21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(华东师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习旧知（解法、求根公式、根的个数判定）搭建学习支架，引导学生从具体方程探究两根和与积，逐步推广至一般形式，构建完整知识脉络。 其亮点是以问题驱动探究，从特殊到一般培养数学思维（推理能力），用符号语言精准表达韦达定理及拓展变形（如x₁²+x₂²等），实例涵盖判断根、求值及矩形周长等应用。能提升学生抽象能力与应用意识，教师可借助层次化设计高效教学。

第二十一章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 LOGO 情境引入 复习旧知 2. 求根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 自主探究 学习目标 通过探索，了解一元二次方程根与系数的关系，并能解决相应问题. 自主探究 探究新知 求出一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根x1和x2，计算x1＋x2和x1·x2的值．它们与方程的系数有什么关系？ 方程x2＋3x－4＝0的两根为x1＝1，x2＝－4， 于是x1＋x2＝－3，x1·x2＝－4. 我们发现：这个方程的二次项系数为1，它的两根之和－3等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项－4. 换几个一元二次方程再试试，结果怎样？ 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 自主探究 探究新知 探索：我们来考察方程 x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)． 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 自主探究 探究新知 概括 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2， 那么 x1＋x2＝－p， x1·x2＝q. 例8 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋3x－5＝0； 解： (1) 设两根为x1，x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1＋x2＝－3，x1·x2＝－5. 自主探究 探究新知 解： 方程两边同除以2，得 设两根为x1，x2，可得 (2)2x2－3x－5＝0. . 自主探究 探究新知 例9 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2－4ac≥0)的根与系数的关系． 解：方程两边同除以a，得 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 自主探究 探究新知 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的特征(二次项系数为1)．利用这个结论，我们可以直接写出例1中题(2)的答案： 自主探究 探究新知 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根是 x1，x2， 那么 （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条为 b2 - 4ac≥0. 拓展 自主探究 探究新知 拓展 已知x1,x2为一元二次方程的两个根，则常见的结论如下： 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有是跟的话，请直接写出两根之和和两根之积. （1） x 2 - 6x - 15 = 0. 　 （2）3x 2 + 7x + 9 = 0. 　 （3）5x - 1 = 4x 2 . 自主探究 探究新知 自主探究 探究新知 x1 + x2 = 6， x1 x2 = -15 x1 + x2 = x1 x2 = 解：（1）有实数根， （2）∵b2-4ac=72-4×3×9=-59＜0， ∴方 程没有实数根. （3）有实数根， 巩固练习 1. 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2的值等于________． 2. 设a,b是一元二次方程x2＋8x－1＝0的两个不相等的实数根,则 ＝________． -2 巩固练习 8 巩固练习 3. 已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋ c＝0的一个根，则c的值为为________． 4. 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为________． -4 1 巩固练习 5. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2026＝________． 2037 6. 若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0 (0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________． 16 巩固练习 巩固练习 7. 已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-4＝0的两个根，试求下列代数式的值： (2)(x1＋1)(x2＋1)； (3) x1－x2. (1) x12＋x22； 巩固练习 巩固练习 8. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值． Δ≥0，即32－4(m－1)≥0，解得m≤ m=-3 巩固练习 作业布置 作业布置 作业： 教材第36-37页 练习1-3题. 谢谢 ! 谢谢聆听 LOGO $