学易金卷：高二数学上学期第一次月考卷02（上海专用，沪教版必修第三册第10章～第11章：空间直线与平面+简单几何体）

**基本信息** 2026-2027学年高二数学月考卷聚焦立体几何，以正六棱柱体积、正方体异面直线等基础题巩固空间观念，勒洛四面体新背景题（第12题）与动态正方体问题（第16题）培养创新意识，解答题综合考查线面垂直证明、二面角计算等，发展推理能力与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|正六棱柱体积、旋转体体积、圆台侧面积等|基础与能力题梯度分布，第12题勒洛四面体新背景体现创新| |选择题|4/18|线面位置关系、正四棱柱定义、正四面体与球|第16题动态正方体问题考查空间观念| |解答题|5/78|四点共面证明、线面平行、面面垂直、二面角计算|17题三线共点推理，20题二面角范围探究，综合提升逻辑思维|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第一章~第二章。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 【答案】 【详解】边长为2的正六边形面积为，根据棱柱体积公式可得． 故答案为：． 2．如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【答案】 【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面， 平面，平面，故与直线异面的是直线． 故答案为：． 3．如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 【答案】 【详解】由题意，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体是以为底面半径，为高的两个共底面圆锥， 所以旋转体的体积为. 故答案为： 4．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 5．已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 【答案】/ 【详解】如图，正三棱锥中，底面是边长为4的等边三角形， 设侧棱长为， 设O为的中心， 取中点D，连接，则O在上，为三棱锥的高， 则，， 故， ∴正三棱锥的侧棱长为， 故答案为： 6．已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 【答案】 【详解】设圆台的上下底面圆半径为，母线长， 则该圆台的侧面积为. 故答案为：. 7．在如图所示的正方体中，设分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小为___________．（用反三角函数表示） 【答案】 【详解】如图：连接则，即为异面直线与所成的角或其补角. 设正方体的棱长为，在中，，，， 异面直线与所成的角的大小为. 故答案为：. 8．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 9．设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段__________. 【答案】或 【详解】如图所示，因为和都是平面的垂线，其垂足分别为， 可得，且， 如图（1）所示，当点在平面的同侧时， 过点作，垂足为，则， 又因为，可得， 在直角中，可得. 如图（2）所示，当点在平面的两侧时， 过点作的延长线的垂线，设，垂足为，则， 又因为，可得， 在直角中，可得. 故答案为：或. 10．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 【答案】②③ 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 11．如图，在四棱柱 中，底面 是正方形， 垂直于平面 ， 且 ， 经过顶点 和 各作一个平面与平面 平行，前者与平面 交于 ，  后者与平面 交于 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为__________ .    【答案】 【详解】设平面平面，过点与平面平行的平面为， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 12．（新背景）勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 【答案】 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球， 由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 设是底面的中心，是正四面体的中心， 也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为是高，如图1所示， 由正四面体的棱长为，可得， 则，所以， 在直角中，由，得，解得， 因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径． 故答案为：. 第二部分（选择题、解答题共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知是两条不同的直线，表示平面，则下列选项中正确的是（     ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【答案】C 【详解】对于A项，也可以，故A错； 对于B项，也可以或，故B错； 对于C项，显然成立，故C正确； 对于D项，也可以，故D错， 故选：C 14．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 15．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正四面体的外接球半径为，则由可得， 设正四面体的高为，棱长为， 由于正四面体的底面为正三角形，因此底面外接圆的半径， 又外接球球心到底面的距离为， 故由勾股定理可得，， 代入，解得正四面体的高. 16．正方体透明容器的棱长为2，点是棱上任意一点，对于以下两个命题，下列判断正确的是（    ）． ①； ②将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【详解】对于①，由正方体的性质可知：，且， 平面， 所以平面，又平面，所以，故①是真命题； 对于②，令放在桌面上的顶点为， 当桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水面的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故②是真命题； 故选：C 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1) 因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．........................4分 (2) 在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线．........................9分 (3) 因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M．........................14分 18．（本题14分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又因为EF不在平面上，平面， 所以直线平面；........................4分 （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为．........................14分 19．（本题14分）在正四棱台中，底面四边形边长为2，底面四边形边长为4，棱台高为. (1)证明：平面平面； (2)求直线和平面所成角； (3)求棱台的表面积. 【答案】(1) 如图连接，取中点为，连接， 由正棱台的结构特征，得平面，又平面， 则平面平面；........................3分 （2）由（1）过作直线平行于交于，因平面， 则平面，从而为与平面的夹角. 由题可得，又由题可得，则. 则，又，则；........................8分 （3）如图作， 由题可得为棱台侧面梯形的高，棱台侧面为全等的等腰梯形. 由（2）分析可得，则. 又，则. 则棱台侧面积为： ........................14分 20．（本题18分）如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. (1)求证：平面； (2)设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 【答案】(1) 由题意可知底面， 又底面，所以， 因为平面， 所以平面；........................4分 （2）连接，易知M为的中点，平面， 由上可知， 则即二面角的一个平面角，显然，........................6分 设，易知， 由余弦定理可知， 即，解不等式可得，........................10分 易知， 当二面角为钝二面角时，， 所以 ，........................16分 当且仅当，即时取得等号， 则，所以.........................18分 21．（本题18分）如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． (1)过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； (2)是否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【答案】(1) (2)见解析 (3见解析 【详解】（1）.........................3分 如图所示，平行四边形即为过三点作出长方体的截面，理由如下： 因为平面与平面平行， 所以平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 故只有取的中点，连接，可以保证上述条件， 所以平行四边形即为过三点作出长方体的截面； （2） 存在，，理由如下： 当时，， 因为，所以，所以Rt∽Rt， 则，所以，即⊥， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 同理可证⊥，又，平面， 所以⊥平面；.........................10分 ； （3），理由如下： 设与平面的斜足为， 因为， 又， 其中， ，故， 所以，故， 若，则，故， 所以在线段上取一点P，使得三棱锥与三棱锥的体积相等， 则为的中点，即，所以..........................18分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第一章~第二章。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 2．如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 3．如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 第2题 第3题 第4题 4．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 5．已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 6．已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 7．在如图所示的正方体中，设分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小为___________．（用反三角函数表示） 第7题 第8题 第11题 第12题 8．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 9．设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段__________. 10．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 11．如图，在四棱柱 中，底面 是正方形， 垂直于平面 ， 且 ， 经过顶点 和 各作一个平面与平面 平行，前者与平面 交于 ，  后者与平面 交于 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为__________ . 12．（新背景）勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 第二部分（选择题、解答题共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知是两条不同的直线，表示平面，则下列选项中正确的是（     ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 14．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 15．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 16．正方体透明容器的棱长为2，点是棱上任意一点，对于以下两个命题，下列判断正确的是（    ）． ①； ②将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 18．（本题14分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 19．（本题14分）在正四棱台中，底面四边形边长为2，底面四边形边长为4，棱台高为. (1)证明：平面平面； (2)求直线和平面所成角； (3)求棱台的表面积. 20．（本题18分）如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. (1)求证：平面； (2)设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 21．（本题18分）如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． (1)过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； (2)是否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版必修第三册第一章~第二章。 第一部分（填空题共54分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分) 1.若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为 2.如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段AB、CD所在的直线中，与直线EN异面的是 3.如图，等腰直角△APB的斜边AB长为2R,将△APB绕斜边AB所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为 B M 第2题 第3题 第4题 4.如图，在边长为2的正方体ABCD-AB,C1D中，M为A4的中点，过B、M、C作正方体的截面， 则截面面积为 5.已知正三棱锥的底面边长为4，高为√3，则该三棱锥的侧棱长为 6.已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为14，则该圆台的侧面积为 7.在如图所示的正方体ABCD-AB,CD中，设P,Q分别是棱BB、BC的中点，则异面直线BD与PQ所 成的角的大小为 (用反三角函数表示) 116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D B B B 第7题 第8题 第11题 第12题 8.如图，在直角三角形ABC中，∠C=L,AB=12,BC=6,现将其放置在平面C的上面，其中点A、B在 平面a的同一侧，点Ce平面&，BC与平面a所成的角为名，则点A到平面心的最大距离是 9.设AB和CD都是平面&的垂线，其垂足分别为B,D.已知AB=5,CD=9,BD=3,那么线段 AC= 10.有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面： ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面： ④两个相交平面把空间分成四个区域. 其中错误说法的序号是， 11.如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是正方形，A4垂直于平面ABCD,且 AB=2,AA1=4,经过顶点A和C各作一个平面与平面CBD平行，前者与平面ABCD交于 4,后者与平面ABA交于1，，则异面直线4与12所成角的余弦值为 12.(新背景)勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何 体如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为√3，若勒洛四面体ABCD内有一球，则该球的最大半径为 第二部分（选择题、解答题共96分) 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.己知，n是两条不同的直线，a表示平面，则下列选项中正确的是(). A.若m/1a,/n,则n/1a; B.若m/1a,⊥n,则n⊥； C.若⊥o,n⊥o,则//n: D.若⊥a,⊥n,则n//a. 216 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 14.下列命题正确的是（) A.底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C.每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D.底面是菱形，且有一个项点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 15.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为32π 3 ,则正四面体的高为() A月 B.4V6 C.4W5 D.4W2 3 3 3 16.正方体透明容器ABCD-ABC1D的棱长为2，点N是棱CD上任意一点，对于以下两个命题，下列判 断正确的是(). ①B,C⊥BN: ②将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容 器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为3√· A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，第1719题每题14分，第20ˇ21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)已知在正方体ABCD-AB,C1D中，E、F分别为DC、C1B的中点，AC∩BD=P, AC1∩EF=Q.求证： (I)D,B,F,E四点共面： (2)若AC交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线： (3)DE、BF、CC1三线交于一点. 3/6 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(本题14分)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C1中，AB1AC,AB=4,AC=4V5,AA=4V6,点E,F 分别为棱BC,AB的中点. B A E B (1)证明：直线EF/1平面AACC: (2)求异面直线EF与B,C1所成的角的大小. 19.(本题14分)在正四棱台ABCD-ABC,D中，底面四边形ABCD边长为2，底面四边形ABCD边长 为4，棱台高为√2 D (1)证明：平面AACC,⊥平面ABCD: (2)求直线AA和平面ABCD所成角； (3)求棱台ABCD-AB,C,D的表面积 4/6 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.（本题18分)如图，ABCD为过圆柱轴的截面，其中AB为下底面直径，AD为母线，P,2为下底面圆 周上两点（不与A,B重合），且PQ⊥AB,PQ与AB的交点为M D M (I)求证：P2I平面ABCD: (2)设E为母线AD的中点，AB=6,AD=4,当二面角E-P2-C为钝二面角时.求AM的取值范围及此时二 面角E-P2-C的最大值， 5/6 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(本题18分)如图，长方体ABCD-AB,CD中，AB=m,AD=A4=2,点M是棱CD的中点. A B B 3 (I)过BMD三点作出长方体ABCD-AB,CD的截面（不要求过程，作出即可）： (2)是否存在实数，使得直线AC与平面BMD垂直？并说明理由： (③)设P是线段AC,上的一点（不含端点），满足 CA =元，求的值，使得三棱锥B-CDC与三棱锥B-CDP 的体积相等 6/6 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第一章~第二章。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 2．如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 3．如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 第2题 第3题 第4题 4．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 5．已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 6．已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 7．在如图所示的正方体中，设分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小为___________．（用反三角函数表示） 第7题 第8题 第11题 第12题 8．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 9．设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段__________. 10．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 11．如图，在四棱柱 中，底面 是正方形， 垂直于平面 ， 且 ， 经过顶点 和 各作一个平面与平面 平行，前者与平面 交于 ，  后者与平面 交于 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为__________ . 12．（新背景）勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 第二部分（选择题、解答题共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知是两条不同的直线，表示平面，则下列选项中正确的是（     ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 14．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 15．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 16．正方体透明容器的棱长为2，点是棱上任意一点，对于以下两个命题，下列判断正确的是（    ）． ①； ②将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 18．（本题14分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 19．（本题14分）在正四棱台中，底面四边形边长为2，底面四边形边长为4，棱台高为. (1)证明：平面平面； (2)求直线和平面所成角； (3)求棱台的表面积. 20．（本题18分）如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. (1)求证：平面； (2)设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 21．（本题18分）如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． (1)过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； (2)是否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9 9.或 10.②③ 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 14 15 16 C D A C 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分） (1)因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．........................4分 (2)在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线．........................9分 (3)因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M．........................14分 18．（本题14分） (1)连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又因为EF不在平面上，平面， 所以直线平面；........................4分 （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为．........................14分 19．（本题14分） (1)如图连接，取中点为，连接， 由正棱台的结构特征，得平面，又平面， 则平面平面；........................3分 （2）由（1）过作直线平行于交于，因平面， 则平面，从而为与平面的夹角. 由题可得，又由题可得，则. 则，又，则；........................8分 （3）如图作， 由题可得为棱台侧面梯形的高，棱台侧面为全等的等腰梯形. 由（2）分析可得，则. 又，则. 则棱台侧面积为： ........................14分 20．（本题18分） (1)由题意可知底面， 又底面，所以， 因为平面， 所以平面；........................4分 （2）连接，易知M为的中点，平面， 由上可知， 则即二面角的一个平面角，显然，........................6分 设，易知， 由余弦定理可知， 即，解不等式可得，........................10分 易知， 当二面角为钝二面角时，， 所以 ，........................16分 当且仅当，即时取得等号， 则，所以.........................18分 21．（本题18分） (1) （2）存在，，理由如下： 当时，， 因为，所以，所以Rt∽Rt， 则，所以，即⊥， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 同理可证⊥，又，平面， 所以⊥平面；.........................10分 ； （3），理由如下： 设与平面的斜足为， 因为， 又， 其中， ，故， 所以，故， 若，则，故， 所以在线段上取一点P，使得三棱锥与三棱锥的体积相等， 则为的中点，即，所以..........................18分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.1 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 肖 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 2 阳 辐 ■ 3 舸 11. 2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第 15-16题每题5分) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C]D] 15[A][BJ[C][D] 16[A][B][C]D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) A B F E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) D C A C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) D D A B D… D M B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: : 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 O (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.测试范围：沪教版必修第三册第一章~第二章。 第一部分（填空题共54分） .: 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分) % 1.若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为 : ·: 2.如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段AB、CD所在的直线中，与直线EN异面的是 : : 3.如图，等腰直角△APB的斜边AB长为2R,将△APB绕斜边AB所在直线旋转一周形成的旋转体的体积 : : 为 O : M 第2题 第3题 第4题 .: 4.如图，在边长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M为A4的中点，过B、M、C作正方体的截面a, .: 则截面面积为 : 5.已知正三棱锥的底面边长为4，高为√3，则该三棱锥的侧棱长为 .: .: 6.己知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为14，则该圆台的侧面积为 7.在如图所示的正方体ABCD-AB,C1D中，设P,2分别是棱BB,、B,C的中点，则异面直线BD与PQ所 成的角的大小为 (用反三角函数表示) : : 试题第1页（共4页） : 可学科网·学易金卷德概费：就限彩是鲁普 D B B B 第7题 第8题 第11题 第12题 8,如图，在直角三角形ABC中，∠C-5AB=12BC=6,现将其放置在平面a的上面，其中点A、B在 平面Q的同一侧，点C∈平面Q,BC与平面Q所成的角为？则点A到平面Q的最大距离是 9.设AB和CD都是平面&的垂线，其垂足分别为B,D.已知AB=5,CD=9,BD=3,那么线段 AC= 10.有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面： ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形： ③三条直线两两相交则确定一个平面： ④两个相交平面把空间分成四个区域. 其中错误说法的序号是· 11.如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是正方形，A4垂直于平面ABCD,且 AB=2,AA=4,经过顶点A和C1各作一个平面与平面CBD平行，前者与平面ABCD交于 ☑，后者与平面AB4交于1，则异面直线4与1所成角的余弦值为 12.(新背景)勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几 何体如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为√3，若勒洛四面体ABCD内有一球，则该球的最大半径为 第二部分（选择题、解答题共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.己知m,n是两条不同的直线，α表示平面，则下列选项中正确的是(). A.若/1a,m/1n,则n/; B.若m/la,l⊥n,则n⊥； C.若m⊥a,n⊥a,则/n; D.若⊥，⊥n,则n//a. 试题第2页（共4页） 列学科网·学易金卷做好烧：就限景是鲁普 14.下列命题正确的是() A.底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C.每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D.底面是菱形，且有一个项点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 15.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为32 3 ，则正四面体的高为() A. 8.4v6 c.4V5 D.4V5 3 3 3 16.正方体透明容器ABCD-ABCD的棱长为2，点N是棱CD上任意一点，对于以下两个命题，下列判 断正确的是(). ①B,C⊥BN; ②将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向 容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为3√3. A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，第17~19题每题14分，第2021题每题18分，满分78分） 17.（本题14分)己知在正方体ABCD-AB,CD中，E、F分别为DC1、C1B的中点，AC∩BD=P, AC∩EF=Q.求证： (1)D,B,F,E四点共面； (2)若AC交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线： (3)DE、BF、CC1三线交于一点. 18.(本题14分)如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AB⊥AC,AB=4,AC=45,AA=46,点E,F 分别为棱BC,AB的中点. B (1)证明：直线EF/平面A4CC; (2)求异面直线EF与B,C所成的角的大小. 试题第3页（共4页） 19.（本题14分)在正四棱台ABCD-AB,CD中，底面四边形AB,C1D边长为2，底面四边形ABCD边长 .. 为4，棱台高为√2 0 O D A B B (1)证明：平面AACC1⊥平面ABCD: O 兵 (2)求直线A4和平面ABCD所成角； (3)求棱台ABCD-AB,C1D的表面积 张 20.（本题18分)如图，ABCD为过圆柱轴的截面，其中AB为下底面直径，AD为母线，P,2为下底面 圆周上两点（不与A,B重合），且PO⊥AB,PO与AB的交点为M. 江 D 游 B (1)求证：P2L平面ABCD: (2)设E为母线AD的中点，AB=6,AD=4,当二面角E-P2-C为钝二面角时.求AM的取值范围及此时 二面角E-P2-C的最大值 时 21.(本题18分)如图，长方体ABCD-4B,C1D中，AB=m,AD=A4=2,点M是棱CD的中点. D A 世 D:- D B (1)过BMD三点作出长方体ABCD-ABCD的截面（不要求过程，作出即可）： (2)是否存在实数，使得直线AC1与平面BMD垂直？并说明理由； B设P是线段4C,上的一点（不含端点），满足9=元，求的值，使得三楼锥马-CDG与三楼锥B-CDP @ CA 的体积相等. 试题第4页（共4页）