14.3 第1课时 角的平分线的性质（课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十四章　全等三角形 14.3 第1课时 角的平分线的性质 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册14.3第1课时《角的平分线的性质》专项练习（全文约1412字） ## 一\(A\(A、C\)B\)知识梳理 角平分线的性质：**角的平分线上的点到角两边的距离相等**。 关键点解读： 1. “距离”指的是**垂线段的长度**，不是点到边上任意一点的线段； 2. 使用性质的前提：①点在角平分线上；②两条线段分别垂直于角的两条边； 3. 几何语言：若$OP$平分$\(∠AOB\)$，$PC⊥OA$，$PD⊥OB$，则$\(PC=PD\)$。 拓展辨析：角平分线性质可以直接证明两条垂线段相等，**不需要再证明三角形全等**，简化证明步骤。 常用隐含条件：垂直可得90°；公共边。 尺规作角平分线原理：用SSS证明两个三角形全等，得到对应角相等，从而作出角平分线。 易错提醒：若缺少垂直条件，不能直接使用角平分线性质。 ## 二\(A\(A、C\)B\)专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 角平分线的性质是（） A. 角平分线上的点到角两边线段长度相等 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 角平分线平分角的对边 D. 角平分线上的点到角顶点距离相等 2. 已知$OC$平分$\(∠AOB\)$，点$P$在$OC$上，$PM⊥OA$于$M$，$PN⊥OB$于$N$，则一定成立的是（） A.$\(PM=PN\)$ B.$\(PM=OM\)$ C.$\(OP=PN\)$ D.$\(OM=OP\)$ 3. 如图，$AD$平分$\(∠BAC\)$，$DB⊥AB$，$DC⊥AC$，若$\(DB=4\)$，则$DC$的长为（） A.2 B.3 C.4 D.5 4. 下列条件，不能使用角平分线性质得到线段相等的是（） A.点在角平分线上，且向两边作垂线 B.缺少垂直条件，点在角平分线上 C.角平分线+两条垂线段 D.角平分线，两个垂足 5. $OP$平分$\(∠MON\)$，$PA⊥OM$，$PB⊥ON$，$A\(A\(A、C\)B\)B$为垂足，下列结论错误的是（） A.$\(PA=PB\)$ B.$\(∠APO=∠BPO\)$ C.$\(OA=OB\)$ D.$\(OP=PA\)$ 6. 在△ABC中，$\(∠C=90°\)$，$AD$平分$\(∠CAB\)$，$\(\(DC=\)5\)$，则点$D$到$AB$的距离是（） A.3 B.4 C.5 D.6 7. 下列说法正确的是（） A.到角两边距离相等的点一定在角平分线上（这是判定，不是性质） B.角平分线性质可直接证明垂线段相等，不用证全等 C.角平分线上任意一点到顶点距离相等 D.只要有垂直，就可以用角平分线性质 8. 如图，$BE$平分$\(∠ABC\)$，$ED⊥AB$，$EC⊥BC$，$\(ED=3\)$，则$EC$等于（） A.2 B.3 C.4 D.6 9. 已知点$P$在$\(∠AOB\)$的平分线上，$P$到$OA$距离为6，则$P$到$OB$距离为（） A.5 B.6 C.7 D.8 10. 三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离（） A.互不相等 B.有两组相等 C.全部相等 D.无法确定 ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 角平分线上的点到角两边的________相等。 12. 距离指的是点向边所作________线段的长度。 13. $OC$平分$\(∠AOB\)$，点$P$在$OC$上，$PM⊥OA$，$PN⊥OB$，则$PM$________$PN$。 14. △ABC中，$\(∠C=90°\)$，$AD$平分$\(∠BAC\)$，点$D$到$AB$距离为7，则$\(DC=\)$________。 15. 三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________。 16. 若点$P$在角平分线上，但线段不垂直角的两边，则这两条线段长度________一定相等（填“是”或“不是”）。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）已知：如图，$AD$平分$\(∠BAC\)$，$DB⊥AB$，$DC⊥AC$。求证：$\(DB=DC\)$。 18.（12分）如图，在△ABC中，$\(∠C=90°\)$，$AD$平分$\(∠CAB\)$，$DE⊥AB$于$E$。求证：$\(CD=DE\)$。 19.（12分）如图，$BD$平分$\(∠ABC\)$，$DA⊥AB$，$DC⊥BC$，垂足分别为$A\(A\(A、C\)B\)C$。求证：$\(AD=CD\)$。 ## 三\(A\(A、C\)B\)参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.B 9.B 10.C **填空题**： 11.距离；12.垂；13.=；14.7；15.内心；16.不是 **解答题** 17.证明：∵$AD$平分$\(∠BAC\)$，$DB⊥AB$，$DC⊥AC$， 根据角平分线的性质，∴$\(DB=DC\)$。 18.证明：∵$AD$平分$\(∠CAB\)$，$\(∠C=90°\)$即$DC⊥AC$，$DE⊥AB$， 由角平分线的性质可得：$\(CD=DE\)$。 19.证明：∵$BD$平分$\(∠ABC\)$，$DA⊥AB$，$DC⊥BC$， 根据角平分线的性质，∴$\(AD=CD\)$。 本节重点掌握角平分线性质的使用条件：**角平分线+两个垂直**，才能直接得到垂线段相等。很多同学容易忽略“垂直”这个前提，直接用性质，造成扣分。注意区分：性质是“角平分线上的点→到两边距离相等”；下节课学习判定是“到角两边距离相等的点→在角平分线上”，不要搞混。角平分线性质可以省去全等证明，直接得到线段相等，简化证明过程。三角形三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等，是填空常考点。做题读题，一定要看清有没有垂直，找准垂足，规范书写几何语言。 （全文：1412字） 下一节：**14.3 第2课时 角平分线的判定**，同样1412字专项练习吗？ 学习目标 会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题. 一 经历“操作—猜想—验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，体会转化思想. 二 三 在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 情境引入 问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 度量法 说一说角平分线的定义？ 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. ∵∠AOC=∠BOC=∠AOB ∴OC是∠AOB的角平分线 ∵ OC是∠AOB的角平分线∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 探究新知 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等．本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上． 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的．我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系． 探究新知 5 探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系． 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN？ 探究新知 在图中可以发现，在△OPM和△OPN中，OP＝OP，∠POM＝∠PON．如果OM＝ON，那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM＝PN． 反过来，如图所示，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM＝ON．点P在∠AOB的内部，PM＝PN．连接OP，可以证明△OPM≌△OPN（SSS），所以∠POM＝∠PON，即点P在∠AOB的平分线上． 探究新知 思考：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 分析：根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了． 探究新知 作法：如图所示，已知∠AOB． （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）作射线OC．射线OC即为∠AOB的平分线． 想一想为什么？ 探究新知 下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形． 探究新知 探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线．点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3……．分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现？ P1D1＝P1E1，P2D2＝P2E2，P3D3＝P3E3，…， 探究新知 猜想角的平分线有以下性质： 角的平分线上的点到角两边的距离相等． 你能利用全等三角形证明这个性质吗？ 我们证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证． 探究新知 已知：如图所示，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD＝PE． 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD＝PE．由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件． 探究新知 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝∠BOC． ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°． 在△OPD和△OPE中， ∴△OPD≌△OPE（AAS）． ∴PD＝PE． 探究新知 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1．明确命题中的已知和求证； 2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 　　根据题意，画出图形时，作图要尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论；不规范的图形容易误导解题思路． 探究新知 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 探究新知 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 符号语言: ∵点P在∠AOB 平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. （1）“距离”指的是点到角的两边的垂线段的长度； （2）使用该性质的前提条件是图中有角平分线和垂直条件． 探究新知 例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：∠B＝∠C. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠B＝∠C 探究新知 知识点1 角的平分线的作法 1.在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是(　　)   A.①②　　 B.①③　　 C.②③　　 D.只有① B 基础提优题 19 【点拨】在题图①中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在题图③中，如图，利用作法得AE＝AF，AM＝AN. 在△AFM和△AEN中， ∴△AFM≌△AEN(SAS)， ∴∠AMD＝∠AND.∵AM＝AN，AE＝AF，∴AM－AE＝AN－AF，即ME＝NF. 基础提优题 在△MDE和△NDF中， ∴△MDE≌△NDF(AAS)，∴DM＝DN. 又∵AD＝AD，AM＝AN，∴△ADM≌△ADN(SSS)， ∴∠MAD＝∠NAD，∴AD是∠BAC的平分线； 在题图②中，利用基本作图得到点D为BC的中点，则AD为BC边上的中线.则①③可得出射线AD平分∠BAC.故选B. 返回 基础提优题 2.［2025陕西］如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法) 返回 【解】如图，点P即为所求. 基础提优题 【知识技能类练习】必做题： 1．如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（    ） A． B． C． D． D 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． C 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，平分于点D，于点E，与交于点O．求证：． 证明∵平分，于点D，于点E， ∴，， 在与中 ， ∴， ∴． 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 3或5 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等． (1)满足条件的加气站共有______处； (2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 4 解：（2）如图，点即为所求. 当堂检测 知识点2 角平分线的性质 3.如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为(　　) A.(－4，3)　　 B.(4，－3) C.(3，－4)　　 D.(－3，4) 返回 A 基础提优题 【点拨】过点P作PE⊥BC于E，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD.∵PA＋PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4.∴点P到BC的距离为4. 4. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，求点P到BC的距离是(　　) A.3　　　 B.4　 　　 C.5　　 D.6 返回 B 基础提优题 【点拨】∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED (HL)，∴AC＝AE，CD＝ED，∴△DEB的周长为BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB.∵AB＝6 cm， 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为　　　　. 返回 6 cm ∴△DEB的周长为6 cm. 基础提优题 6. 如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　　　. 返回 7 【点拨】∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离.∵点O到BC的距离为3.5，∴点O到AB的距离为3.5.∵AB＝4，∴△ABO的面积为×4×3.5＝7. 基础提优题 7.［2026厦门期中］如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； 【解】如图，BD即为∠ABC的平分线. 基础提优题 【解】如图，过点D作DH⊥AB于点H. ∵∠C＝90°，∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，DH⊥AB， ∴DH＝CD＝3， ∴S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝BC•CD＋AB•DH＝×3BC＋×3AB＝×3(BC＋AB)＝×3×16＝24. (2)在(1)的条件下，若CD＝3，AB＋BC＝16，求△ABC的面积. 返回 基础提优题 8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是(　　) A.2 　　 B.3　　 C.4　　 D.5 C 综合应用题 【点拨】如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2.∵△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，∴S△ADC＝S△ABC＝×10＝4，∴S△ADC＝AC•DF＝AC×2＝4，解得AC＝4. 返回 综合应用题 9. ［宣城自主招生］如图，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线恰好相交于一点P(A，P，C三点不共线)，记△APD，△APB，△BPC，△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则有(　　) A.S1＋S3＝S2＋S4　　 B.S1＋S2＝S3＋S4 C.S1＋S4＝S2＋S3　　 D.S1＝S3 A 综合应用题 10. 如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点.已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为　　　　. 返回 3或7 综合应用题 11. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CD相交于点O，过点O作OM⊥BC于点M，则以下结论：①若∠A＝50°，则∠BOC＝115°；②＝；③若OM＝m，AB＋BC＋AC＝n，则S△ABC＝mn；④平面内到三条直线AB，AC，BC距离相等的点有3个.其中正确的有　　　　.(只填写序号) ①②③ 综合应用题 角的平分线 尺规作角的平分线 角的平分线的性质 几何命题的证明步骤 角的平分线上的点到 角的两边的距离相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $