1.4 第4课时 相似三角形的判定定理3-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

5..BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上， .∠DBA=∠CAE. 提--器-震-2=专=2， 又ABBD √2 .AB-BC_AC ?√10 CA AE =3,.△ABD∽△CAE. DE EF DF 6.不正确.理由： :由已知条件不能得到能-瓷。 .△ABC∽△DEF(三边成比例的两个三角形相似) .∠DEF=∠CBA=a, .不能证得△AEDc△BEC. 又./CAB=/FDE=135°，./DFE=45°-a. 能力在线 13.:AD是△ABC的高，E,F分别是AB,AC的中点， 7.B8.C9.1 10.(1)证明：易证DE-CE=1 ∴DE=AB,DF=合AC,EF=BC AEBE2· 又：∠DEC=∠AEB,△DCE∽△ABE. 器 =2.△DEF∽△ABC (2)由1)知DC-DE1 拓展在 AB-AE2 14.(1)△ABCc∽△DEF,由三边对应成比例可知 11.∠B=∠D=90, (2)如图. 当AB:PD=BP:CD时，△ABP∽△PDC, 4Bp,解得BP=2或12 6 BP AB:CD=BP:DP时，△ABP∽△CDP, 6 BP -14-Bp,解得BP=8.4. 当以点P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时，BP 微专题1相似三角形的基本模型 的长为2或12或8.4. 1.B 拓展在线 12.(1)证明：过点C作CF⊥AB于点F, 2.(I)证明：ED∥BC,△ADE△ABC.AE=DE .∠A=90°，AB∥CD, 'BE平分∠ABC,∴.∠DBE=∠EBC. .∠D=90°，四边形AFCD为矩形 .ED∥BC,.∠DEB=∠EBC. ..AF=CD=1,BF=1. .∠DBE=∠DEB.∴.DE=BD BC=3,∴.在Rt△BCF中，CF=2√2 ..AE_BD E为AD的中点， AC-BC,即AE·BC=BD·AC ·EA=DE= -AD-CF-/3. (2)△EAD与△EDB在AB边上的高相等， CD_1_V2DE_V2.CD_DE SAADE AD EAV22'AB=2“EA=AB 8DDE6,A4D=9,4g15 :∠D=∠A=90°，∴.△CDE∽△EAB. (2)△CDEc∽△CEB.证明如下： :AB△ADE,器-铝即S-号 69 △CDE∽△EAB,∴∠CED=∠EBA. 故BC=10. ,∠EBA+∠BEA=90°， 3.,∠ADE=∠ACB,∴.180°-∠ADE=180°-∠ACB: ∴∠CED+∠BEA=90°，∴.∠CEB=90° 即∠BDF=∠ECF. 又：∠BFD=∠EFC,∴.△BDF∽△ECF. 在Rt△CDE中，CE=√（√2）2+12=√3， RD-DE 在Rt△EAB中，EB=√/(W2)2+22=√6. EcCF,即8-D =DF=4, 品后器晨店罡器 4.相似.理由如下： EO_DO EO BO BO-CODO-CO' ·∠D=∠CEB=90°，∴.△CDEp△CEB. ∠BOE=∠COD,∠DOE=-∠COB, 第4课时相似三角形的判定定理3 '.△BOEC∽△COD,△DOECOB 基础在线 '.∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO 1.A2.B3.B4.A ∠ADE=∠DCO+∠DEO,∠ABC=∠EBO+∠CBO, 5.(1)12.515(2)128 .∠ADE=∠ABC. 6.∠B=∠AED.理由如下： '∠A=∠A,∴.△ADE∽△ABC :AD=3,AE=6,DE=5,BD=15,CE=3,BC=15, 5.'∠BAC=90°，AD⊥BC, .AC=AE+EC=6+3=9,AB=AD+BD=3+15=18. :∠BAC=∠ADB=9O :∠CBA=∠ABD,∴△ABCD△DBA. AB DB ÷己侣-瓷ADEAACB. -品器∠BAD=∠C AD⊥BC,E为AC的中点， ∴.∠B=∠AED. 1湘理由：品-器-器：△ABC∽△DBE, .DE=EC,∴.∠BDF=∠CDE=∠C, DFDBEADF .∠ABC=∠DBE, .AB_DF ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, .DB-DE AD=AF·AC=AF 即∠ABD=∠CBE, 6.(1):∠DAB=∠EAC,.∠DAE=∠BAC AB_BC 品部器 又·∠ADE=∠ABC,.△ADE∽△ABC. (2).'△ADE∽△ABC, ∴.△ABDC∽△CBE. 8.A 铝能罡怨 ·AEAC 能力在线 9.D10.C.△DEF号 又·∠DAB=∠EAC,∴△ADBn△AEC.AP=BD AE CE 7.D 12.根据勾股定理可知，AB=2√2，BC=2I0,DE=√2，EF 8.(1)证明：，AB=AC,∴.∠B=∠C =/10,又AC=4,DF=2, .'∠APC=∠B+∠BAP,∠APC=∠APD+∠CPD: ∠APD=∠B,∴∠BAP=∠CPD, F∠B=ZC,.△ABPOAPCD. 14 一探究在线·九 (2):BC=12,点P为BC的中点，.BP=PC=6, ..PA:PB-PE:PF, :△ABP∽△PCD,P光 ,即0-6 AB BP 6CD EC=PF,路器-D PBPE 解得CD=3.6. 在△ECP和△CNM中， (3)当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或号. ,CP⊥MN于点Q,.∠QCN+∠QNC=90° 又∠QCN+∠QCM=90°，∴.∠QCM=∠QNC, 微专题2相似三角形中常见辅助线的作法 1.连接DF. RAPECRMCN系-器 E,F是边BC上的两个三等分点， ..BE=EF=FC 即瓷兴② D是AC的中点，∴AD=CD. .DF是△ACE的中位线. 由①@，得路兴，则PA:PB=CMCN ∴DF∥AE,且DF=AE∴DF∥PE 7.延长GF,AC交于点H, CD⊥AB,FG⊥AB,.CD∥FG, _BP .∴.△AFG∽△AED, △BEP∽△BFD.B能 △AFH∽△AEC. .'BF=2BE,.'.BD=2BP..'BP=PD .AF-EG AF-FH FG FH DF∥AE.APD品-8部 AE-ED'AE-EC.∴-C 又E为CD的中点，.ED=EC,.FG=FH 设PE=a,则DF=2a,AP=AE-PE=3a. 易证得Rt△CFH∽Rt△GFB, ..PQ:QD-AP:DF-3:2. .BP:PQ:QD=5:3:2 器票PGFH=CBE 2.过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G :FG=FH,∴FG=FC·BF .CG∥AB,.∠DAF=∠G. 阶段测评1(1.2~1.4) 又D为CF的中点，∴CD=DF ∠DAF=∠G, 1.C2.A3.D4.C5.B6.C.号 8.8 在△ADF和△GDC中，{∠ADF=∠GDC, DF-DC, 9.∠C=∠E或∠B=∠ADE(答案不唯-)10，司 .△ADF≌△GDC(AAS).∴.AF=CG ,BF:AF=3:2,∴.AB:AF=5:2. 12.①③ AB∥CG,∴△ABEn△GCE. BE AB AB 5 EC CG AF 2 3.(1)作AG∥BC,交BE的延长 1,:矩形ABCD与矩形DEPC相似是-S, 线于点G, 即品号DE-号 .'AG∥BC,.△AGF∽△DBF .AF=4DF,∴.AG=4BD. D ·AE=AD-DE=5-4=21 5 .CD=3BD,.BC=4BD,.'.AG=BC. AE_AG-1. 14.(1)证明：：∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC, 又AG∥BC,.△AGEn△CBE,C=BC ∴.∠ADF=∠C. (2)证明：BD2=DF·AD,ADBD: .BD DF 又：ADDF AC=CG△ADF∽△ACG ∠BDF=∠ADB,.△BDF∽△ADB, (2 AADF△ACG÷把-沿-，即能 =1 FG ∴.∠BAD=∠FBD. 又：∠ABD=∠ACB,.△ABD△BCE, 15.(1)证明：四边形ABCD是正方形， 2说CE,AB=D,AC .∠B=90°，AD∥BC,AD=AB..∠EAM=∠AMB EF⊥AM,.∠AFE=90°..∠AFE=∠B. 又.'AB=AC,BC=4BD, ∴.△ABMp△EFA. (2)在Rt△ABM中，AM=√AB2+BM=13. CE·AC=BC·BC,BC=4CE·AC 4.过点C作CF∥AB交DP于点F, :点F是AM的中点，AF=合AM= 2 13 △PBD∽△PCE.Bg=B CF NAD∥CF,.∠ADE=∠EFC. △EFAn△ABM,AE 品即背-言， AF」 .'AD=AE,∴.∠ADE=∠AED 解得AE=16.9, '∠AED=∠CEP,∴∠EFC=∠CEP ..DE=16.9-12=4.9. Ec-cR部肥 1.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质定理1 5.(1)证明：由∠BAC=∠BEF=90°，得∠1+∠AEB=∠2 基础在线 +AEB=90°，，./1=/2. 1.A (2)过点F作FG⊥AC于点G, 2..AC平分∠BAD,·∠BAC=∠CAD, 由(1)知，∠1=∠2，.△ABEp△GEF :4B :∠ABC=∠ACD,△BACD△CAD, -2， :BMLAC..CNLAD,兴-把即景-号 ..GE=2GF .CN=1.8. 由作图知，△GFC为等腰直角三角形， 3.A ..GF=CG,.GE=2CG. 4.:△ABC∽△DEF,AM,DN分别是△ABC,△DEF的角 “E为AC的中点，名行 平分线器-器 Gp∥AB器=8 .AB=10 cm,DE=5 cm,AM=12 cm, 6.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥CB D-6 cm. 于点F,则四边形CEPF为矩形. 5.A .PF∥EC,PF=EC .∠A=∠B=45°， 6是- =2,∠A=∠D, '.Rt△AEP∽Rt△BFP, ,∴.△ABC∽△DEF,且相似比为2：1. 级数学（上）·XJ一©第4课时 相似： ①基础在线沙 知识要点分类练。 知识点三边成比例的两个三角形相似 1.甲三角形的三边分别为2,3,4，乙三角形的三边 分别为6,9,12，则甲、乙两个三角形() A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断是否相似 2.在△ABC和△A'B'C'中，AB=9cm,BC= 8 cm,CA=5 cm,A'B'=4.5 cm,B'C'= 2.5cm,CA'=4cm,则有 () A.∠A=∠A1 B.∠A=∠B C.∠A=∠C D.∠C=∠B 3.下列条件，能使△ABC和△A1B,C1相似的是 () A.AB=2.5,BC=2,AC=3;A1B1=3,B1C=4, AC=6 B.AB=2,BC=3,AC=4;A1B1=3,B1C1=6, AG=号 C.AB=10,BC=AC=8;A1B1=√6，B1C1= A1C1=√5 D.AB=1,BC=√5，AC=3;A1B1=√15， B1C1=2√3，A1C1=6 4.如图，小正方形的边长均为1，则 下列图中的三角形（阴影部分）与 △ABC相似的是 A B C D 5.已知：在△ABC中，AB=4,BC=5,CA=6. (1)如果DE=10,那么当EF= ,FD= 时，△DEF∽△ABC; (2)如果DE=10,那么当EF= FD- 时，△FDEp△ABC. 15探究在线九年级数学（上）·灯 三角形的判定定理3 6.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC上 的点，且AD=3,AE=6,DE=5,BD=15, CE=3,BC=15,根据以上条件，你认为∠B= ∠AED吗？ 7如图，如果铝能-器那么△ABD与 △BCE相似吗？为什么？ 易错点考虑问题不全面而致错 8.已知两个直角三角形的三边长分别为3,4，m 和6,8，n,且这两个直角三角形不相似，则m 十n的值为 () A.10+√7或5+2√7 B.15 C.10+√7 D.15+3/7 2能力在线沙 方法规律综合练 9.如图所示，棋盘上有A,B,C三个黑子与P,Q 两个白子，要使△ABC∽△RPQ,则第三个白 子R应放的位置可以是 () A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 P 甲丙可 第9题图 第11题图 10.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm, 9cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的 另两边长是时，这两个三角形相似( A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 11.如图，0是△ABC内任意一点，AD=3AO,BE =}B0,CF=3C0,则△ABCn ,相 似比为 12.如图，已知每个小正方形的边长均为1，且 △ABC与△DEF都是格点三角形，若 ∠CBA=a,求∠DFE.(用含a的式子表示) 13.如图，AD是△ABC的高，E,F分别是AB, AC的中点.求证：△DEF∽△ABC. 3 拓展在线》培优拔尖提升练 …0 14.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1， △ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上. (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明 理由； (2)画一个三角形，使它的三个顶点为P,P2, P3,P4,P,中的三个，并且与△ABC相似. P P3 第1章16