专题06 垂径定理【（挑战压轴题）导图知识卡片+八大大考点讲练+优选题训练 共39题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦垂径定理及弧、弦、圆心角关系核心知识点，前承圆的基本概念，后续圆的综合应用，通过思维导图梳理知识体系，8个题型从基础求解、求证到实际应用构建递进学习支架。 资料以“典例精讲+变式训练”设计，融入《九章算术》圆材问题等实际情境，培养数学眼光中的几何直观与空间观念，通过推理证明题提升数学思维的推理能力。课中辅助教师系统授课，课后优选题助力学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

专题06垂径定理『挑战压轴题』 「思维导图+8个题型讲练+优选题拔尖练共39题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 山且录导航 高频压轴题型举一反三变式训练.·. 1 题型一利用孤、弦、圆心角的关系求解 2 题型二利用孤、弦、圆心角的关系求证.. ..3 题型三求圆孤的度数.... 题型四利用垂径定理求值.. 题型五利用垂径定理求平行弦问题.· …5 题型六利用垂径定理求解其他问题.·.·... ..6 题型七垂径定理的推论 8 题型八垂径定理的实际应用..。 ….9 优选题拔尖练.. .10 ■山思维导图技巧点拔 苏科版数学新教材九年级上册挑战压轴题专题06 ●一、圆的对称性】 ●四、垂径定理 圆具有本富的对称性 2 把车轮的轮廓看作一个圆，车轮绕圆定轴心旋 重径定理：直于的直径平分这条弦。并且平分滋 所对的两条置 不论转到什么位置，其轮廓都与初始位置的凰重合 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分滋 所对的两条氢。 ●二、圆心角的概念 1,在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形可以重合， 几何话喜：在⊙O中，若AB为直径，AB1CD,垂足为E 这两个电形对应的远和装都重合 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的重相等， ①CE=DE(平分弦)②C=D,C=BD(平分蕴) 所对的弦相等。 位五、圆周角与圆心角的关系 结论：在同鹰或等圆中，國心角的度敷与它所对的弧的度数相等。 1.在同圆或等蜀中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 ⊙三、圆心角与孤、弦的关系月 圆一 2.我们知道，将预点在盟心的图心角等分成360份，每份国心角是， 因此”的圈心角所对的弧与n”的圆心角所对的弧相等， 1.在同圆或等圆中，如果两个圈心角。两条弧、两条弦 垂径定理 结论：凯心角的度数与它所对的弧的度数相等 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等】 2.可以用图表示同圆或等圆中园心角与所对狐。弦的关系 。六、垂径定理的应用 圆心角相等☐ 由垂径定理，可以推出许多重要结论 （1)弦相第 (2)孤相等 (3)弧、弦关系 (4)圆周角定理 图心角所对的弧相等← 圆心角所对的弦相等 在同圈或等圆中 亮招这 在同圆或等圆中 在同圆或等医中 国心角相等 相等→弦相等 应用 把图中点在圆心的角分成均等的若干份。每一份圆心角相等 每一份圆心角所对的弧相等，每一份圆心角所对的弦相等 O七、解题思路与常见模型 一对称损型：利用垂橙定理确定对称轴，构造全等三角形。 解题关键 卜垂直模型：将造垂直关系，利用直角三角形求线段。角度。最值 ★找到圈心成半径， 一折叠极型：折叠后利用播径定理得到线段相等。角度相等， 构造垂直半径。 、到等弦等二优先考电圈心角都等。利用垂径定理构法垂直半轻 ,复杂图形中，延长半径或连接。构造直角 无模型 卜运动模型：动点轨迹与露。弧的结合，确定最镇位置和不变量 七面积模型：通过分制。补形，利用扇形、三角形面积公式求解 上老及诺新品植阳服格用玉名豆定不安的对我热一找 涉及面积问题，注意分制法：割补成三角形 ★利用对称性。化复杂 为荷单， 知识 圆的对称性是基础，圆心角与弧、弦的关系是核心，垂径定理是重要工具 重要·垂径定理：AB为直径，AB⊥CD,垂足为B,则CE-DE,C-AD,武-D 总结 灵活运用垂径定理及其推论。可以解决几何图形中的线段、角。面积、 公式·推论：平分被的直径播直于孩，并平分弦所对的两秦领。 最值等压拍题， ·圆心角定理：圆心角的度数■它所对的死的废数。 第1页共15页 售山高频压轴题型举一反三变式训练 题型一利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】(2026·浙江温州·二模)如图，等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D是AB的中点，连接 AD,BD.若AD=V6,跽=号则⊙0的半径长为 0 B 【变式训练1】(25-26九年级下·陕西宝鸡·期中)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB=AC,点D 是劣弧AB中点，连接0B,OD,其中OD交AB于点E,若∠B0D=60°，0D=1,则AC的长为一一- 【变式训练2】(2026·河南周口·一模)如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了A,B,C,D 四个观景位，已知观景台边缘AB=2CD,观景位A与B之间的直线距离为8，观景位C与D之间的直线距离为 5,则这座圆形观景台的半径是一一 第2页共15页 题型二利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】如图，⊙O的弦AB与半径OE,OF相交于点C,D,AC=BD,求证：AE=BF. D B 【变式训练1】(2025·河南濮阳·一模)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=∠CAB,AD=6,AC=8, 则⊙0的半径为( B A.4 B.5 c.25 D.10 【变式训练2】(2025九年级上·山东·专题练习)如图，点AB、C在⊙0上，BC是直径，∠ABC的角 平分线BD与⊙O交于点D,与AC交于点M且BM=MD,连接OD,交AC于点N B 、M D (1)证明：OD1AC: (2)试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明， 第3页共15页 题型三求圆弧的度数 【典例精讲】(2026·江苏南京·一模)如图，在扇形0AB中，点C在AB上，连接0C,AC,BC,∠ACB=132°，若 ∠B0C=2∠AOC,则AC的度数为() 0 A.16° B.249 C.32° D.36° 【变式训练1】(25-26九年级上·江苏连云港·期中)如图，⊙0的弦AB、CD的延长线相交于点尸，∠A0C= 150°，∠P=40°，则BD的度数为°. B 【变式训练2】(24-25九年级上·江苏南京·阶段检测)如图，⊙0与正八边形ABCDEFGH相切于点A,E, 则AE的度数为 A D E 题型四利用垂径定理求值 【典例精讲】(2026·四川南充·中考真题)如图，AB为⊙O直径，弦CD1AB于E,OB=CD=2,则0E 长为( B D A.1 B.3 C.2 D.5 第4页共15页 【变式训练1】(2026·陕西西安·模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，且AB=8,C为⊙0上一点，过C 作CD 1 AB,交AB于点D,交⊙O于点E.若D为OB中点，则CE的长为 B O D E 【变式训练2】(24-25九年级上·北京·期中)如图，AB是⊙0的直径，弦CD1AB于点H∠C=60°， CD=2V3,求⊙0的半径的长， 题型五利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】(25-26九年级上·江苏连云港·期中)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，请用无刻度 直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）· M 图1 图2 (1)如图1，若M是半圆的中点，且与点C在同一侧，画出∠ACB的平分线CN.并说明理由： (2)如图2，若DE∥AB,画出∠ACB的平分线CP; (3)在(2)的作图下，己知AC=12,BC=9,CP交直径AB于点F,则AF=一一· 第5页共15页 【变式训练1】(25-26九年级上·山东滨州·期中)已知⊙0的直径为34cm,AB,CD是⊙0的两条弦， AB II CD,AB=30cm,CD=16cm,则AB和CD之间的距离是( A.7cm或23cm B.14cm或46cm C.7cm D.23cm 【变式训练2】(25-26九年级上·湖北武汉·期末)如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形 的顶点叫作格点，⊙O过格点A,B,C.仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题. 4 B B (1) (2) (1)如图(1)，先画圆心0，再在⊙0上画点D,使AD=CD (2)如图(2)，点M是⊙O上一点，先画点B关于直线AC的对称点E,再在⊙O上画点N,使MN∥BE. 题型六利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】如图所示，⊙O的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE1AB,OF1CD,垂足分别为E, F,AC=BD.求证：四边形OEPF是正方形 第6页共15页 【变式训练1】如图，AB是⊙O的弦，OC1AB于点C,交⊙0于点D,点E在⊙O上. D (1)若∠A0D=50°，求∠DEB的度数： (2)若0C=3,0D=5,求AB的长. 【变式训练2】(25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测)如图，AB是⊙O的一条弦，OD1AB于点C,交⊙0 于点D,点E在⊙O上. E B (1)若点B是DE的中点，求证：AB=DE: (2)若CD=2,AB=12,求⊙0的半径r. 第7页共15页 题型七垂径定理的推论 【典例精讲】(25-26九年级上·安徽芜湖·期中)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD1AB于点E,连 接AC,AD,则下列结论一定正确的是() D B A.AC=BC B.BC=BD C.OE=BE D.∠CAD=∠CDA 【变式训练1】(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)已知：AB是⊙0直径，AC,AD为⊙0的弦，AB 平分∠CAD. D G ⊙ B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC=AD: (②)如图2，点E为BD上一点，连接CE,BE,点G为BC上一点，连接AG交CE于点F,若CG=BE,求证：AF⊥CE; (3)如图3，在(2)的条件下，BH1CE于点H,连接AE、DE,若∠DAE+3∠BAE=90°，CF=2,AF=DE.求 线段FH的长。 第8页共15页 【变式训练2】(25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测)如图，在△ACD中，DA=DC,B是AC边上一点， 以AB为直径的圆O经过点D,F是直径AB上一点（不与点A,B重合），连接DF并延长交圆O于点E,连接EA, EB E (1)求证：∠C=∠DEB: (2)若AE=BE,∠C=30°，求∠DFB的度数. 题型八垂径定理的实际应用 【典例精讲】《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯 道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB1CD,垂足为E,CE=1 寸，AB=1尺，则直径CD长为寸.(1尺=10寸) D 【变式训练1】(2026·广西柳州·二模)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆 材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材， 埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸(ED=2寸)，锯道长8寸(AB=8寸)”，问 这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是( ) 第9页共15页 E ⊙ A.5寸 B.6寸 C.8寸 D.10寸 【变式训练2】(25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测)如图，破残的圆形轮片上有三点A,B,C. (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）： (2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm,腰AB=10cm,求圆片的半径R 山优选题拔尖练 1.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)如图，在⊙0中，半径0C与弦AB垂直于点D,且AB=8,0C=5, 则CD的长是( D A.3 B.2.5 C.2 D.1 第10页共15页 2.(26-27九年级上·北京·课堂例题)在⊙0中，圆心角∠AOB=2∠COD,则弦AB与弦CD的关系是 ( A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.不能确定 3.(2026·广东汕头·三模)在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径， 小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点 C,测出AB=16cm,CD=4cm,则圆形工件的半径为( D A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm 4.(2026山西长治·三模)如图，△ABC内接于⊙O,D是AC上一点，且OD1AC于点E.若∠ADE=50°， 则∠B的度数为( ) O E A.85° B.80° C.75° D.70° 5.(2026广西玉林·三模)把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD= 6cm,则球的半径为( ) F D A.cm B.4cm c.￥cm D.5cm 6.(2026·湖南长沙·三模)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交 于0，A两点，点A的坐标为(6,0)，⊙P的半径为V13,则点P的坐标为 第11页共15页 P A(6,0)天 7.(25-26八年级下·山东日照·期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，当筒车工作时， 盛水桶的运行路径可以看作是以轴心0为圆心的⊙O,且圆心在水面上方.在某一时刻，⊙0被水面截得的 弦AB长为6米，过点O作OC1AB,交⊙O于点C,交AB于点D,水面下盛水桶的最大深度为1米（即CD=1 米)，则⊙0的半径为 米 D B 8.(2026河南平顶山三模)如图，0A,0B,0C都是⊙0的半径，∠ACB=∠B0C.若AB=8,BC=2V5 则OA的长为 9.(2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测)如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD1AB于点H,若AH=CD=4, 则⊙0的半径长为. H B 10.(2026·宁夏银川·三模)如图，在∠A0B中，按下列步骤作图：①在0A边上取一点C,以C为圆心， OC长为半径画⊙C,交0B于点D;②分别以0，D为圆心，大于0D长为半径画弧，两弧交于点G,连接 CG交OD于点E,交⊙C于点F,若OC=5,OD=8,则EF的长为 第12页共15页 E B FD G 11.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)如图，在⊙0中，AB=AC,∠ACB=60°.求证：∠A0B= ∠B0C=∠A0C. B 12.(25-26八年级下·江苏南京·期末)已知，如图：⊙0的半径R=5V2,弦AB=14.点C在AB上CD1AB 交⊙0于点D. D 0. (1)若BC=4,求线段CD的长 (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 第13页共15页 13.(25-26九年级上·河北石家庄·期中)如图是一个管道的横截面，圆心0到水面AB的距离0D是3， 水面宽AB=6.求这个管道横截面的半径. D B 14.(2026·四川攀枝花·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB,垂足为H.E为BD上一点，连 接AE交CD于点F,EF的垂直平分线交CD的延长线于点G,连接GE. C B F D G (1)若⊙O的半径为3，AH=2,求CD的长： (2)求证：EG是⊙0的切线. 第14页共15页 15.(25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测)小明在完成作业“如图1，∠A0B=90°，C、D是以点0为 圆心的AB的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F,求证：AE=BF=CD”的基础上，做了如下尝试如 图2“把∠A0B=90改为∠A0B=120°，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，∠A0B=n°， C、D是以点O为圆心的AB的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F,求证：AE=BF=CD”,请写出小 明“尝试”和“猜想”的证明过程 C D E F B 0 图1 图2 图3 第15页共15页nullnull 专题06 垂径定理『挑战压轴题』 「思维导图+8个题型讲练+优选题拔尖练 共39题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 高频压轴题型举一反三变式训练 1 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 2 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 3 题型三 求圆弧的度数 4 题型四 利用垂径定理求值 4 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 5 题型六 利用垂径定理求解其他问题 6 题型七 垂径定理的推论 8 题型八 垂径定理的实际应用 9 优选题拔尖练 10 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（2026·浙江温州·二模）如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 【变式训练1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【变式训练2】（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 【变式训练1】（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 【变式训练2】（2025九年级上·山东·专题练习）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 题型三 求圆弧的度数 【典例精讲】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【变式训练2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 题型四 利用垂径定理求值 【典例精讲】（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【变式训练2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦于点H，，，求的半径的长． 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图1，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图2，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，，交直径于点，则______． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点，，．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图（1），先画圆心，再在上画点，使； (2)如图（2），点是上一点，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使． 题型六 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 【变式训练1】如图，是的弦，于点，交于点，点在上．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 题型七 垂径定理的推论 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：是直径，为的弦，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，于点H，连接，若，．求线段的长． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型八 垂径定理的实际应用 【典例精讲】《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【变式训练1】（2026·广西柳州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 2．（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 3．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 7．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 10．（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 14．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 15．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 垂径定理『挑战压轴题』 「思维导图+8个题型讲练+优选题拔尖练 共39题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 高频压轴题型举一反三变式训练 2 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 2 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 5 题型三 求圆弧的度数 7 题型四 利用垂径定理求值 9 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 11 题型六 利用垂径定理求解其他问题 16 题型七 垂径定理的推论 18 题型八 垂径定理的实际应用 23 优选题拔尖练 26 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（2026·浙江温州·二模）如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点，交于点，设，设的半径长为，分别在中，中，中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，连接并延长交于点，交于点，则：， ∵，点是的中点， ∴，垂直平分， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴设，则，， ∴， 设的半径长为，则， 在中，由勾股定理，得， 解得（舍去）或， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值舍去）； ∴. 【变式训练1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】 【分析】过作于点，延长交于点，连接，，，则有，，，从而可得，则，然后通过勾股定理求出，设为，则，通过勾股定理得，再求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为，则， ∵， ∴， ∴， ∴这座圆形观景台的半径是． 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 【答案】证明：过点作，交于点，交于点，如图， ∴，． ， ． 又， ， ∴． ． ， ． 【分析】过点作，交于点，交于点，由垂径定理得到，，然后由三线合一得到，推出，进而证明即可． 【变式训练1】（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等；掌握圆的基本性质是解题的关键． 由圆的基本性质得，由直径所对的圆周角是直角和勾股定理得，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 是的直径， ， ， ， 则的半径为， 故选：B． 【变式训练2】（2025九年级上·山东·专题练习）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； (2) 解：猜想：． 证明：∵，， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． （1）根据，证得，进而根据垂径定理证得； （2）先证明是的中位线，得出，进而得出结论． 题型三 求圆弧的度数 【典例精讲】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【答案】70 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，，由多边形的内角和即可求解；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 与正八边形相切于点A，E， ， ， ∵六边形的内角和为， ， ， 的度数为， 故答案为：． 题型四 利用垂径定理求值 【典例精讲】（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 【变式训练1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，最后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 是的直径，且，， ，， 为中点， ， 根据勾股定理，得， ． 【变式训练2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦于点H，，，求的半径的长． 【答案】2 【分析】由垂径定理得到，求出，再解求出的长，即可得到的半径长． 【详解】解：连接， ∵直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径长是2． 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图1，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图2，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，，交直径于点，则______． 【答案】(1) 解：如图1，即为所求的平分线； 证明：是半圆的中点， ， 直径直径， ， ， 即平分； (2) 如图2中，射线即为所求． (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作直径，作射线即可，理由见详解； （2）连接交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． （3）过点作于点，于点，勾股定理求出的长，根据角平分线的性质，得到，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点F作于点，于点． 是直径， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点，，．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图（1），先画圆心，再在上画点，使； (2)如图（2），点是上一点，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使． 【答案】(1) 如图1，点，即为所求； (2) 如图2所示，点，即为所求 【分析】本题考查了垂径定理，平行弦的应用，圆的对称性，圆周角定理． （1）根据网格特点，先找到的中点，根据网格的特点以及平移的性质作，交于点，连接并延长交于点，作直线交于点（），即可求解；理由如下，根据平移可得，则弧等于弧，进而可得弧弧，则，根据三线合一可得垂直平分； （2）取的格点，连接交于点，由网格可知，结合垂径定理可知B、E关于对称，连接交于点，连接并延长交于点，连接，结合等边对等角和同弧所对的圆周角相等可得，则． 题型六 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：连接，如图 ，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， ，，垂足分别为，， ，， ， ，，， ， 四边形是正方形． 【分析】先由垂直条件证明四边形为矩形，再利用等弧对等弦及已知得出，再结合垂径定理以及勾股定理得到弦心距，最后根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得证． 【变式训练1】如图，是的弦，于点，交于点，点在上．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．解题的关键是注意相关定理的应用． （1）由，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理，即可求得的度数； （2）根据，，由勾股定理可求得的长度，继而可得出的值． 【详解】（1）解：， ， ． （2）， 在中，， ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)10 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）证明，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接, 设的半径为r，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 题型七 垂径定理的推论 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：是直径，为的弦，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，于点H，连接，若，．求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，交于点Q，如图所示： ∵平分， ∴， ∴，即点B为的中点， ∵是直径， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴； (2) 证明：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (3) 【分析】（1）连接，交于点Q，由题意易得，然后根据垂径定理的推论可得垂直平分线段，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （3）连接，由（2）可知：，，即，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，，根据角的和差关系可得，设，则，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，如图所示： 由（2）可知：，，即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 由可设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可求证； （）连接，由垂径定理的推论可得，即得，又由（）得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理的推论等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型八 垂径定理的实际应用 【典例精讲】《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 【变式训练1】（2026·广西柳州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 解：如图，点O即为所求； (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点D．连接．利用勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点D．连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 在中，， 解得． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 2．（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 3．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 4．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 5．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 6．（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       7．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 10．（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 14．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 15．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】 尝试：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $