2026-2027学年高二数学10月第一次阶段性检测练习卷（上海专用）

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 工作室出品，精选试题 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 工作室出品，精选试题 2026-2027学年高二10月第一次阶段性检测练习卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版必修三第10，11章 一、填空题（共54分） 1．（本题4分）如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 2．（本题4分）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________． 3．（本题4分）如图，在长方体的棱中，其所在直线与是异面直线的棱有________条． 4．（本题4分）已知空间中的两个角和，若,则_____. 5．（本题4分）空间四边形的两条对角线与相等，顺次连接这个四边形各边的中点，所组成的四边形是___________． 6．（本题4分）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为，则该圆锥母线的长为______． 7．（本题5分）若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为________． 8．（本题5分）在正四棱锥中，底面边长为2，高为，则异面直线与所成角的大小是______． 9．（本题5分）如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________． 10．（本题5分）如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 11．（本题5分）如图，在中，，．在边上取一点（不含、），将沿线段折起，得到．当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为______． 12．（本题5分）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是正方体侧面上的一动点（含边界），给出下列四个结论： ①满足的点有无数个； ②满足直线平面的点有且只有一个； ③满足的点的轨迹长度为； ④满足直线与所成角为的点不存在． 其中正确结论的序号是___________． 二、单选题（共18分） 13．（本题4分）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 14．（本题4分）已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的2倍，则其底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 15．（本题5分）在三棱锥中，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 16．（本题5分）如图，在棱长为1的正方体中，上底面内（含边界）有一动点，下列说法错误的是（     ） A．若平面平面，则 B．当时，点的轨迹长度为 C．若是上一动点，则的最小值为 D．若异面直线与所成角为，则的取值范围是 三、解答题（共78分） 17．（本题14分）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，E为中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明：平面． 18．（本题15分）如图，在四棱锥中，点P是中点，平面，底面是正方形，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 19．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 20．（本题17分）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，其中，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)M为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为S，求S的最小值. 21．（本题17分）蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》. 用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F'的三个顶点A、C、E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的棱锥，，，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构. 已知，. (1)求该正六棱柱的表面积； (2)判断四边形是否为菱形，并证明你的结论； (3)当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的正切值. 试卷第6页（共6页） 试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 工作室出品，精选试题 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 工作室出品，精选试题 2026-2027学年高二10月第一次阶段性检测练习卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版必修三第10，11章 一、填空题（共54分） 1．（本题4分）如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 【答案】 【分析】过点作，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据斜二测画法的规则还原原长即可. 【详解】 过点作，垂足为， 因为，，四边形为等腰梯形， 所以，所以， 所以原梯形中的长度为. 2．（本题4分）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________． 【答案】16 【详解】如图，由直观图的斜二测画法知，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.    已知得到的平行四边形较长的一边为4，所以4即为原正方形的边长. 所以面积为. 3．（本题4分）如图，在长方体的棱中，其所在直线与是异面直线的棱有________条． 【答案】 4 【分析】逐类判断长方体的棱与直线 的位置关系：相交或平行的棱都不是异面直线，只需统计既不相交也不平行的棱． 【详解】在长方体 中，与 相交的棱有 ； 与 平行的棱有 ；棱 所在直线与自身重合． 剩下的棱 所在直线与既不相交,也不平行,故均与是异面直线． 所以所求棱共有 条． 4．（本题4分）已知空间中的两个角和，若,则_____. 【答案】或 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 5．（本题4分）空间四边形的两条对角线与相等，顺次连接这个四边形各边的中点，所组成的四边形是___________． 【答案】菱形 【详解】连接，分别为的中点， 所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形. 又分别为的中点，所以， 又因为，所以四边形是菱形. 6．（本题4分）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为，则该圆锥母线的长为______． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】设，因为圆锥的侧面展开图的弧长为，则该圆锥的底面圆的周长为， 所以，解得，所以， 又，在中，由勾股定理得． 7．（本题5分）若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为________． 【答案】 【详解】设球的半径为， 则，解得, 所以球的表面积. 8．（本题5分）在正四棱锥中，底面边长为2，高为，则异面直线与所成角的大小是______． 【答案】 【详解】如图，设正四棱锥的高为，     ， ∴异面直线所成的角为． 因为是边长为的正方形，所以，又高，所以， ． 9．（本题5分）如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________． 【答案】6 【分析】首先根据条件列方程求长方体的棱长，再利用减法计算三棱锥的体积. 【详解】设，，， 则，解得：，，即，， . 10．（本题5分）如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 【答案】/ 【详解】由是正方形，，，且，， 则在中，，， 则边上的高为，所以， 又是的中点，则，所以， 又，，且，平面，则平面， 则点到平面的距离， 又，即， 所以． 11．（本题5分）如图，在中，，．在边上取一点（不含、），将沿线段折起，得到．当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为______． 【答案】2 【分析】设，则，到平面距离为，由题意根据可得，根据二次函数性质计算可得最大值. 【详解】在中，因为，，所以． 由余弦定理可得．设，则，． 在中，由余弦定理可得． 在中，，，， 设到平面的距离为， 因为平面垂直于平面，所以到平面的距离即为的高， 则， 解得， 由，令，， 当时，函数有最小值为，因为，所以． 12．（本题5分）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是正方体侧面上的一动点（含边界），给出下列四个结论： ①满足的点有无数个； ②满足直线平面的点有且只有一个； ③满足的点的轨迹长度为； ④满足直线与所成角为的点不存在． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①③ 【分析】分别为的中点，为中点，结论①，通过证明平面，得点轨迹为线段即可判断；结论②，证明平面平面，得点轨迹为线段，即可判断；结论③，结合线面垂直和勾股定理，点的轨迹为，计算轨迹长度即可判断；结论④，由直线与所成角为即可判断. 【详解】分别为的中点，为中点， 连接， 对于①，和中，，， 所以，， ，得， 正方体中，平面，平面，所以， 即，，平面，所以平面， 平面，所以， 分别为的中点，则， ，， 有，所以， ，平面，平面， 由，点轨迹为线段，点有无数个，结论①正确； 对于②，分别为的中点，则有，， 平面，平面，所以平面， 同理有平面，，平面， 所以平面平面，又直线平面， 点轨迹为线段，满足直线平面的点有无数个，结论②错误； 对于③，正方体中，平面，平面，所以， 有，又，满足的点的轨迹为， 轨迹长度为，结论③正确； 对于④，为等边三角形，，直线与所成角为， 所以点与点重合时，满足直线与所成角为，结论④错误. 正确结论的序号是①③. 二、单选题（共18分） 13．（本题4分）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则与的位置关系可能是平行､相交或，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理知，，故C正确； 对于D，若，，，则与可能平行，也可能异面，故D错误. 14．（本题4分）已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的2倍，则其底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的高，底面积， 侧面积，得，则圆锥的体积，解得. 15．（本题5分）在三棱锥中，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点，连接，在中，利用余弦定理即可求得. 【详解】如图，连接，取的中点，连接，因为的中点， 故，则为异面直线，所成的角或其补角. 又因，，为的中点， 则，， 在中，，则， 在中，由余弦定理，. 即异面直线，所成角的余弦值为. 16．（本题5分）如图，在棱长为1的正方体中，上底面内（含边界）有一动点，下列说法错误的是（     ） A．若平面平面，则 B．当时，点的轨迹长度为 C．若是上一动点，则的最小值为 D．若异面直线与所成角为，则的取值范围是 【答案】D 【分析】对于A：借助线面平行判定定理与性质定理可得，再利用正方体性质及线面垂直性质定理可得，即可得；对于B：借助线面垂直性质定理与勾股定理计算即可得点轨迹，即可得其轨迹长度；对于C：将平面与平面沿展开至同一平面后，结合与形状，计算即可得；对于D：举出反例即可得. 【详解】对于A：因为平面，平面，则平面， 又因为平面平面，平面，则， 由正方体性质可得平面，因为平面， 所以，则有，故A正确； 对于B：由正方体性质可得平面，因为平面， 所以，则， 则点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆位于正方形内的部分， 故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C：将平面与平面沿展开至同一平面，如下图：    则，当且仅当在线段上时，取等， ，故为正三角形， 又为等腰直角三角形，故为中点， 则，故C正确.    对于D：因为，则异面直线与所成角与直线与所成角相等， 当点与重合时，此时，故D错误. 三、解答题（共78分） 17．（本题14分）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，E为中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明：平面． 【答案】(1)直线与是异面直线，理由如下：   若直线与不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为，则点D与直线都在内， 由于经过点D和直线有且仅有一个平面，因此与平面重合， 从而也在平面内，进而P点也在平面内， 显然这与四棱锥相矛盾，故直线与是异面直线． (2)连接交于点F，再连接， 由底面为平行四边形，可得F为的中点， 又因为E为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【分析】（1）结合异面直线的概念，利用反证法判断； （2）连接交于点F，可得，利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）略 （2）略 18．（本题15分）如图，在四棱锥中，点P是中点，平面，底面是正方形，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)如图，连接交于点O，再连接， ∵四边形是正方形，是的中点， 又是的中点，， 又平面，平面， 平面. 【分析】（1）根据棱锥的体积公式可求解. （2）连接交于点O，再连接，结合中位线和线面平行的判定求证. 【详解】（1）平面，底面是正方形，且， ； （2）略. 19．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 【答案】(1) 证明：因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； (2) 取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过证明四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 20．（本题17分）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，其中，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)M为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为S，求S的最小值. 【答案】(1)证明：由是圆的直径，则， 又平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，再根据平面可得，利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）过点作，结合（1）的结论，可得即二面角的平面角，在中，即可求出二面角的余弦值； （3）设，将面积表示出来，可得面积为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】（1）略 （2）过点作于点，连接， 由（1）平面，平面，则， 因，，平面，故平面， 又平面，则，即二面角的平面角， 因，在中，，由面积相等可得， 在中，，则； （3）因，则，， 则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 在中，，，，则， 则，则， 在中，， 则， 由可得：，解得， 设球与平面相交得到的截面圆半径为，则 ， 则， 因，故当时，. 21．（本题17分）蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》. 用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F'的三个顶点A、C、E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的棱锥，，，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构. 已知，. (1)求该正六棱柱的表面积； (2)判断四边形是否为菱形，并证明你的结论； (3)当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的正切值. 【答案】(1) (2)四边形是菱形， 证明如下： 连接，，，， ，，为平行四边形，， 同理可得， ， 又，，，     为平行四边形，故， 又平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 故，同理可得， 又，故四边形为菱形． (3) 【分析】（1）利用公式计算即可； （2）先证明平面，再利用线面平行的性质证即可； （3）取中点K，得为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 计算表面积，设，结合三角函数值域求范围. 【详解】（1） （2）略 （3）取中点K，连接、， 由，为等腰三角形，可得，， 为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 设，，则，， ， ，， 令， 则，得， 当 时，表面积最小，此时， 故当蜂房结构的表面积最小时，平面与平面所成的锐二面角的平面角的正切值为. 试卷第18页（共18页） 试卷第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $