精品解析：四川省雅安市天立学校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

高2024级高三上期第一次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式，即可． 【详解】设扇形的半径为， 扇形的弧长为，圆心角为， 则， 故扇形的面积为． 故选：C 3. 下列求导运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D错误. 4. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为即所以， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值，最小值为. 5. 若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数及对数型函数的图象及性质判断即可. 【详解】由图象可知，在定义域内单调递减，所以. 当时，，即，所以. 由图象可知，则. 故，. 当时，单调递减； 当时，，此时， 综上，函数的大致图象是选项D. 6. 已知，设，则函数的最小值是（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为分段函数的最小值问题，然后根据函数的单调性求解． 【详解】由，即，解得或； 由，即，解得. 由题意， 则在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值是． 故选：A． 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用函数性质转化不等式求解的取值范围即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数， 对求导得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 又， 因此，故在上为单调递增函数， 因为等价于， 由奇函数性质得， 因为在上为单调递增函数，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 8. 如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的正切值为 【答案】D 【解析】 【分析】首先需要设定基本长度关系，设则故由全等性：且为等边三角形， 故然后逐项验证选项. 【详解】对于A，由条件得，根据正弦定理有，即，A正确； 对于B，不妨设，则，，又， 由余弦定理得，所以，B正确； 对于C，根据对称性，有，， 所以 ， 化简得，C正确； 对于D，不妨设，则， 故， ， 所以，则， ，D错误． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，是奇函数且在上是增函数，A正确； 对于B，是奇函数且分别在和上是增函数，B错误； 对于C，是奇函数且在上是增函数，C正确； 对于D，是偶函数，D错误． 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】由为奇函数可得，取即可判断A，由为偶函数可得即可判断B；利用周期性判断C，利用周期性和对称性并结合题意求解单调性判断D即可. 【详解】对于A，因为为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； 对于B，因为为偶函数，所以， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，而，得到， 则，而，即， 可得，故， 得到是周期为4的周期函数， 由周期性可得，故C错误， 对于D，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，由中心对称性可得在上单调递增， 由轴对称性可得在上单调递减， 由中心对称性可得在上单调递减， 由周期性可得在上单调递减， 则函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求内层函数值，再求外层函数值即可 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：2 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理可得，， 则. 14. 已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先通过已知条件代入函数表达式，解方程即可求出参数的取值；换元令，结合已得的值化简，通过分析函数单调性构造同构关系，即可解出不等式得到解集. 【详解】由得 ，即，解得， 则，函数的定义域为， 由可知函数为奇函数， 对于，因函数为上的增函数且恒为正数， 则可得在上单调递增，且当时， 设函数，则由， 可得是偶函数.因为当时，单调递增，单调递增且 ， 则在上单调递增. 又因，则不等式等价于， 可得，解得或， 故不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集为实数集的几何意义，结合数轴列不等式组求解； （2）将充分不必要条件转化为集合的真包含关系，分情况列不等式求解； 【小问1详解】 集合，或. 由可得，解得； 因此实数的取值范围为； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则 ， 当完全包含于的左半区间时，满足，解得； 当完全包含于的右半区间时，满足，解得； 综上，实数的取值范围为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）证明：在中，由正弦定理得， 即， 则，又，， 又，由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，即A为钝角， 所以为钝角三角形． （2）9 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理结合两角和的正弦公式，对已知条件进行边角互化，可得，，再利用余弦定理即可判断，从而得出证明；（2）根据（1）中所求，可得，再利用面积公式建立等量关系，即可求出，从而求出，即可求出三角形周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由（1）知，则， 由，得，所以，则， 所以，因此，所以的周长为9． 17. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可知，在一点处的导数值等于在这点处切线的斜率，通过求导计算出切线斜率，代入切点坐标即可得到切线方程； （2）在定义域范围内通过求导求出导函数的零点，讨论零点左右的正负判断极大值与极小值，代入横坐标计算极值即可． 【小问1详解】 若，则， 所以，， 所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 若，则，所以，令，解得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值 18. 函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式得，进而由得，再根据即可求得答案； （2）根据函数图象平移得，再根据三角函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 解：因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 【小问2详解】 解：因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象 所以， 因为，所以， 所以，当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值； 所以，函数在区间上的值域为 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）实数的取值范围是． 证明：取，则， 则， 令， 则，， 设， 则， 则在上单调递增， 则，即； （ii）证明：由（ⅰ）知，，， 要证， 只需证， 即证明， 令， 则， 则在上单调递增， ，即， ； 又因为，且， 故． 要证， 只需证， 令， 则且， 只需证明． 令， 则， 在上单调递减， ， 即，从而得证． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，因式分解导数，再分类讨论分析函数的单调性． （2）（ⅰ）由第（1）问，时最多有一个零点，排除这种情况，计算时的极小值，接着构造函数得到的取值范围；把代入，换元化简，利用的单调性，证得． （ii）先借助极小值点，构造关于的函数证明，结合，可证出；再用（ⅰ）的找点结果做桥梁，换元转化变量，构造函数求导判断单调性，证明，即可得证． 【小问1详解】 由， 得， 当时，，则在上单调递减； 当时，若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，若函数有两个零点，则， 且当时，取得极小值，也即为最小值， 又∵当时，，当时，，所以， 即，即， 由于，则函数在上是增函数，且， ∴不等式的解为， ∴实数的取值范围是； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高三上期第一次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，设，则函数的最小值是（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 3 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的正切值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 11. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. D. 函数在上单调递减 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______. 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 14. 已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 17. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的极值． 18. 函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $