21.2.4一元二次方程根的判别式 课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026-2027学年华东师大版九年级数学上册 第21章 21.2 一元二次方程的解法 21.2.4 一元二次方程根的 判别式 学习目标 1.经历一元二次方程根的情况的探究过程,归纳出一元二次方程根的判别式. 2.能运用根的判别式,判断一元二次方程根的情况.(重点) 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.(难点) 一、 一元二次方程根的判别式 问题1 一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是什么? 提示 x=(b2-4ac≥0). 问题2 用公式法解下列方程: (1)x2-6x+8=0; 提示 方程x2-6x+8=0,这里a=1,b=-6,c=8, ∴b2-4ac=4,∴方程的解x1=2,x2=4. (2)x2+6x+9=0; 提示 方程x2+6x+9=0,这里a=1,b=6,c=9, ∴b2-4ac=0,∴方程的解x1=x2=-3. (3)x2-2x+5=0. 提示 方程x2-2x+5=0,这里a=1,b=-2,c=5, ∴b2-4ac=-16,因为求根公式中的被开方数不能负数,我们无法计算x的值,∴方程无解. 问题3 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况如何? 提示 b2-4ac的值决定了方程是否有解. (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根: x1=,x2=; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根:x1=x2=-; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 知识梳理 一元二次方程根的判别式:这里的叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“ ”来表示,用它可以直接判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况: 当 >0时,方程有的实数根; 当 =0时,方程有的实数根; 当 <0时,方程实数根. b2-4ac 两个不相等 两个相等 没有 例1 (课本P32例7)不解方程,判断下列方程的根的情况: (1)3x2=5x-2; 解 原方程可变形为3x2-5x+2=0. 因为 =(-5)2-4 3 2=25-24=1>0, 所以方程有两个不相等的实数根. 例1 (课本P32例7)不解方程,判断下列方程的根的情况: (2)4x2-2x+=0; 解 因为 =(-2)2-4 4 =0, 所以方程有两个相等的实数根. 例1 (课本P32例7)不解方程,判断下列方程的根的情况: (3)4(y2+1)-y=0. 解 原方程可变形为4y2-y+4=0. 因为 =(-1)2-4 4 4=-63<0, 所以方程没有实数根. 反思感悟 一元二次方程的根的情况的判断步骤: 变形:化已知方程为一般形式. 定系:用a,b,c写出各项系数. 计算:确定b2-4ac的符号. 判断:b2-4ac>0⥫⥬方程两个不相等的实数根; b2-4ac=0⥫⥬方程两个相等的实数根; b2-4ac<0⥫⥬方程没有实数根. 跟踪训练1 (1)一元二次方程x2-5x+10=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 √ 解析 x2-5x+10=0,∵a=1,b=-5,c=10, ∴ =(-5)2-4 1 10=-15<0, ∴方程没有实数根. (2)不解方程,判断下列方程的根的情况: ①x2-x-1=0;②3x2-4x+3=0;③x(3x-4)=-3+2x. 解 ①∵a=1,b=-,c=-1,∴b2-4ac=(-)2+4 1 1=3+4=7>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ②∵a=3,b=-4,c=3,∴b2-4ac=(-4)2-4 3 3=16-36=-20<0, ∴方程没有实数根. ③原方程变形为3x2-6x+3=0,∵a=3,b=-6,c=3, ∴b2-4ac=(-6)2-4 3 3=36-36=0, ∴方程有两个相等的实数根. 二、 运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围 例2 已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)当k取何值时,方程有两个相等的实数根? (3)当k取何值时,方程没有实数根? 解 因为a=2,b=-(3+4k),c=2k2+k, 所以 =b2-4ac=[-(3+4k)]2-4 2 (2k2+k)=16k+9. (1)若方程有两个不相等的实数根,则 >0,即16k+9>0,所以k>-. (2)若方程有两个相等的实数根,则 =0,即16k+9=0,所以k=-. (3)若方程没有实数根,则 <0,即16k+9<0,所以k<-. 反思感悟 运用根的判别式求一元二次方程中字母系数取值范围的步骤:确定判别式 根据条件列不等式(或等式) 解不等式(或等式)并考虑二次项系数. 跟踪训练2 (1)一元二次方程kx2-6x+3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k>-3 D.k>-3且k≠0 √ 解析 由条件可知 >0且k≠0,∴ =(-6)2-4 k 3=36-12k>0,∴k<3, 又∵k≠0,∴k<3且k≠0. (2)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-2)x+m2=0. ①当方程总有两个不相等的实数根时,求m的取值范围; 解 x2+(2m-2)x+m2=0, ∵a=1,b=2m-2,c=m2, ∴ =b2-4ac=(2m-2)2-4 1 m2=-8m+4, ∵方程总有两个不相等的实数根, ∴ =-8m+4>0, 解得m<. (2)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-2)x+m2=0. ②若方程有一个根为3,求m2+6m+1的值. 解 ∵方程的一个根为3, ∴32+(2m-2) 3+m2=0, ∴m2+6m+9-6=0, ∴m2+6m=-3, ∴m2+6m+1=-3+1=-2. 课堂小结 1.一元二次方程根的判别式 : >0,方程有两个不相等的实数根; =0,方程有两个相等的实数根; <0,方程无实数根. 2.注意:方程有实数根,是指 ≥0; 3.用 解决实际问题时,不要忽略二次项系数a≠0这个条件. 1.一元二次方程x2=1的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 √ 解析 因为一元二次方程为x2=1,即x2-1=0,则 =02-4 1 (-1)=4>0,所以此方程有两个不相等的实数根. 课堂练习 2.若关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为 A.-4 B.4 C.-2 D.2 √ 解析 依题意得, =16-4m=0,解得m=4. 课堂练习 3.关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+(m+1)=0有实数根,则m的取值范围是. m≥-且m≠1 解析 ∵一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+(m+1)=0有实数根, ∴ ≥0,即(2m+1)2-4(m-1)(m+1)≥0, 解得m≥-,∵m-1≠0,∴m≠1, 则m的取值范围是m≥-且m≠1. 课堂练习 4.不解方程,判断下列方程根的情况: (1)2x2+x+=0;(2)4t(t-1)=3; 解 (1)2x2+x+=0, =12-4 2 =-1<0, ∴2x2+x+=0无实数根. (2)4t(t-1)=3,∴4t2-4t-3=0, =(-4)2-4 4 (-3)=64>0, ∴4t(t-1)=3有两个不相等的实数根. 课堂练习 4.不解方程,判断下列方程根的情况: (3)x2+2=2x;(4)3z2-2z=-2. 解 (3)x2+2=2x,∴x2-2x+2=0, =(-2)2-4 1 2=0, ∴x2+2=2x有两个相等的实数根. (4)3z2-2z=-2,∴3z2-2z+2=0, =(-2)2-4 3 2=0, ∴3z2-2z=-2有两个相等的实数根. 课堂练习 5.已知一元二次方程x2-4x-m+2=0. (1)若m=7,求方程的解; (2)若方程有两个实数根,求m的取值范围. 课堂练习 解 (1)当m=7时,一元二次方程x2-4x-m+2=0可化为x2-4x-7+2=0, 即x2-4x-5=0,(x-5)(x+1)=0,x-5=0或x+1=0,解得x1=5,x2=-1. (2)∵方程有两个实数根,∴ =(-4)2-4 1 (-m+2)≥0, ∴16+4m-8≥0,即4m+8≥0, 解得m≥-2. 谢谢观看 $