专题02 一元二次方程的根与系数的关系【（挑战压轴题）导图知识卡片+考点讲练+优选题训练 共18题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系这一核心知识点，前承方程解法及判别式基础，后启函数与几何应用，通过知识点思维导图梳理知识脉络，典例精讲与变式训练搭建从基础理解到综合运用的学习支架。 该资料以思维导图助力抽象能力培养，典例与变式训练强化推理意识，优选题融入菱形面积、矩形对角线等几何情境发展模型意识。课中辅助教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题02 一元二次方程的根与系数的关系『挑战压轴题』 「思维导图+题型讲练+优选题拔尖练 共18题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 高频压轴题型举一反三变式训练 1 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 1 优选题拔尖练 2 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 7．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知，，，则______． 8．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 14．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02一元二次方程的根与系数的关系『挑战压轴题』 「思维导图+题型讲练+优选题拔尖练共18题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 山且录导航 高频压轴题型举一反三变式训练 1 题型一一元二次方程的根与系数的关系 优选题拔尖练.·· 2 山 思维导图技巧克拨 一、一元二次方程的根 ★三、韦达定理的应用技巧 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 1已知一根，求另一根及系数 判别式：△=bP-4ac 的核心思想 若已知方程a2+br+e=0的一个根x 判别式A△>0 △=0 △<0 则另一根x=-名-，且c=ar1 ·利用根与系数的关系《韦达定理) 根的情况有两个不相等的 将“根的问题”转化为“系数的问题 有两个相等的 2已知根的和与积，求系数 没有实数根 实数根 实数根 。无需求出具体的根。直接通过根的和 与积进行计算，简化运算，解决复杂 问题， x+P=0,与ax2+bx+e= 根的表示 ==一 无实数根 比较得a=1,b=-S,c=P 求根公式：a=-b士-4ac 3整式的值与根的关系 (62-4ac≥0) 若，是方程ax2+bx+c=0的根， 2a 则任何关于，x的对称式（只含+x,x) 九年级上册桃战压轴题专题02 都可用a,b,c表示。 口二、根与系数的关系（伟达定理） 根与系数的关系 4多项式因式分解 名方程ar+b证+c=0a≠0)有两个实数根： 若，是方程a+b:+c=0的根 则ar2+bx+c■a(x-x)(x-). 为= 六典型例题 ★说明：根与系数的关系也称为韦达定理。 ©五、常见压轴题考点总结 圆口判断下列方程是否有实数根，求两根的和与积： 上利用韦达定理求代数式的值已如根的和。机求关于梨的对麻式或分式、园式的值 0)x2+2x-5=0:(2)2x2+x=1. 山四、根与系数关系的推广 2已加一根，求男一根证●数结合韦达定理列方程。求另一根设字母参数的值 若-元三次方程ax+bx2+cx+d=0(a≠o) 园背核数是学 有三个根x1,x,,则： 3构造新方程 根圆已知条件构造以马十：为系数的新方程， 4枫的存在性问圈 例3已如关于x的方程22+x+50=0的一个根是10， 利用树刚式A时一4，讨论园的个数与参数的关系 求它的另一 个根和m的值 +场+=吕 5最式能否分解 已知关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是V及+1， 2-1,求bc的值. 场=-君 6动点题中的与系数 在几何或函数问题中。建立方程。用达定理化计算 锅5已知关于x的方程2一红-m=0的一个根是另一个根的 3倍。求闲的值， ★推广方法：将方程左边因式分解， 巧点拔： 展开后与一般形式比较系数得到关系。 ★解题关键：明璃根与系数的关系，灵活运用 注意韦达定理的适用条件≠0且有实数根 知识总结 元二次方程的根与系数的关系为我们提供了强有力的工具，能够在不求出具体根的情况下解决许多何题， 是中考压轴题的高频考点 一定要热练掌握井灵活运用 山高频压轴题型举一反三李式训练 题型一一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】(25-26八年级下·安徽安庆·期末)已知，β是方程x2+2024x+1=0的两个根，则(1+ 2026a+a2)(1+2026βB+B2)的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 第1页共5页 【变式训练1】(25-26八年级下·江苏苏州·期末)已知关于x的一元二次方程x2-6x+m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为x1,x2,且x1=2x2,求m的值. 【变式训练2】(25-26八年级下·浙江杭州·期末)关于x的一元二次方程ax2+(a-2)x-2=0①(a 为常数，且a≠0)的两个根分别为x1,x2:且x1<0,x2>0. (1)求证：无论a取何值，-1是方程①的一个根. (2)当a>1时，求1+1的取值范围 x2 (3)若关于x的一元二次方程ax2+(a-2)x-2=a3-4a+c(a为常数，且a≠0)的一个根比方程①的根x1 大a,求c的最大值。 山优迭题拔尖练 1.(26-27九年级上·全国·单元复习)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2+2=0的两个实 数根为x1和x2,设t=12,则t的最大值为( A.-4 B.4 C.-6 D.6 2.(26-27九年级上·全国·课后作业)甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错 了常数项，因而得到方程的两个根为一4和-5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为 2和9，则原来的方程是( A..x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x2+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 第2页共5页 3.(26-27九年级上·全国·单元复习)新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”.若关于x 的一元二次方程mx2-(2m+m)x+2n=0是“倍根方程”，则代数式m的值为( m+2n A.或-号 B.或- c.-或- D.-域号 4.(25-26九年级上·四川南充·阶段检测)已知实数a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，则a3+a+6b 的值是( A.14 B.-14 C.17W2 D.10 5.(25-26九年级上安徽芜湖阶段检测)已知m,n是方程x2+2025x+7=0的两个根，则(m2+2024m+ 6)(n2+2026n+8)=( ) A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 6.(25-26九年级上·四川南充·阶段检测)菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+6=0的两根，则菱 形的面积是」 7.（25-26九年级上·四川南充·阶段检测)已知m≠n,m2+2012m=2021,n2+2012=2021,则 mn= 8.(25-26九年级上·安徽芜湖·期中)己知xy≠1，且3x2+2021x+6=0,6y2+2021y+3=0,则 9.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)设x1,x2是关于x的一元二次方程x2-x-20=0的两个实 数根，则xx2+x1x的值为 10.(25-26八年级下·浙江金华·期末)已知矩形的两条边长分别是一元二次方程2x2-4x+1=0的两 个根，则该矩形的对角线长为 11.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)已知关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x+2=0有实数 根，且两根之和为整数，求整数m的值. 第3页共5页 12.(25-26九年级上陕西安康期中)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1,x2: (1)求m的取值范围. (2)当x+x3=6x1x2时，求m的值. 13.(26-27九年级上·全国·单元复习)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0. (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围， (2)若方程有两个实数根x1、x2且满足x12+x22=5,求k的值. 14.(25-26八年级下·安徽蚌埠·期末)若关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+2=0有两个不相 等的实数根。 (1)求k的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为a,B,且(a+1)(B+1)=13,求k的值. 第4页共5页 15.(25-26九年级上·安徽芜湖·期中)若x1,x2是一元二次方程Qx2+bx+c=0(a≠0)的两根，则有x1+ 2=一名X1·x?=总由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关 系称为一元二次方程根与系数的关系. (1)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2-1=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,且满足： |x1+x2l=x1x2,求k的值： (2)若，B是方程x2-x-1=0的两根，记S1=a+B,S2=2+B2,…,Sm=+Bm, ①当n为不小于3的整数时，证明：Sn-2+Sn-1=Sn: ②计算S2,S7的值， 第5页共5页null 专题02 一元二次方程的根与系数的关系『挑战压轴题』 「思维导图+题型讲练+优选题拔尖练 共18题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 高频压轴题型举一反三变式训练 1 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 1 优选题拔尖练 4 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 4．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 6．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 7．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知，，，则______． 【答案】 【分析】和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系即可求得的值． 【详解】解： 由题意得 ，，且， 可知，是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得 ． 8．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 14．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null