四川省合江县马街中学校2025-2026学年高三上学期第二次教学质量诊断性模拟考试数学试题

高2023级高三第二次教学质量诊断性模拟考试 数学试题 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．记为等差数列的前n项和.若则 A． B． C． D． 5．已知，且满足，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 6．已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是 A． B． C． D． 7．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有 A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 8．已知的定义域为，且，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则 A．乙组同学恰好命中2次的概率为 B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 C．甲组同学命中次数的方差为 D．乙组同学命中次数的数学期望为 11．在三棱锥中，平面平面，，则 A．三棱锥的体积为1 B．点到直线AD的距离为 C．二面角的正切值为2 D．三棱锥外接球的球心到平面的距离为 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算： ． 13．函数（）的最大值是 ． 14．过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线与另一条渐近线交于点B．且点A，B位于x轴的异侧，O为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某市统计了2025年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. (1)求； (2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； (3)若2025年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．（15分） 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求 二面角的正弦值． 17．（15分） 如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上. (1)求的面积； (2)若，，求CE的长. 18．（17分） 已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．   (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段与长度的大小，并说明理由； (3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值． 19．（17分） 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $高2023级高三第二次教学质量诊断性模拟考试 数学试题参考答案 一.单选题 题号 2 y 6 1 8 答案 C B A B D C B B 二.多选题 题号9 10 11 答案BCD BCD ACD 三.填空题 2.2 13.1 14. 2 四.解答题 15.解：(1)依题意得，50×a+0.006+0.01+a=1,…3分 解得0=0.002.………………………4分 (2)由频率分布直方图知， 4月份的空气质量达标的天数为：50×(0.002+0.006×30=12，…5分 则4月份的空气质量不达标的天数为：30-12=18，…6分 则任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为：1- 94 0…………8分 145 (3)列联表如下： …10分 空气质量 月份 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 零假设：空气质量是否达标与月份无关， 则x2= 60×12×22-8×18) =1.2<2.706=X0.1 12分 20×40×30×30 所以根据小概率值=01的独立性检验，没有充分理由推断假设不成立， 故不能认为空气质量是否达标与月份有关联.………13分 第1页，共2页 16.解：(1)在直三棱柱ABC-A,B,C中，设点A到平面ABC的距离为h, 4 ………3分 3 解得h=√2，………… ……5分 所以点A到平面ABC的距离为√2； 0…6分 (2)取AB的中点E,连接AE,如图，因为AA=AB,所以AE⊥AB, 又平面A,BC1平面ABB,A,平面A,BC∩平面ABBA=AB,…7分 且AEc平面ABB,A,,所以AE⊥平面A,BC, 在直三棱柱ABC-A,BC中，BB,⊥平面ABC, 由BCC平面ABC,BCc平面ABC可得AE⊥BC,BB,⊥BC,…8分 又AE,BB,C平面ABBA且相交，所以BC⊥平面ABBA,…9分 所以BC,BA,BB,两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，·10分 D)、 E B 由(1)得AE=√2，所以AA=AB=2,A,B=2V2,所以BC=2, 则A(0,2,0),A(0,2,2),B(0,0,0),C2,0,0),所以AC的中点D(1,1,1, 则BD=(1,1,1,BA=(0,2,0）,BC=(2,0,0),…11分 设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z,则 m·BD=x+y+z=0 mBA=2y=0 可取m=（1,0,-1,… …12分 第1页，共2页 i.BD=a+b+c=0 设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c,则 iBC=2a=0 可取n=(0,1,-1,…………13分 则cos(m,0- m·n 1 1 同 V2x2, …14分 所以二面角A-BD-C的正弦值 ……15分 2 2 17.解：(1)ABC中， AB 。AC 5 →sinB=V2 ……2分 sin ZACB sin B sin60°sinB 2 因为AB>AC,B∈(0，π，所以∠ABC=45°， ……3分 所以LBAC=180°-45°-60°=75°， 因为sin∠BAC=sin45°+60)=sin45°cos60°+cos45°sin60° =2x1+2x5V6+5 0 2222 4 所以5号4B4Csm∠C-5x5x645-35 ……………7分 4 4 (2)方法1：因为花=D, Γ3 所以CE=C+AE=CA+2D=CA+2(CD-C列=CA+2cD, 3 所以cE=C+4cD+2Ca.2c0) 2+48+2xx45cos12rj-5 则cE=V26 ……9分 3 方法2：在△ADC中，由余弦定理得AD2=CA+CD2-2CA·CDcos∠ACD =2+8-2√2.2√2√2c0s120°=14→AD=V14, 因为E为线段AD上靠近D的三等分点， 所以DE=4 ……11分 3 因为AC AD 2√14 → sinD sin∠4CD sin D sin120° 所以sinD= 27 ……12分 因为D为锐角， 第1页，共2页 35 所以c0sD=1-sin2D三0282万…13分 在aCDE中，由余弦定理得， CE-DC+DE:-2DC.DCc0sD-8+14-2x2x4x526 …14分 9 3279 所以CE=2 …………15分 3 18.解：(1)由题意得F0),即：c=1,又9=2 ,所以a=√2，…2分 a 2 由a-2=c2,得=1，所以椭圆的方程为上+X=1.…3分 2 (2)由题意得过点F的直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y=c+1, 设Ax,),B(x2,y2,C(x3,y3),D(x4,4), y=a+1 联立y2 +=1消去y得：(2+)+2-1=0， ……4分 2 2k 则x+X2= 2+k2,3= 2+k2, 所以48=+ 2k 221+k2) 24-42+ 2+k2 …5分 抛物线K的方程为：x2=4y, [y=kx+1 联立 2=4y，消去y得：2-4-4=0， 则x3+x4=4k,xx4=-4, 所以CD=1+k2）16k2+16)=41+2）,…7分 所以AC-BD=(AC+AD-(BD+AD）=|CD-AB =41+k2）- 21+k2)21+k2)(2k2+4-V2) >0 ……8分 2+k2 2+k2 即AC>BD… 0…9分 (3)设Ax,),B(x2,y2,E(x3,),G(x6,y6), 当直线AB的斜率存在且不为零时， 设直线AB方程为y=x+1(k≠0)， 第1页，共2页 则直线EG方程为y=x+1, 由(2)的过程可知：A8 22(1+k2）】 ……11分 2+k2 lC0=4+,以-替换k,可得|EG=41+)…12分 s网-g 42(1+k2)2 k2(2+k2】 421+k2_42 (1+2)-11-,1 0…………………14分 (1+k2)2 4V2 园为+>1，所以+守0则，1 1 +ye0,5 1、1 >42 ;…15分 (（1+23 当直线AB的斜率不存在时，AB=2√2，EG=4, 所以S%=485G-×22x4=42: ……………16分 2 综上所述：S4E6之4V2,所以四边形AEBG面积的最小值为42.…17分 19.解：(1)因为f(x)=x-xer+6,xeR,所以f'(x)=1-(3x2+ar3）e+b ……1分 因为f(x)在(L,f)处的切线方程为y=-x+1,· 所以f)=-1+1=0,f'(1)=-1,… …2分 1-13×ea+b=0 a=-1 1-(3+a)eb=-1'解得 则 …3分 b=1 所以a=-1,b=1. (2)由(1)得g(x)=f'(x)=1-(3x2-x）e+(xeR),则g'(x)=-xx2-6x+6)e,…4分 令x2-6x+6=0,解得x=3±V5,不妨设x=3-√5，x2=3+V5,则0<：<x, 易知e1>0恒成立， 所以令g'(x<0,解得0<x<x或x>;令g'(x)>0,解得x<0或x<x<x; 所以gx)在(0，x),，x2,+0）上单调递减，在(-0,0)，(x,x2)上单调递增， 即g(x的单调递减区间为0,3-V5)和3+V5,+0）,单调递增区间为-0,0)和3-V5,3+V5…7分 第1页，共2页 (3)由(1)得f(x)=x-xe+(xeR),f'(x)=1-3x2-x)e, 由(2)知'(x在(0，x),（x2,+0)上单调递减，在(-0,0)，（x,x,)上单调递增， 当x<0时，f'(-1=1-4e2<0,f'(0)=1>0,即f'(-f'(0)<0 所以'(x)在(-0,0)上存在唯一零点，不妨设为x,则-1<x<0, 此时，当x<x时，f'(x<0,则fx单调递减；当x<x<0时，f'(x)>0,则f(x单调递增： 所以f(x在(-00,0)上有一个极小值点；…l0分 当xe(0,x)时，f'(x在(0，x)上单调递减， 则f'(x)='3-5<f"()=1-2<0,故f'（0)f'(x)<0, 所以∫'(x在(0，x)上存在唯一零点，不妨设为x4,则0<x4<x, 此时，当0<x<x时，f'(x)>0,则f(x)单调递增；当x4<x<:时，f'(x<0,则f(x)单调递减： 所以f(x在(0，x)上有一个极大值点； …12分 当x∈(x,x2)时，'(x在x,x2)上单调递增， 则f"(x)=f'3+5>'"(3)=1>0,故f'(x)f'(x2)<0, 所以∫'(x在x,x)上存在唯一零点，不妨设为x,则x<<x2, 此时，当：<x<x时，'(x<0,则f(x单调递减；当x<x<x时，∫'(x<0,则f(x单调递增； 所以∫(x在x,2)上有一个极小值点；……14分 当x>x2=3+V5>3时，3x2-x3=x2(3-x<0, 所以f'(x)=1-（3x2-x)e>0,则f(x)单调递增， 所以∫(x在x2,+0上无极值点；…16分 综上：f(x)在(-0,0)和(x,x2)上各有一个极小值点，在(0，x)上有一个极大值点，共 有3个极值点.…… ……17分 第1页，共2页