21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 数学课件 教学设计 数学是锻炼思想的体操。 —— 加里宁 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 第21章　一元二次方程 21.2.5　一元二次方程的根与系数的关系 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 新课导入 教学目标 教学重点 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 学习目标 新课导入 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 求出一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根x1和x2，计算x1＋x2和x1·x2的值．它们与方程的系数有什么关系？ 方程x2＋3x－4＝0的两根为x1＝1，x2＝－4， 于是x1＋x2＝－3，x1·x2＝－4. 我们发现：这个方程的二次项系数为1，它的两根之和－3等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项－4. 换几个一元二次方程再试试，结果怎样？ 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 新课导入 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 讲授新课 典例精讲 归纳总结 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 探究：我们来考察方程 x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)．由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2， 那么x1＋x2＝－p， x1·x2＝q. 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2＋3x－5＝0； （2）2x2－3x－5＝0. 解： （1）设两根为x1、x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程 根与系数的关系，可得 x1＋x2＝－3，x1·x2＝－5. 例1 （2）方程两边同除以2，得 设两根为x1、x2，可得 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2－4ac≥0)的根与系数的关系． 解：方程两边同除以a，得 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系， 可得 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的 特征(二次项系数为1)． 利用这个结论，我们可以直接写出例1中题(2)的答案： 例2 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0)，当b2－4ac≥0时， 方程有实数根，设这两个实数根分别为x1、x2，这 两个根与系数的关系是 要点精析： (1) 一元二次方程的根与系数的关系成立的前提条件是二次项系数不为0和方程有实数根． (2) 根与系数的关系刻画了一元二次方程的两根和、两根积与系数a、b、c之间的关系． 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积. (1) x2－5x＋2＝0；(2) 4x2－2x－7＝0；(3) 3x2＋10＝2x2＋8x. 解： 导引：根与系数的关系是建立在方程有根的前提条件下的； 系数是方程化为一般形式后的系数． 例3 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 方程 x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的两个实数根 x1，x2 满足x12＋x22＝4，则k的值为________． 由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值． 导引： k＝1 练一练 ∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝ (x1＋x2)2－2x1·x2＝4， x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1， ∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4， 解得k＝1.　 解： 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 讲授新课 总结常见的求值: 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 当堂练习 当堂反馈 即学即用 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p= ，q= . 已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ . -2 -1 -7 当堂练习 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 3.不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1) x2－3x＝15； (2) 3x2＋2＝1－4x； (3) 5x2－1＝4x2＋x； (4) 2x2－x＋2＝3x＋1. 　解：(1)方程化为x2－3x－15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15. 当堂练习 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系   当堂练习 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 4.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4； (1)求k的值； (2)求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得k=-7. (2)因为k=-7,所以 则 当堂练习 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 课堂小结 归纳总结 构建脉络 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系（韦达定理） 内容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应用 课堂小结 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 感谢聆听 聪明在于勤奋，天才在于积累。 —— 华罗庚 THANKS FOR LISTENING 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 $