2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟精品卷【测试范围：沪教版2020必修第三册第十章～第十一章】（上海专用）

**基本信息** 沪教版高二数学月考卷，聚焦空间几何与立体体积，以亭子、鳖臑等情境融合直观想象与逻辑推理，难度0.65适配学段要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|异面直线位置关系、圆锥侧面积、斜二测画法|结合《九章算术》鳖臑模型，考查空间观念| |选择题|4题/18分|面面平行判定、翻折问题、体积比较|以菱形翻折为载体，发展直观想象| |解答题|5题/78分|正方体异面直线证明、亭子体积计算、正四面体剪拼|设计“圆锥-圆柱”亭子模型，体现应用意识与创新思维|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟精品卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.相交或异面 2． 4．3 5． 6． 7． 8．②③ 9．32 10．2 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．C 14．C 15．A 16．B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱A1B1的中点． （1） 求证：A1B与EC1是异面直线；（2）求异面直线A1B与EC1所成角的大小． 17．（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）如图，因为直线A1B⊂平面ABB1A1，……2分， 点E∈平面ABB1A1，点EA1B，点C1平面ABB1A1，……2分， 所以直线A1B和EC1是异面直线；……2分； （2） 取AA1的中点F，AB中点G，连接FG，CG，FC，……2分， 如右上图：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以FG∥A1B，CG∥EC1， 所以异面直线A1B与EC1所成角为∠FGC（或其补角），……2分， 因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，所以有，……1分， 由余弦定理得＝，……2分， 所以异面直线A1B与EC1所成角的大小为．……1分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点. （1）的中点为，证明：平面平面； （2）请画出过点，，的平面与平面的交线，证明． 18．（1）证明见解析；（2）在平面内过作直线，证明见解析． 【详解】（1）连接，因为，且，是平行四边形，……1分， 所以且，所以是平行四边形，，……1分， 同理，平面，平面，所以平面，……2分， 同理平面，又，平面，所以平面平面；……2分； （2）在平面内过作直线， 即为平面和平面的交线；……2分， 证明如下：设平面和平面的交线为，……1分， 由（1），平面，平面， 所以平面，……2分， 又平面，平面平面，所以，……2分，所以．……1分. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）； 假设我们把亭子看成由一个圆锥P﹣O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω（如图2）．一般地， 设圆锥P﹣O1中母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求． 已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1） α=30°，求几何体Ω的体积；（2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD的 一个点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 19．（1）；（2），该亭子满足建筑要求【分析】（1）利用柱体，锥体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可． 【详解】（1）圆柱的体积，……2分， 圆锥的体积为，……2分， 几何体的体积；……2分； （2）连接，，根据题意可得， 为圆柱母线和圆锥母线所成的角，……2分， ，，， ，……2分， 圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值为，……1分， 又，因为，，……1分， 所以，故该亭子满足建筑要求.……2分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分 （1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个 正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的 面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2） 试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的 面积相等；请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 20．（1）答案见解析（2）（3）答案见解析 【分析】（1）为拼出三棱柱，需要四边形，根据这个原则进行裁剪；（2）根据体积公式计算对比即可； （3）任意三角形，为得到直三棱柱，需要裁出三个矩形，在三角形的三边上裁出矩形，剩余部分拼出 上底面即可. 【详解】（1）如图所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形， 其较长的一组邻边边长为正三角形边长的，有一组对角为直角；……2分， 余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱， 而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底；……2分； （2）依上面剪拼的方法，有，……2分， 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2， 那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为，……2分， 现在计算它们的高：，，……2分， ，；……2分； （3）如图所示，分别联结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，……1分， 再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面；……1分， 过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线， 沿六条垂线剪下三个四边形，……2分， 可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分沿虚线折起， 成为一个缺上底的直三棱柱， 即可得到直三棱柱模型.……2分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知四面体的6条棱中，有条棱长为，有条棱长为1． （1）若，证明：； （2）若，求二面角的大小（用含的式子表示）； （3）若，求的取值范围． 21．（1）证明见解析；（2）时，时； （3）条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时. 【分析】（1）由题设四面体为正四面体，为的中点，得，再应用线面垂直的判定和性质证明结论；（2）由题意四面体中有条棱，其它条棱长为1， 首先找到二面角对应的平面角，求出相关线段长，再应用余弦定理求其大小； （3）根据对称性，讨论条对边的棱长为、条邻边的棱长为两种情况， 根据三角形边的关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）当，则条棱长均为1，故四面体为正四面体， 若为的中点，而为等边三角形，……1分， 则，由，平面， 则平面，……2分， 由平面，则；……1分； （2）当，则四面体中有条棱， 其它条棱长为1，……1分，如图为的中点， 均为等边三角形，则， 故为二面角的平面角，……2分， ，此时，……2分， 当时，……1分， 当时；……1分； （3）当，根据对称性有如下两种情况， ①若条对边的棱长为，不妨设为， 则， 如右图为的中点，……1分， 其中为全等的等腰三角形且， 所以，则， 得，……2分，综上，； ②若条邻边的棱长为，不妨设为， 则，如右图为的中点，……1分， 其中均为等腰三角形且， 则，所以， 则，得， 综上，；……2分， 所以，条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时.……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026-2027学年高二上学期第一次月考模拟精品卷 (上海专用) 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， : 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 O 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : .: 4.考试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 % 5.难度系数：0.61。 : ·: 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) : 1.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是相交或异面一· 2.己知空间两个角∠ABC与∠AB'C',若AB∥AB',BC∥B'C',∠ABC=50°，则∠AB'C= : 3.在长方体ABCD-AB1CD1中，AB=3,BC=2,AA1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值 条 O : 为 : 4.如图，在三棱台ABC-A1B1C1的9条棱所在直线中，与直线A1B是异面直线的共有条 A C : ·: B : 5,已知某圆锥的高为8，体积为96π，则该圆锥的侧面积为 : 6.用斜二测画法画出水平放置的平面图形△OAB的直观图如图所示， 己知O'D'=D'A'=D'B'=A'B=2,则△OAB的面积为 D 那 区 : 7.若圆柱的底面半径为r,高为h,若r+h=2,则圆柱侧面积的最大值为 : 试题第1页（共4页） : ·: 8.下列说法正确的是 (请填上正确的序号) ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其枝长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 9.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里， S B是母线SA上一点，且AB=10公里；为了发展旅游业，要建设一条最短的 从A绕山一周到B的观光铁路这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡， 则上坡段铁路的长度为公里. 10.如图，求一个棱长为√2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到， 类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD,其三对棱长分别为AB=CD=V√5， AD=BC=VI3,AC=BD=V1O,则此四面体的体积为 11.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品 可以看成是一个球被一个棱长为6V3的正方体的六个面所截后剩余的部分， (球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为6m, 则该球的表面积是 12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑， 在鳖臑A-BCD中，ABI平面BCD,且有BD1CD,AB=BD=2,CD=1,点P是AC上的一个动点， 则△PBD的面积的最小值为 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分： 每题有且只有一个正确选项) 13.若1、m、n是互不相同的直线，，B是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是() A.若∥B,lco,nCβ，则1∥n B.若a⊥B,1c,则1⊥ C.若1⊥n,m⊥n,则1∥m D.若1⊥o,1∥B,则a⊥B 试题第2页（共4页） 14.设矩形边长分别为a、b(a>b),分别以a、b两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为V,和V。, 则Va与Vb的大小关系是()A.Va>V。B.Va=V。C.Va<VbD.Va、Vb的大小不确定 l5.M,N分别为菱形ABCD的边BC,CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内， 则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直. 以下判断正确的是() D D A A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题 16.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点 (包括边界)，且B1F/平面A1BE,则下列说法中：①动点F轨迹的长度为V2; A ②三棱锥B1-DEF体积的最小值为；③B1F与A1B不可能垂直： D ④当三棱锥B1-DDF的体积最大时，其外接球的表面积为空： B C 其中正确的有() A.①②③ B.①②④ c.②③④ D.①③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知正方体ABCD-AB1CD1的棱长为2，点E是棱AB1的中点， (1)求证：AB与EC1是异面直线：(2)求异面直线AB与EC1所成角的大小 试题第3页（共4页） 18.（本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 在五面体ABCDEF中，面ABCD为平行四边形，EF/DC,且EF=DC,P为棱DC的中点。 兵 (1)AB的中点为M,证明：平面FPM/平面ADE: (2)请画出过点A,P,F的平面与平面ADE的交线1，证明1/FP 张 江 样 19.（本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）； 假设我们把亭子看成由一个圆锥P-O1与一个圆柱001构成的几何体2（如图2）.一般地， 设圆锥P-O1中母线与底面所成角的大小为α，当20°<a<35°时，方能满足建筑要求. 己知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. 斑 B 性 E 图1 图2 (1)=30°，求几何体2的体积；(2)如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD的 一个点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求， 试题第4页（共4页） 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分 (1)给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个 正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的 面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： (2)试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小： : (3)给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的 面积相等；请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明， 图1 图2 图3 : O 试题第5页（共4页） 21.（本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知四面体ABCD的6条棱中，有n条棱长为a,有6-n条棱长为1. B D (1)若n=0,证明：AB1CD; (2)若n=1,AB=a(0<a<V3,求二面角A-CD-B的大小（用含a的式子表示）： (3)若n=2,求a的取值范围. 试题第2页（共4页）■■ ■■■ 2026-2027学年高二上学期第一次月考 模拟精品卷数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 1234 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 5. 正确填涂 789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 製 3 5 1! 7 10 11 12 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) E P B 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 19..14.92 恩 5 ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 图1 图2 图3 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) B4---------------- 数学第6页（共6页）2026-2027学年高二上学期第一次月考 模拟精品卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟精品卷 （上海专用） 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.相交或异面 2． 4．3 5． 6． 7． 8．②③ 9．32 10．2 11． 12． 2、 选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．C 14．C 15．A 16．B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱A1B1的中点． （1）求证：A1B与EC1是异面直线； （2）求异面直线A1B与EC1所成角的大小． 17．（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）如图，因为直线A1B⊂平面ABB1A1，……2分， 点E∈平面ABB1A1，点EA1B，点C1平面ABB1A1，……2分， 所以直线A1B和EC1是异面直线；……2分； （2）取AA1的中点F，AB中点G，连接FG，CG，FC，……2分， 如图：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以FG∥A1B，CG∥EC1， 所以异面直线A1B与EC1所成角为∠FGC（或其补角），……2分， 因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，所以有，……1分， 由余弦定理得＝，……2分， 所以异面直线A1B与EC1所成角的大小为．……1分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点. （1）的中点为，证明：平面平面； （2）请画出过点，，的平面与平面的交线，证明． 18．（1）证明见解析；（2）在平面内过作直线，证明见解析． 【详解】（1）连接，因为，且，是平行四边形，……1分， 所以且，所以是平行四边形，，……1分， 同理，平面，平面，所以平面，……2分， 同理平面，又，平面，所以平面平面；……2分； （2）在平面内过作直线，即为平面和平面的交线；……2分， 证明如下：设平面和平面的交线为，……1分， 由（1），平面，平面， 所以平面，……2分， 又平面，平面平面， 所以，……2分，所以．……1分. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）； 假设我们把亭子看成由一个圆锥P﹣O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω（如图2）．一般地， 设圆锥P﹣O1中母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求． 已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1） α=30°，求几何体Ω的体积；（2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD的 一个点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 19．（1）；（2），该亭子满足建筑要求【分析】（1）利用柱体，锥体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可． 【详解】（1）圆柱的体积，……2分， 圆锥的体积为，……2分， 几何体的体积；……2分； （2）连接，，根据题意可得， 为圆柱母线和圆锥母线所成的角，……2分， ，，， ，…2分，圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值为，…1分， 又，因为，，……1分， 所以，故该亭子满足建筑要求.……2分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分 （1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个 正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的 面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的 面积相等；请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 20．（1）答案见解析（2）（3）答案见解析 【分析】（1）为拼出三棱柱，需要四边形，根据这个原则进行裁剪；（2）根据体积公式计算对比即可； （3）任意三角形，为得到直三棱柱，需要裁出三个矩形，在三角形的三边上裁出矩形，剩余部分拼出 上底面即可. 【详解】（1）如图所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形， 其较长的一组邻边边长为正三角形边长的，有一组对角为直角；……2分， 余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱， 而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底；……2分； （2）依上面剪拼的方法，有，……2分， 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2， 那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为，……2分， 现在计算它们的高：，，……2分， ，；……2分； （3）如图所示，分别联结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，……1分， 再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面；……1分， 过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线， 沿六条垂线剪下三个四边形，……2分， 可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分沿虚线折起， 成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型.……2分， 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知四面体的6条棱中，有条棱长为，有条棱长为1． （1）若，证明：； （2）若，求二面角的大小（用含的式子表示）； （3）若，求的取值范围． 21．（1）证明见解析；（2）时，时； （3）条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时. 【分析】（1）由题设四面体为正四面体，为的中点，得，再应用线面垂直的判定和性质证明结论；（2）由题意四面体中有条棱，其它条棱长为1， 首先找到二面角对应的平面角，求出相关线段长，再应用余弦定理求其大小； （3）根据对称性，讨论条对边的棱长为、条邻边的棱长为两种情况， 根据三角形边的关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）当，则条棱长均为1，故四面体为正四面体， 若为的中点，而为等边三角形，……1分， 则，由，平面， 则平面，……2分， 由平面，则；……1分； （2）当，则四面体中有条棱， 其它条棱长为1，……1分，如图为的中点， 均为等边三角形，则， 故为二面角的平面角，……2分， ，此时，……2分， 当时，……1分， 当时；……1分； （3）当，根据对称性有如下两种情况， ①若条对边的棱长为，不妨设为， 则， 如右图为的中点，……1分， 其中为全等的等腰三角形且， 所以，则， 得，……2分，综上，； ②若条邻边的棱长为，不妨设为， 则，如右图为的中点，……1分， 其中均为等腰三角形且， 则，所以， 则，得， 综上，；……2分， 所以，条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时.……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期第一次月考模拟精品卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是 　相交或异面　． 2．已知空间两个角∠ABC与∠A'B'C'，若AB∥A'B'，BC∥B'C'，∠ABC＝50°，则∠A'B'C'＝ 　 3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值 为　 　 4．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1的9条棱所在直线中，与直线A1B是异面直线的共有 　条． 5．已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为 ． 6．用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示， 已知，则的面积为 . 7． 若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 8．下列说法正确的是　 　（ 请填上正确的序号   ） ① 底面是矩形的平行六面体是长方体 ② 正四面体的高为其棱长的倍 ③ 用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④ 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 9．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里， 是母线上一点，且公里；为了发展旅游业，要建设一条最短的 从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡， 则上坡段铁路的长度为 公里. 10．如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到， 类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为 ，则此四面体的体积为 . 11． 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品 可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分， （球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为， 则该球的表面积是 ． 12． 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑， 在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点， 则的面积的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．若l、m、n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　 ） A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β 14．设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和， 则与的大小关系是（    ）A． B． C． D．、的大小不确定 15．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内， 则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直． 以下判断正确的是（　　） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 16．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点 （包括边界），且平面，则下列说法中：①动点轨迹的长度为； ②三棱锥体积的最小值为；③与不可能垂直； ④当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为； 其中正确的有（     ） A． ① ②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱A1B1的中点． （1）求证：A1B与EC1是异面直线；（2）求异面直线A1B与EC1所成角的大小． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点. （1）的中点为，证明：平面平面； （2）请画出过点，，的平面与平面的交线，证明． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）； 假设我们把亭子看成由一个圆锥P﹣O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω（如图2）．一般地， 设圆锥P﹣O1中母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求． 已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1） α=30°，求几何体Ω的体积；（2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD的 一个点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分 （1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个 正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的 面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的 面积相等；请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知四面体的6条棱中，有条棱长为，有条棱长为1． （1）若，证明：； （2）若，求二面角的大小（用含的式子表示）； （3）若，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟精品卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是 　相交或异面　． 2．已知空间两个角∠ABC与∠A'B'C'，若AB∥A'B'，BC∥B'C'，∠ABC＝50°，则∠A'B'C'＝ 　 3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值 为　 　 4．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1的9条棱所在直线中，与直线A1B是异面直线的共有 　条． 5．已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为 ． 6．用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示， 已知，则的面积为 . 7．若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 8．下列说法正确的是　 　（ 请填上正确的序号   ） ① 底面是矩形的平行六面体是长方体 ② 正四面体的高为其棱长的倍 ③ 用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④ 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 9．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里， 是母线上一点，且公里；为了发展旅游业，要建设一条最短的 从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡， 则上坡段铁路的长度为 公里. 10．如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到， 类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为 ，则此四面体的体积为 . 11． 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品 可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分， （球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为， 则该球的表面积是 ． 12． 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑， 在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点， 则的面积的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．若l、m、n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　D　） A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β 14．设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和， 则与的大小关系是（    ）A． B． C． D．、的大小不确定 15．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内， 则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直． 以下判断正确的是（　　） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 16．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点 （包括边界），且平面，则下列说法中：①动点轨迹的长度为； ②三棱锥体积的最小值为；③与不可能垂直； ④当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为； 其中正确的有（     ） A． ① ②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱A1B1的中点． （1）求证：A1B与EC1是异面直线；（2）求异面直线A1B与EC1所成角的大小． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点. （1）的中点为，证明：平面平面； （2）请画出过点，，的平面与平面的交线，证明． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）； 假设我们把亭子看成由一个圆锥P﹣O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω（如图2）．一般地， 设圆锥P﹣O1中母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求． 已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1） α=30°，求几何体Ω的体积；（2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD的 一个点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分 （1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个 正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的 面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的 面积相等；请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知四面体的6条棱中，有条棱长为，有条棱长为1． （1）若，证明：； （2）若，求二面角的大小（用含的式子表示）； （3）若，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $