3.7 扇形(2) 教学设计 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆锥母线概念及侧面积（πrl）、全面积（πrl+πr²）公式，通过观察实物图片抽象圆锥引入，衔接扇形知识，搭建从具体到抽象的学习支架，梳理公式推导与应用脉络。 资料特色在于融合现实情境与数学探究，如用冰淇淋包装纸展开推导公式，培养几何直观与推理能力，例题结合铁皮容器盖、涂漆问题，提升模型意识与应用意识。分层设计例题、拓展题和作业，助力学生掌握公式应用，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

3.7 扇形(2) 【学习目标】 1、了解圆锥的母线的概念； 2、理解并掌握圆锥的侧面积公式 S圆锥侧＝πrl和全面积公式S圆锥全＝πrl+πr2； 3、会运用圆锥侧面积公式和全面积公式解决有关问题． 【学习重点】理解并掌握圆锥的侧面积公式 S圆锥侧＝πrl和全面积公式S圆锥全＝πrl+πr2. 【学习难点】综合运用圆锥侧面积公式和全面积公式解决有关问题. 【学习过程】 一、情景引入： 观察一组图片： 这些物品外形有哪些共同特点？能抽象成哪一种立体图形？ 二、新课讲解： 1、概念学习：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥的顶点和底面圆上 一点的线段叫作圆锥的母线．如图，线段SA是圆锥的一条母线． 2、提出问题：若圆锥的母线长为l，圆锥的底面圆半径为r，你能计算圆锥的侧面积吗？ 3、将圆锥形冰淇淋的包装纸的侧面沿虚线剪开，得到什么平面图形. 圆锥的侧面展开图是一个扇形．这个扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长.半径是圆锥的 母线长.所以S扇＝·2πr·l=πrl，故而：圆锥的侧面积S＝·2πr·l=πrl，S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2． 三、例题讲解： 1、讲解例3(书本第109页例3)用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，求这个铁皮容器盖的面积(结果精确到1cm2 )． 2、尝试练习： (1)(书本第110页习题第6题)给一种圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示．已知每平方厘米涂漆约0.5g，给100个这样的零件涂漆需要多少油漆？ (2)(书本第109页练习第2题)用半径为 30，圆心角为 120° 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆半径． 四、拓展提升： (1)(书本第110页习题第7题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F．用扇形AFD围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径． (2)(书本第110页习题第8题)如图，在三角形纸片△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a． ①分别以AC、BC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到两个不同的圆锥．求这两个圆锥的侧面积并比较大小． ②以AB所在直线为轴，把△ABC旋转一周，若a＝4，b＝3，求所得几何体的表面积． 五、课堂作业： 1、（1）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的全面积为 　 　 ； （2）用半径为2的半圆形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），这个圆锥的底面圆半径是 　 　 ； （3）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为30°，则该圆锥的母线长为 　 　 ； （4）某班为了舞台剧表演制作道具，现需制作一个圆锥形的帽子道具，已知制作这个帽子所需纸板面积为8π，母线长为4，则这个圆锥形帽子的高为 　 ； （5）为了促进乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱．在制作草帽时，用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π dm，侧面积为75π dm2的圆锥形草帽，则扇形草毡的圆心角为 　 　 ． 2、如图，已知扇形OAB的圆心角为120°，半径OA为6cm． （1）求扇形OAB的弧长；（结果保留π） （2）若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．（结果保留根号） 3、在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好圆成一个圆锥（如图），如果圆的直径为acm，扇形的半径为bcm，如果正方形的对角线为6cm，那么a和b的长度分别是多少？ 3.7 扇形(2)(答案) 【学习目标】 1、了解圆锥的母线的概念； 2、理解并掌握圆锥的侧面积公式 S圆锥侧＝πrl和全面积公式S圆锥全＝πrl+πr2； 3、会运用圆锥侧面积公式和全面积公式解决有关问题． 【学习重点】理解并掌握圆锥的侧面积公式 S圆锥侧＝πrl和全面积公式S圆锥全＝πrl+πr2. 【学习难点】综合运用圆锥侧面积公式和全面积公式解决有关问题. 【学习过程】 一、情景引入： 观察一组图片： 这些物品外形有哪些共同特点？能抽象成哪一种立体图形？ 二、新课讲解： 1、概念学习：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥的顶点和底面圆上 一点的线段叫作圆锥的母线．如图，线段SA是圆锥的一条母线． 2、提出问题：若圆锥的母线长为l，圆锥的底面圆半径为r，你能计算圆锥的侧面积吗？ 3、将圆锥形冰淇淋的包装纸的侧面沿虚线剪开，得到什么平面图形. 圆锥的侧面展开图是一个扇形．这个扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长.半径是圆锥的 母线长.所以S扇＝·2πr·l=πrl，故而：圆锥的侧面积S＝·2πr·l=πrl，S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2． 三、例题讲解： 1、讲解例3(书本第109页例3)用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，求这个铁皮容器盖的面积(结果精确到1cm2 )． 解：∵ 圆锥形容器盖的底面周长为π×80＝80π（cm）. ∴ 容器盖的面积S＝ ×80π×50≈6283（cm2）. 答：这个铁皮容器盖的面积约为6283cm2 ． 2、尝试练习： (1)(书本第110页习题第6题)给一种圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示．已知每平方厘米涂漆约0.5g，给100个这样的零件涂漆需要多少油漆？ 解：S侧＝π××12＝72π（cm2）． 100×72π ×0.5＝3600π（g）． 答：需要油漆3600π g . (2)(书本第109页练习第2题)用半径为 30，圆心角为 120° 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆半径． 解： 120×π×＝2πr r＝10 答：这个圆锥的底面圆半径为10． 四、拓展提升： (1)(书本第110页习题第7题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F．用扇形AFD围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径． 解：连接AE． ∵ BC与⊙A相切于点E，∴ AE⊥BC，AE＝AD＝2． 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 BE＝＝＝2． 　∴ AE＝BE，∴∠BAE＝45°， ∵ AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°． ∴ ∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝135°. ∵＝2πr，∴ r＝． (2)(书本第110页习题第8题)如图，在三角形纸片△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a． ①分别以AC、BC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到两个不同的圆锥．求这两个圆锥的侧面积并比较大小． ②以AB所在直线为轴，把△ABC旋转一周，若a＝4，b＝3，求所得几何体的表面积． 解：(1)∵∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，∴AB＝． 如图①，以直线AC为轴：S1＝π·BC·AB＝πa； 如图②，以直线BC为轴：S2＝π·AC·AB＝πb． ∵ S1－S2＝π(a－b)， ∴若a＞b．则S1＞S2； 若a＝b．则S1＝S2； 若a＜b．则S1＜S2 (2) 如图，作CD⊥AB于点D． AB＝＝＝5． ∵ AB·CD＝ AC·BC， ∴ CD＝＝3×＝． 如图③，以直线AB为轴，把△ABC旋转1周所得几何体是由CD为底面半径的两个圆锥组成的，则它的表面积S表＝π××3＋π××4＝π． 五、课堂作业： 1、（1）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的全面积为 　21π　 ； （2）用半径为2的半圆形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），这个圆锥的底面圆半径是 　1　 ； （3）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为30°，则该圆锥的母线长为 　48　 ； （4）某班为了舞台剧表演制作道具，现需制作一个圆锥形的帽子道具，已知制作这个帽子所需纸板面积为8π，母线长为4，则这个圆锥形帽子的高为 　2　 ； （5）为了促进乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱．在制作草帽时，用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π dm，侧面积为75π dm2的圆锥形草帽，则扇形草毡的圆心角为 　120°　 ． 2、如图，已知扇形OAB的圆心角为120°，半径OA为6cm． （1）求扇形OAB的弧长；（结果保留π） （2）若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．（结果保留根号） 解；（1）扇形OAB的弧长为4π（cm）； （2）设这个圆锥形无底纸帽的底面圆的半径为rcm， 根据题意得2πr＝4π， 解得r＝2， 所以这个纸帽的高OH4（cm）． 3、在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好圆成一个圆锥（如图），如果圆的直径为acm，扇形的半径为bcm，如果正方形的对角线为6cm，那么a和b的长度分别是多少？ 解：因为扇形的弧长等于圆锥底面周长，正方形的对用线为6cm， 可得，解得， 答：a和b的长度分别是cm和cm． 学科网（北京）股份有限公司 $