。 会用“HL”判定直角三角形全等. 探索直角三角形全等的判定方法. 会利用基本作图作三角形:已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;通过作图,理解尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念. 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但是每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？ （1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？ （2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？ 思考：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等吗？ 知识点1 作一个角等于已知角 如图，已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB的大小. O B A 知识点1 作一个角等于已知角 对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的.如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，进而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠AOB的对应角就是要求作的角.这就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB. 想一想，为什么？ O B A 因为全等三角形的对应角相等. O D B C A C′ O′ A′ B′ D ′ 作法：如图， ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D； ②作一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′； ③以点C′为圆心，CD长为半径作弧，与上一步作的弧交于点D′； ④过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB． 知识点1 作一个角等于已知角 知识点1 作一个角等于已知角 为什么呢？ 知识点1 作一个角等于已知角 O D B C A C′ O′ A′ B′ D ′ △ODC≌△O′D′C′（SSS） ∠DOC =∠D′O′C′. 知识点1 作一个角等于已知角 分析：我们知道，同位角相等，两直线平行.可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD.为此需要先作出截线，再作出相等的同位角. A B C 例1 如图，已知直线AB及直线AB外一点C. 利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD. 知识点1 作一个角等于已知角 例1 如图，已知直线AB及直线AB外一点C. 利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD. D F E 作法：如图， （1）过点C作一条直线，与直线AB相交于点E; （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB; （3）反向延长CD，得直线CD，则直线CD∥AB. A B C 还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图. A B C F E D 知识点1 作一个角等于已知角 A B C 跟踪训练 如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线经过△ABC的顶点A，并且与边BC平行. 作法：如图. （1）在点A处作∠ACB的内错角∠DAC，使∠DAC=∠ACB; （2）反向延长AD，得直线AD，则AD∥BC. D 跟踪训练 如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线经过△ABC的顶点A，并且与边BC平行. D 解：也可过点A作与∠B相等的同位角，如图，AD即为所求. 知识点1 作一个角等于已知角 b a α E D A B C 知识点2 作三角形 例2 如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α. 作法：如图. （1）作∠DAE=∠α； （2）在射线AD上作AB=a，在射线AE上作AC=b； （3）连接BC，则△ABC就是所求作的三角形. 1. 如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，则 判定图中两三角形全等的条件是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 14 2. ［2025济宁月考］如图，作一个角等于已知角（尺规作图） 的正确顺序是( ) A A. ①⑤②④③ B. ②①③④⑤ C. ②①④③⑤ D. ①③②④⑤ 返回 中考考法 15 3. ［2025淄博期中］根据下列已知条件，能画出唯一 的是( ) D A. ，， B. ，， C. ， D. ， ， 返回 中考考法 16 4. 利用下列尺规作图，不一定能判定直线平行于直线 的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 17 5. ［2025唐山期中］如图，已知与上的点，点 ， 现进行如下操作： ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接 ； ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，交第②步中所画的弧于 点，连接 . 下列结论不能由上述操作结果得出的是( ) 中考考法 18 A. B. C. D. √ 返回 中考考法 19 6.［2025菏泽期中］如图，已知线段和 ，求作 ， 使，， （使用直尺和圆规，不写 画法，保留作图痕迹）. 【解】如图， 为所求. 返回 中考考法 20 7.如图，已知 . 中考考法 21 （1）请根据“”作，使，其中点 在右侧，且 （要求：尺规作图，只保留作图痕迹， 不写作法）; 【解】如图. 中考考法 22 （2）若 ，比的2倍小 ，求 的度数. 中考考法 23 比的2倍小 ， . ， ， ， ， ， 由（1）作图可知， ， . 返回 中考考法 24 尺规作图 作一个角等于已知角，依据：SSS 过直线外一点作这条直线的平行线 依据：“同位角相等，两直线平行” 或“内错角相等，两直线平行” 已知两边及其夹角作三角形， 已知两角及其夹边作三角形. 课堂小结 $