第9讲 解直角三角形及应用 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第9讲 解直角三角形及应用 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解解直角三角形的含义，会由已知元素求未知元素 · 掌握直角三角形边角关系（三边、两锐角、三角函数） · 会解决坡度坡角、仰角俯角、方向角三类实际问题 · 能将实际问题抽象为直角三角形模型 · 培养数学建模与计算能力 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形边角关系 三边：a2+b2=c2（勾股定理） 两锐角：∠A+∠B=90° 边角：sinA=，cosA=，tanA= 已知两个元素（至少一边）可求其余三个元素 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，a=6，b=8，求c和∠A 解析：c==10，tanA==0.75，查表得∠A≈36.9° ☆ 2.坡度与坡角 坡面与水平面的夹角α叫坡角 坡度（坡比）i=tanα=铅直高度：水平宽度 坡度越大坡角越陡 常见坡度1：m表示每升高1单位、水平前进m单位 概念辨析例题：斜坡坡度i=1：2.4，斜坡长26m，求坡高 解析：设高x、水平宽2.4x，x2+(2.4x)2=262，解得x=10 ☆ 3.仰角与俯角 仰角：视线在水平线上方与水平线的夹角 俯角：视线在水平线下方与水平线的夹角 测高问题常构造两个直角三角形 注意测角仪高度要加上 概念辨析例题：A处测塔顶仰角37°，前进30m到B处测仰角60°，测角仪高1.5m，求塔高 解析：设塔顶到测角仪水平线高h，cot37°·h-cot60°·h=30，解得h后加1.5 ☆ 4.方向角问题 方向角：北/南偏东/西多少度 正北正南为基准线 航海、行路问题中常构造多个直角三角形 注意图形中的角度关系与方向转换 概念辨析例题：C在A北偏东15°，从A沿北偏西45°走6km到B，再沿北偏东60°到C，求AC 解析：在△ABC中求∠ABC、∠BAC，用正弦/余弦定理求AC 📋 知识总结表 【考点1】解直角三角形（第1-10题） · 先画图标注已知元素 · 选合适的三角函数关系式 · 已知边+角→三角函数；已知两边→勾股 · 结果按精度要求保留 1．（2026•深圳三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AD＝BE＝40cm，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E， 由题意得：AD＝BE＝40cm， 在Rt△BCE中，∠C＝50°， ∴BC（cm）， ∴该椅子座垫高度还要升高的高度＝BC﹣BE＝（40）cm， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中SSA（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【解答】解：A、选项给出AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30°，符合ASA判定，可确定唯一三角形，不符合题意； B、选项给出AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30°，属于SSA，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； C、选项给出AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30°，符合SAS判定，可确定唯一三角形，不符合题意； D、选项给出AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm，符合SSS判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2026•拱墅区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC＝∠BEC，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，在Rt△ABC中，根据tan∠CAB，设BC＝a，则AC＝3a，证明△ACE和△ECB相似得CE，证明△CFD是等腰直角三角形DECF＝DF，由勾股定理得DCCF，在Rt△ADF中，根据tan∠CAB得CF，进而得DCCF，据此可得的值． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠CAB， ∴tan∠CAB， 设BC＝a，则AC＝3a，其中a＞0， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， 点E为DC延长线上的一点， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACD＝135°，∠ECB＝180°﹣∠BCD＝135°， ∴∠ACE＝∠ECB＝135°， 在△ACE和△ECB中， ∠EAC＝∠BEC，∠ACE＝∠ECB＝135°， ∴△ACE∽△ECB， ∴， ∴， ∴CE， 在△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝∠ACD＝45°， ∴△CFD是等腰直角三角形， ∴CF＝DF， 由勾股定理得：DCCF， 在△ADF中，∠AFD＝90°，AF＝AD﹣CF＝3a﹣CF， ∴tan∠CAB， ∴CF， ∴DCCF， ∴． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行进行计算是解决问题的关键． 4．（2025•朝阳区校级三模）伊通河作为长春市的“母亲河”全长约343公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边A点处垂直上升60米到达点B处悬停，测得河对岸C点的俯角为α，则此处的河道宽度AC为（　　） A．60sinα B．60tanα C． D． 【分析】先利用平行线的性质求出∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系得结论． 【解答】解：∵BD∥AC， ∴∠C＝a． 在Tt△ABC中， ∵tanC， ∴AC． 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 5．（2025秋•嘉定区期中）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为（　　）千米． A． B． C．3tanα D．3cotα 【分析】根据俯角的定义，构造直角三角形，利用正弦的定义即可求解飞机与目标点的距离． 【解答】解：如图，假设B为飞机， 依题意得：∠C＝90°，AC＝3km，∠ABC＝α， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴飞机与目标A的距离为 千米， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 6．（2026•海州区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，tanB，E，D分别为AB，AC边上的点，且∠B＝2∠AED，BE＝AD，则AD的长为 　　 ． 【分析】通过作辅助线BF∥DE构造角平分线，再利用角平分线定理和相似三角形建立方程求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∠ACB＝90°，BC＝10， ∴，AC＝24， 过点B作BF∥DE，交AC于点F， ∵BF∥DE， ∴∠AED＝∠ABF， ∵∠ABC＝2∠AED， ∴∠ABC＝2∠ABF，即BF平分∠ABC； 设CF＝h，由角平分线性质，F到AB的距离也为h， ∵， 即， 解得， 故； ∴． ∵BF∥DE， ∴△AED∽△ABF； 设AD＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝26﹣x， ∴， 解得； 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形、角平分线性质以及相似三角形的判定与性质，关键是通过作辅助线BF∥DE构造角平分线． 7．（2026•武汉一模）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若∠A＝90°，∠B＝65°，AB＝10cm，则原直角三角形玻璃的面积为 　107　 cm2．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝65°，AB＝10cm， ∴AC＝AB•tan65°≈10×2.14＝21.4（cm）， ∴原直角三角形玻璃的面积AB•AC10×21.4＝107（cm2）， 故答案为：107． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 8．（2025秋•姜堰区期末）已知一个斜坡的坡度i＝1：1，那么该斜坡的坡角为 　45　 度． 【分析】坡度＝坡角的正切值，据此直接解答． 【解答】解：∵tanα＝1：1＝1， ∴坡角＝45°． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． 9．（2025秋•宝山区校级期末）如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠ADB＝90°，，，AB＝AC，，∠AOD＝∠ACB． （1）求证：； （2）求∠CAB的正弦值． 【分析】（1）证明△ABC∽△BOC，得，得BC2＝AC•OC，由，得，得，得，即得 （2）由，得，由AD2+BD2＝AB2，，得AD＝1，BD＝2，由，得，得，得，，得，，得，即得． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠AOD＝∠ACB，∠AOD＝∠BOC， ∴∠BOC＝∠ACB， ∴△ABC∽△BOC， ∴， ∴BC2＝AC•OC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点B作BF⊥AC于点F， 由（1）知，∠BOC＝∠ACB， ∴BO＝BC， ∵， ∴， ∵AD2+BD2＝AB2，， ∴AD＝1，BD＝2， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵BO＝BC，BF⊥AC，（等腰三角形三线合一） ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形综合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，是解题的关键． 10．（2026•保定校级模拟）☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝10cm，∠ABC＝35°． （1）图（2）中，∠BCD＝　125　 °． （2）靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，如图（3），杯托E处凹陷深度为0.7cm，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）． ①∠ACD＝　55　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：tan35°≈0.70，tan55°≈1.43，sin35°≈0.57，sin55°≈0.82） 【分析】（1）过点B作BF∥CD，由平行线的性质得出∠BCD+∠CBF＝180°，由已知条件得出∠CBF＝55°，进而可求出∠BCD． （2）①根据题意可知∠ACD＝180°﹣∠BCD代入计算即可． ②过点E作CD的垂线交AB于点F，通过解Rt△CEF，求出EF，再加上0.7cm即可求出答案． 【解答】解：（1）过点B作BF∥CD， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∵∠ABC＝35°， ∴∠CBF＝55°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBF＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125； （2）①当靠背AB可以绕点 B 旋转至与小桌板支架CB重合的位置， 由（1）知∠BCD＝125°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCD＝55°， 故答案为：55； ②如图，过点E作EF⊥CD，交AB于点F， 在Rt△CEF中，， ∴EF＝tan∠FCE•CE＝tan55°×10≈1.43×10＝14.3（cm）， ∴乘客水杯的最大高度约为14.3+0.7＝15（cm）． 答：乘客水杯的最大高度约为15cm． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识，掌握解直角三角形是解题的关键． 【考点2】解直角三角形应用（第11-19题） · 抽象实际问题为直角三角形 · 选三角函数或勾股定理 · 注意单位统一 · 检验结果合理性 11．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 【分析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，可得四边形AEOF是矩形，得到AE＝FO，又由四边形ABCD是矩形，可得∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，进而可得∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝α，再分别解Rt△ABF和Rt△BOC求出FB和BO，进而即可求解．． 【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F， ∵OC⊥OB，∴∠AFB＝∠AEO＝∠BOC＝90°， ∴四边形AEOF是矩形， ∴AE＝FO， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵∠BCO＝α， ∴∠CBO＝90°﹣α， ∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α， 在Rt△ABF中，FB＝AB•cos∠ABF＝cosα， 在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠BCO＝4sinα， ∴AE＝FO＝FB+BO＝cosα+4sinα， ∴点A到OC的距离等于cosα+4sinα， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（2026•扶沟县模拟）如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠BAC＝46°，则小河宽AB为多少米？（　　） A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44° 【分析】在Rt△ABC中，根据∠BCA的正切函数可求小河宽AB的长度． 【解答】解：∵AB⊥PB， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝50米，∠BCA＝90°﹣∠BCA＝44°，∠BCA＝46°，tan∠BCA， ∴小河宽AB＝BCtan∠BCA＝50•tan44°（米）． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 13．（2025秋•东台市期末）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝36°，自动扶梯的长度AB＝15 米．则该自动扶梯的高度BC等于（　　） A．15sin36°米 B．米 C．15tan36°米 D．米 【分析】根据题意可得：BC⊥AC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：BC⊥AC， 在Rt△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝15米， ∴BC＝AB•sin36°＝15sin36°（米）， ∴该自动扶梯的高度BC等于15sin36°米， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　） A． B．cos2α+1 C． D．sin2α+1 【分析】在Rt△OAB中，sinα，可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案． 【解答】解：∵AB＝BC＝1， 在Rt△OAB中，sinα， ∴OB， 在Rt△OBC中， ∵OB2+BC2＝OC2， ∴OC2＝（）2+121， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 15．（2026•长沙模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 　5米　 ． 【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，求出∠AOE＝30°，再由锐角三角函数定义求出AG＝2米，即可求解． 【解答】解：如图，过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G， ∵AB＝6米，OA：OB＝2：1， ∴OA＝4米， ∵∠AOM＝120°，∠EOM＝90°， ∴∠AOE＝30°， 在Rt△AOG中，AG＝AO•sin30°＝42（米）， ∴点A位于最高点时到地面的距离为2+3＝5（米）， 故答案为：5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 16．（2025秋•杨浦区期末）如图是一辆小M汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门 　不会　 碰到墙．（填“会”或“不会”）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可． 【解答】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，如图： 在Rt△ACO中， ∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米， ∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.64×1.2＝0.768（米）， ∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米， ∴车门不会碰到墙， 故答案为：不会． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，此题难度不大． 17．（2025秋•常州校级月考）2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座AB与地面垂直，基座AB＝1米，大臂BC＝2米，小臂CD＝3米，大臂与水平线的张角为α，小臂与大臂的张角为β，其中30°≤α≤60°，15°≤β≤90°（图中点线在同一个平面内）． （1）经过实验发现，当β取最大值，且点D、B、A三点共线时（如图2），抓手D距离地面高度最大，则抓手D距离地面的最大高度是　　 米．（结果保留根号） （2）设抓手D到直线AB的水平距离为r． ①当α＝40°，β＝73°时，求r的值． ②当α＝60°时，则r的最大值为　2　 米（结果保留两位小数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）． 【分析】（1）利用勾股定理求出BD的长即可得到答案； （2）过点C作CE⊥AB交AB延长线为E，过点D作DF⊥CE交CE延长线为F， 求出∠BCE＝∠CBG＝α＝40°，解Rt△BCE得到CE≈1.54（米），解Rt△CDF得到CF≈2.52（米），据此求出EF的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作DE⊥AB交AB延长线于E，设AE，CD交于H，根据DE≤DH＝DC﹣CH，可推出当CH⊥AE时，DE有最大值，即此时有CD⊥AE，则可求出，DH＝DC﹣CH＝2，即r的最大值为2． 【解答】解：（1）在Rt△DBC中，BC＝2米，CD＝3米， 由勾股定理得：米， ∵AB＝1米， ∴抓手D距离地面的最大高度为：米， 故答案为：； （2）①如图2，过点C作CE⊥AB交AB延长线为E，过点D作DF⊥CE交CE延长线为F， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°， 由题意得：BG∥CF，α＝40°， ∴∠BCE＝∠CBG＝α＝40°， 在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，BC＝2米，∠BCE＝40°， ∴CE＝BC•cos40°≈2×0.77＝1.54（米）， ∵β＝73°，∠BCE＝40°， ∴∠DCF＝β﹣∠BCE＝73°﹣40°＝33°， 在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，CD＝3米，∠DCF＝33°， ∴CF＝CD•cos33°≈3×0.84＝2.52（米）， ∴EF＝CF﹣CE＝2.52﹣1.54＝0.98（米）， ∴r≈0.98； ②如图4，过点D作DE⊥AB交AB延长线于E，设AE，CD交于H， ∵DE≤DH＝DC﹣CH， ∴当点E和点H重合，且CH最小时，DE有最大值， ∴当CH⊥AE时，DE有最大值，即此时有CD⊥AE， ∴此时∠DHC＝90°，CBH＝90°﹣∠CBG＝30°， ∴， ∴DH＝DC﹣CH＝2， ∴r的最大值为2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18．（2026•海门区校级模拟）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 【分析】（1）作MN垂直车身于点N，求得点M到车库边BC的安全距离，与260比较即可判断能够顺畅地从车中出来； （2）设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，MQ⊥DE于点M，求得FG的长度，与270比较即可判断汽车是否占用到人行道． 【解答】解：（1）驾驶员能够顺畅地从车中出来． 理由：如图，作MN垂直车身于点N，则∠MNP＝90°， 由题意得：∠MPN＝25°，MP＝100cm， ∴MN＝100×sin25°≈42（cm）， ∴驾驶员那的车门打开需要的距离为：42+10185＝252cm， ∵252＜260， ∴驾驶员能够顺畅地从车中出来； （2）汽车不会占用到人行道． 理由：如图，设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，MQ⊥DE于点M，则∠DNM＝∠MPQ＝∠QMD＝90°，四边形DFPN是矩形，MQ为点Q到DE的最短距离， ∴FP＝DN，NP＝DF， ∵FC＝10185＝210cm， ∴DF＝260﹣210＝50cm， ∴NP＝50cm， ∵∠ADM＝143°， ∴∠DMN＝53°， ∴∠PMQ＝90°﹣53°＝37°， ∴∠MQP＝90°﹣37°＝53°， 由题意得：MQ＝100cm， ∴PQ＝100×cos53°≈60cm，MP＝100×sin53°≈80cm， ∴MN＝MP﹣NP＝30cm， ∴DN＝30×tan53°≈40cm， ∴FP＝40cm， ∴FG＝FP+PQ+QG＝40+60+160＝260cm， ∵260＜270， ∴汽车不会占用到人行道． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造合适的直角三角形解决相关问题是解决本题的关键． 【考点3】坡度坡角问题（第20-27题） · 坡度i=tanα=铅直高：水平宽 · 用k表示铅直高与水平宽 · 斜坡长用勾股或三角函数 · 坝体、传送带、坡道长问题通用 19．（2025•衢州三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　8　 m．（结果保留根号） 【分析】根据AB的坡度为1：，AB＝8，可得AE的长，再根据AB改为坡度为1：2可以求出PE的长，根据勾股定理即可求出新坡面AP． 【解答】解：∵AB的坡度为1：，AB＝8， 设AE＝a，则BEa， ∴ABa＝8，故a＝8， 在Rt△APE中，坡度为1：2， ∴PE＝2a，故APa＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点． 20．（2026•武汉模拟）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是　5.8　 m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）． 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ABC中，AC＝6m，∠CAB＝75°， ∴BC＝AC•sin75°≈6×0.97≈5.8（m）， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度约为5.8m， 故答案为：5.8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 21．（2025秋•奉贤区期末）景区新建了一条通往山顶观景台的缓坡步道，设计要求是坡度为1：2.4，施工方测得观景台距离地面的垂直高度为10米，为满足设计要求，这段缓坡步道的长度应为　26　 米． 【分析】根据坡度定义，已知垂直高度10米，可求水平距离，再应用勾股定理求斜边长度即步道长度． 【解答】解：坡度比为1：2.4， 则水平距离为10×2.4＝24（米）， ∴为满足设计要求，这段缓坡步道的长度（米）， 故答案为：26． 【点评】本题考查了坡度的概念及用勾股定理求斜边长，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2026•三元区二模）为响应2026年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于2026年3月14日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为的山坡上种植了两棵树（如图），斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为4米，则相邻两树间的水平距离AC为　　 米．（结果保留准确数） 【分析】根据坡度与坡角的关系求出∠A，再根据余弦的定义计算得到答案． 【解答】解：∵斜坡的坡度为1：， ∴tanA， 则∠A＝30°， ∴AC＝AB•cosA＝42（米）， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 23．（2025•丹阳市校级模拟）根据背景素材，探索解决问题： 测算发射塔的高度 背景素材 博雅小组在一幢楼房窗前测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A、B、C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 测得A、B之间的图上距离为4mm； 测得A、C之间的图上距离为12mm． 测得D、E之间的图上距离为5mm． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 获取数据 选择两个观察位置： 点A 和点B ． 任务2 推理计算 直接写出所选位置且需要的观测角的正切值：A处俯角的正切值为，A处仰角的正切值为，B处仰角的正切值为　 ； 直接写出已测得且需要的线段的图上距离：AB＝4mm ． 计算发射塔的图上高度MN． 任务3 换算高度 楼房的实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 【分析】任务1：根据题中数据选择即可； 任务2：根据所选位置，结合素材，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，设MF＝xmm，则MG＝（x+4）mm，根据，，得出AF＝4x，BG＝3x+12，进而求得x＝12，再根据，得FN＝6mm，即可求解； 任务3：测得图上DE＝5mm，楼房实际宽度DE为12米，设发射塔的实际高度为hm，由题意得，，解得h＝43.2m，即可求解． 【解答】解：任务1：选择点A和点B（答案不唯一）， 故答案为：A、B（答案不唯一）； 任务2：A处俯角的正切值为，A处仰角的正切值为，B处仰角的正切值为；AB＝4mm． 如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4mm， 设MF＝xmm，则MG＝（x+4）mm， ∵， ， ∴AF＝4x，BG＝3x+12， ∵AF＝BG，即4x＝3x+12， ∴x＝12， 即MF＝12mm， ∴AF＝BG＝4x＝48mm， ∵， FN＝6mm， ∴MN＝MF+FN＝12+6＝18mm； 故答案为：A处俯角的正切值为，A处仰角的正切值为，B处仰角的正切值为；AB＝4mm； 任务3：测得图上DE＝5mm，楼房实际宽度DE为12米， 设发射塔的实际高度为hm，由题意得， ， 解得h＝43.2m， ∴发射塔的实际高度为43.2m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，通过作垂线，构造直角三角形，依据直角三角形的边角关系进行计算即可，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 24．（2025•东光县二模）下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹E的高度DE＝29cm，水平放置的水槽高度，MN＝9cm，试管长AB＝27cm，固定夹E正好在试管AB靠近开口B的三等分点上，试管倾斜角为12°，直导管BF过水槽端点M．点C，D，N均在一条直线上． （1）BE＝　9　 cm，并求管口B的高度； （2）若∠NMF＝45°，求铁架与水槽之间的距离DN．（参考数据：sin12°取0.21，cos12°取0.98） 【分析】（1）过B作BP⊥DE于P，在Rt△BEP中，根据正弦的定义求出PE，即可求解； （2）过M作MG⊥DE于G，过B作BH⊥MG于H，则四边形DNMG、BPGH都是矩形，得出MG＝DN，CD＝MN＝9cm，PG＝BH，BP＝GH，∠GMN＝90°，可证∠MBH＝∠BMH＝45°，根据等角对等边得出BH＝MH，在Rt△BEP中，根据余弦定义求出BP≈8.82cm，然后根据线段的和差关系即可求解． 【解答】解：（1）∵固定夹E正好在试管AB靠近开口B的三等分点上，AB＝27cm， ∴， 过B作BP⊥DE于P， 则∠EBP＝12°， ∴PE＝BE•sin12°≈1.89cm， 又DE＝29cm， ∴管口B的高度为29﹣1.89＝27.11cm； 故答案为：9； （2）过M作MG⊥DE于G，过B作BH⊥MG于H， 则四边形DNMG、BPGH都是矩形， ∴MG＝DN，CD＝MN＝9cm，PG＝BH，BP＝GH，∠GMN＝90°， ∵∠NMF＝45°， ∴∠BMH＝45°， ∴∠MBH＝45°＝∠BMH， ∴MH＝BH， ∴BP＝BE•cos12°≈8.82cm， ∴GH＝BP＝8.82cm， 由（1）知DP＝27.11cm， 又DG＝9cm， ∴BH＝PG＝DP﹣DG＝18.11cm， ∴HM＝18.11cm， ∴DN＝MG＝GH+HM＝26.93cm， 即铁架与水槽之间的距离DN为26.93cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质． 25．（2026•长垣市二模）带购物篮的手推步行辅助器（如图1）可以提高老年人出行购物的安全性，如图2是步行辅助器的侧面示意图．其中横杆EF与地面平行，框架AG与横杆EF的夹角∠GEF＝62°，框架HF与把手HI（与地面平行）的夹角，∠GHI＝120°．已知AG长为75cm，HG长为16cm，点A和点B是车轮的圆心，车轮的半径为5cm．求把手HI到地面的高度．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，） 【分析】连接AB，过点G作GM⊥AB，垂足为点M，过点H作HN⊥MG交MG的延长线于点N，把手HI到地面的高度等于NG+GM+车轮半径，利用三角函数分别求出NG、GM，即可求出把手HI到地面的高度． 【解答】解：如图，连接AB，过点G作GM⊥AB，垂足为点M，过点H作HN⊥MG交MG的延长线于点N， 由题意得AB∥EF， ∴∠GAM＝∠GEF＝62°， 由三角函数可知，， ∴GM＝AG×sin62°， ∵∠GHN＝180°﹣∠GHI＝60°，GH＝16cm， 由三角函数可知，， ∵AG＝75cm，车轮半径为5cm， ∴． 答：把手HI到地面的高度约为84.8cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型． 26．（2025秋•宣城期末）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为50cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACP＝50°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACP＝35°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70） 【分析】过点M作MN⊥CP于N，设每节拉杆的长度为xcm，根据正弦的定义用x分别表示出MN、AH，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：如图1，过点M作MN⊥CP于N， 设每节拉杆的长度为xcm，则CM＝（50+x）cm，CA＝（50+2x）cm， 如图1，在Rt△MCN中，∠MCN＝50°， ∵sin∠MCN， ∴MN＝CM•sin∠MCN≈0.77（50+x）cm， 如图2，在Rt△ACH中，∠ACH＝35°， ∵sin∠ACH， ∴AH＝AC•sin∠ACH≈0.57（50+2x）cm， 由题意得：0.77（50+x）＝0.57（50+2x）， 解得：x≈27， 答：每节拉杆的长度约为27cm． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡度问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【考点4】仰角俯角问题（第28-38题） · 两个观测点构造两个直角三角形 · 设公共未知量h列方程 · 测角仪高度不要漏加 · 前进距离=两水平距离之差 27．（2026•南山区校级模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　　 m（结果保留根号）． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m，求出∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，利用CD⊥AB，得出，，相加即可求解． 【解答】解：如图，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，MN∥AB，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m， ∴∠CBD＝∠NCB＝30°，∠CAD＝∠MCA＝45°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴，， ∴． 故答案为：（120+120）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2025•金山区二模）如图，小海想测量塔CD的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部C的距离，于是小海在观测点A处仰望塔顶，测得仰角为α，再往塔的方向前进m（m＞0）米至观测点B处，测得塔顶的仰角为β（β＞α＞0），点A、B、C在一直线上，小海测得塔的高度为 　　 米（小海的身高忽略不计，用含α、β的三角比和m的式子表示）． 【分析】根据正切的定义，在Rt△ADC中表示出AC，在Rt△BDC中表示出BC，再利用AC﹣BC＝AB得到m，然后解关于CD的方程即可． 【解答】解：在Rt△ADC中，∵tan∠A， ∴AC， 在Rt△BDC中，∵tan∠DBC， ∴BC， ∵AB＝m米， ∴m， ∴CD（米）． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解俯角仰角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 29．（2026•信都区校级模拟）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C，D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．则顶棚的E处离地面的高度EF＝　21.6　 m．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m） 【分析】直接根据AC的坡度即可求出AB的值，然后构造直角三角形EGD，通过解直角三角形求出EG的长度，最后利用EF＝EG+FG＝EG+DC+BC即可求解． 【解答】解：过点D作DG⊥EF交EF于点G， ∵观众区AC的坡度i为1：2， ∴． ∵BC＝10m， ∴AB＝20m． ∵AF＝3m， ∴DG＝FB＝FA+AB＝3+20＝23（m）． ∵， ∴EG≈7.59m， ∴顶棚的E处离地面的高度EF＝EG+FG＝EG+DC+BC≈7.59+4+10≈21.6（m）． 故答案为：21.6． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．（2025春•同步）小明想要测量如图所示的大树AB的高度，从树的底部B处沿BC方向走15米到了坡比为3：4的斜坡坡底C处，再沿斜坡向上走10米到D处，测得大树顶部A的仰角为24°．已知小明的身高DE＝1.6米，则树高AB为 　18　 米．（结果精确到1米，参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） 【分析】作EF⊥AB于点F，延长ED交BC的延长线于G，先解直角三角形Rt△CDG，求出CG，DG，再根据锐角三角函数定义求出AF的长，即可解决问题． 【解答】解：如图所示： 作EF⊥AB于点F，延长ED交BC的延长线于点G， ∴EG⊥BG．在 Rt△CDG 中，， 设 DG＝3x，则GG＝4x， （3x）2+（4x）2＝102，解得x＝±2（负值舍去）， ∴DG＝6，CG＝8， 在矩形BGEF中，BG＝EF＝15+8＝23，BF＝EG＝6+1.6＝7.6， 在Rt△AEF中，∠AEF＝24°， ∴AF＝EFtan24°≈23×0.45＝10.35， ∴AB＝AF+BF＝10.35+7.6＝17.95≈18（米）． 答：树高AB约为18米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 31．（2025秋•门头沟区校级期末）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是　71　 米． 【分析】先证明△BCD是等腰直角三角形，得BD＝CD，设BD＝CD＝x米，再由锐角三角函数定义求出ADCDx米，然后由AB+BD＝AD构建方程即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，CD⊥AD， ∴∠CDA＝90°， ∵∠CBD＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD， 设BD＝CD＝x米， 在Rt△ACD中，∠A＝30°， ∴tanAtan30°， ∴ADCDx米， ∵AB＝52米，AB+BD＝AD， ∴52+xx， 解得：x＝2626≈71， 即永定塔的高CD约是71米， 故答案为：71． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 32．（2026•浙江一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是　89.28　 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 【分析】作AD⊥BC，分别解Rt△ADC和Rt△ADB，求出CD，BD的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【解答】解：作AD⊥BC，由题意，AD＝36米，∠CAD＝37°，∠DAB＝60°， 在Rt△ADC中，CD＝AD•tan37°≈36×0.75＝27（米）， 在Rt△ADB中，（米）， ∴BC＝BD+CD＝89.28； 故这栋楼的高度是89.28米； 故答案为：89.28． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 33．（2026•汝南县三模）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°． 问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）． 【分析】（1）延长OD交PK于L，根据题意可得：OL⊥PK，从而可得：∠OLP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长GQ交EF于点M，根据题意可得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5米，GQ＝HR＝12米，然后设EM＝x米，分别在Rt△EGM和Rt△EQM中，利用锐角三角函数的定义求出GM和QM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图：延长OD交PK于L， 由题意得：OL⊥PK， ∴∠OLP＝90°， ∵∠POD＝α， ∴∠OPL＝90°﹣∠POD＝90°﹣α， ∴β＝90°﹣α； （2）延长GQ交EF于点M， 由题意得：GQ＝HR＝12m，GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5m， 设EM＝x米， 在Rt△EGM中，∠GEM＝60°， ∴（米）， 在Rt△EQM中，∠QEM＝45°， ∴QM＝EM•tan45°＝x（米）， ∵GM﹣QM＝GQ， ∴， 解得：， ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 34．（2026•槐荫区一模）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心P（点P是AB中点）的视线EP与水平线EA形成的夹角∠E＝18°时，观看屏幕最舒适，此时AC⊥CD，∠BCD＝30°，∠APE＝90°．已知液晶显示屏的宽AB为34cm． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE（结果精确到1cm）； （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC（结果精确到1cm）． （参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，， 【分析】（1）根据点P是AB中点得APAB＝14cm，在Rt△AEP中，根据sinE得AE57（cm），由此可得眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE的长； （2）过点B作BF⊥AC于点F，先求出∠CBF＝∠BCD＝30°，∠BAF＝18°，解Rt△AFB得BF＝AB•sin∠BAF＝10.2cm，AF＝AB•cos∠BAF＝32.3cm，然后在Rt△CFB，根据tan∠CBF，得CF＝BF•tan∠CBF＝4.76cm，据此可得出显示屏顶端A与底座C的距离AC的长． 【解答】解：（1）依题意得：∠APE＝90°，∠E＝18°，AB＝34cm，点P是AB中点， ∴△AEP是直角三角形，APAB＝14（cm）， 在Rt△AEP中，sinE， ∴AE57（cm）， 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm． （2）过点B作BF⊥AC于点F，如图所示： ∴∠AFB＝∠CFB＝90°， ∴△AFB和△CFB都是直角三角形， 依题意得：AE∥CD，AC⊥CD，∠BCD＝30°， ∴AE⊥AC，BF∥CD， ∴∠EAC＝90°，∠CBF＝∠BCD＝30°， 在Rt△AEP中，∠EAP＝90°﹣∠E＝90°﹣18°＝72°， ∴∠BAF＝∠EAC﹣∠EAP＝90°﹣72°＝18°， 在Rt△AFB中，sin∠BAF，cos∠BAF， ∴BF＝AB•sin∠BAF＝34×sin18°≈34×0.3＝10.2（cm），AF＝AB•cos∠BAF＝34×cos18°≈34×0.95＝32.3（cm）， 在Rt△CFB，tan∠CBF， ∴CF＝BF•tan∠CBF＝10.2×tan30°）5.78（cm）， ∴AC＝AF+CF＝32.3+5.78＝38.08≈38（cm）， 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的阴影，理解题意，灵活运用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键． 35．（2025秋•浦东新区月考）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头都需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm． （1）身高205cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）身高115cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27sin20°＝0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【分析】（1）过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，根据15°的正切值求出EF的长度，再利用三角形全等可求出DF＝EF＝35.1cm，最后求出CE的长度，从而求出需要蹲下的高度； （2）过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，根据20°的正切值求出MP长度，再利用三角形全等可求出MP＝PN＝54cm，利用矩形的性质求出BP的长度，即可求出BN长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【解答】（1）解：过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，则四边形AOCF是矩形，∠AFE＝∠AFD＝90°， ∴AF＝OC＝130cm，CF＝OA＝160cm， ∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm）， ∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°， ∴△ADF≌△AEF（ASA）， ∴DF＝EF＝35.1cm， ∴CE＝CF+EF＝160+35.1＝195.1（cm），ED＝2EF＝35.1×2＝70.2（cm）＞26（cm）， ∴小杜下蹲的最小距离＝205﹣195.1＝9.9（cm）． 答：小杜最少需要下蹲9.9厘米才能被识别； （2）解：过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，如图所示， 则四边形AOBP是矩形，∠APN＝∠APM＝90°， ∴AP＝OB＝150cm，BP＝OA＝160cm， ∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54（cm）， ∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN， ∴△AMP≌△ANP（ASA）， ∴PN＝MP＝54cm， ∴BN＝BP﹣PN＝160﹣54＝106（cm）， 小若踮起脚尖后头顶超出点N的高度为115+3﹣106＝12（cm）＜15（cm）． ∴小若不能被识别． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．理解题意，构造合适的直角三角形进行求解是解决本题的关键． 36．（2026•巴中）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡NC的长为12m，坡比为1：．（计算结果保留整数） （参考数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61tan，52.4°≈1.30） （1）求无人机距河面的高度PM． （2）求两艘皮划艇之间的距离AB． 【分析】（1）利用坡比为1：求出∠NCM＝30°，利用NC＝12m解答即可； （2）在Rt△PBM和Rt△PAM中，利用正切列式求出BM和AM即可解答． 【解答】解：（1）∵坡比为1：， ∴tan∠NCM， ∴∠NCM＝30°， ∴在Rt△MCN中，MNNC＝6（m）， ∵PN＝15m， ∴PM＝PN+MN＝15+6＝21（m）， 答：无人机距河面的高度PM为21米； （2）∵C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°， ∴∠PBM＝52.4°，∠PAM＝42.3°， 在Rt△PBM中，tan∠PBM， ∴BM16（m）， 在Rt△PAM中，tan∠PAM， AM23（m）， ∴AB＝AM﹣BM＝23﹣16＝7（m）， 答：两艘皮划艇之间的距离AB为7米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 37．（2026•甘肃）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B，C，D在同一条直线上），CD⊥AB，在点A分别测得塔顶C的仰角∠CAB＝16.73°、塔底D的仰角∠DAB＝14.01°，查阅资料可知塔的高度CD＝17米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平距离AB．（结果精确到1米）． 参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30． 【分析】通过设未知数，利用两个直角三角形的正切关系表示出相关线段长度，再结合塔的高度建立方程求解． 【解答】解：设观测点A到塔CD的水平距离AB＝x米． 因为CD⊥AB， 所以△CAB和△DAB都是直角三角形． 在Rt△CAB中，根据正切函数的定义，tan∠， 已知tan16.73°≈0.30， 因此CB＝AB•tan16.73°≈0.30x． 在Rt△DAB中，同理可得tan∠DAB， 已知tan14.01°≈0.25， 因此DB＝AB•tan14.01°≈0.25x， 观察图形可知CB﹣DB＝CD， 已知CD＝17米， 代入上面的表达式可得：0.30x﹣0.25x＝17， 合并同类项得：0.05x＝17， 解得：． 答：观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米． 【点评】题目考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【考点5】方向角问题（第39-45题） · 以正北正南为基准画方向线 · 方位角转换为三角形内角 · 用正弦/余弦定理求边 · 多步方向问题逐步分解 38．（2026•科尔沁区二模）如图，某校组织了一次消防安全检查．检查人员从A点出发，途中经过B、C两个检查点，行进路线为A→B→C→A，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，则检查点B和C之间的距离是　　 km． 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，求出∠CAH＝30°，再分别在Rt△ABH、Rt△ACH中，解直角三角形即可得出结果． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H， 由题意可得，∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°． ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAH＝90°﹣45°＝45°， ∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°． ∴， ∵∠CAH＝30°， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数解答． 39．（2024春•江岸区校级月考）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距A港口100海里处，一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向上，B港口在货轮的北偏西70°方向，则此时货轮与A港口的距离为 　141　 海里．（结果取整数）（sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，） 【分析】作BD⊥AC于点D，分别解直角三角形求出AD、DC即可得到答案． 【解答】解：作BD⊥AC于点D， 由题知，∠BAD＝25°+25°＝50°，∠BCD＝70°﹣25°＝45°，AB＝100海里， ∴∠DBC＝90°﹣45°＝45°＝∠BCD， ∴BD＝CD， ∴BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6海里， AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3海里， ∴货轮与A港口的距离为76.6+64.3＝140.9≈141海里． 故答案为：141． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形性质，方向角，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 40．（2024秋•杨浦区期末）如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有 　（186）　 海里．（结果保留根号） 【分析】作AE⊥PB于E，设AP＝x海里，利用锐角三角函数的定义用x表示出PE、BE，根据题意列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：作AE⊥PB于E， 由题意得，PB＝12海里， 设AE＝x海里， ∵∠APE＝45°， ∴PE＝AE＝x， ∵∠ABE＝60°， ∴BEx， 由题意得，xx＝12， 解得，x＝6（3） 则AP＝（186）海里， 答：小岛A离港口P有（186）海里， 故答案为：（186）． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 41．（2026•吉首市模拟）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮在A处调整航向，沿着北偏东30°方向航行到B处后，再沿着南偏东75°方向航行40海里到达码头C．求货轮从A到码头C的距离．（结果保留根号） 【分析】根据题意，结合图形，作BD⊥AC，在Rt△BCD中，求出BD，CD长，在Rt△ABD中求出AD，即可得到结果． 【解答】解：过B作BD⊥AC于D， 由题意可知∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，BC＝40海里， ∴∠C＝180°﹣30°﹣105°＝45°， ∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°， ∴BD＝BC•sin∠C＝BC•si45°＝20（海里）， CD＝BC•cos45°＝20（海里）， ∵在Rt△ABD中，∠BDA＝90°， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：货轮从A到码头C的直线距离为海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 42．（2024•海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：∠PAB＝ 　30　 °，∠APC＝ 　75　 °，AB＝ 　5　 海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：1.41，1.73，2.45） 【分析】（1）识别方向角和渔船航行的速度、时间即可求得∠PAB、∠APC的角度和AB的长； （2）过点P作PD⊥AC于点D，构造直角三角形，运用60°和45°的直角三角形表示所需的线段长，利用AB的长解得PD的长，再根据三角形内角和定理求出∠C，得出等腰三角形继而求得AC的长，并求出9点渔船离C处的距离就能判断是否会进入“海况异常“区． 【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC于点D，则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形， 由题可知：∠APD＝60°，∠BPD＝45°，∠CPD＝15°， ∴∠PAB＝30°，∠APC＝∠APD+∠CPD＝60°+15°＝75°， 由题可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处时间为30分钟， 即半小时，故AB5海里； 故答案为：30，75，5； （2）设PD为x海里， 在Rt△BPD中，∠BPD＝45°， ∴∠PBD＝45°， ∴BD＝PD＝x， 在Rt△APD中，∠APD＝60°， ∴∠A＝30°， tan∠APD，cos∠APD， ∴ADPD，AP＝2PD， ∵AB＝AD﹣BD， ∴PD﹣PD＝5， ∴PD＝BD， ∴AP＝2PD13.65， 在△APC中，∠A＝30°，∠APC＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠APC＝75°， ∴∠C＝∠APC， ∴AC＝AP≈13.65， 设上午9时渔船航行至E处，则AE＝10， ∴CE＝AC﹣AE≈3.65＜5， ∴该渔船会进入“海况异常”区． 【点评】本题考查了方向角问题、解直角三角形、三角形内角和定理、等腰三角形的综合内容，结合实际生活中的航海问题，构造直角三角形并运用直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学源于生活又应用于实际生活． 43．（2024秋•徐汇区月考）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑的仰角为45°，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．结合探究，请解决一下问题： （1）∠CA2A1＝　76　 度；[提示：多边形的内角和公式为180°（n﹣2）] （2）点A1到道路BC的距离＝　4　 千米； （3）若该小组成员徐汇出南门O后沿道路MB向东行走，求他离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1） [参考数据：，α，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66] 【分析】（1）求出正八边形的一个内角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点A1作A1D⊥BC，垂足为D，解Rt△CA2A1，求出CA1，解Rt△CA1D，求出A1D＝CA1•cos45°即可； （3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC，垂足为F，解Rt△A7A8G，求出A8G，证明Rt△CA8F∽Rt△CEB，列出比例式进行求解即可． 【解答】解：（1）如图： ∵180°×（8﹣2）＝1080°， ∴∠A1A2A3＝135°， ∴∠CA2A1＝360°﹣∠NA2A3﹣∠A1A2A3＝76°， 故答案为：76； （2）同理∠CA1A2＝360°﹣∠A2A1A8﹣45°﹣90°＝90°， ∴△CA1A2为直角三角形， ∴， 即， 解得：； ∵在A1处测得雕塑的仰角为45°， 过点A1作A1D⊥BC，垂足为D． ∴△CA1D是等腰直角三角形， ∴点A1到道路BC的距离为， 故答案为：4； （3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC，垂足为F． ∵正八边形的外角均为45°， ∴在Rt△A7A8G中，． ∴FB＝A8G＝1． 又∵A8F＝A1D＝CD＝4，， ∴． ∵∠FCA8＝∠BCE，∠CFA8＝∠B， ∴Rt△CA8F∽Rt△CEB， ∴，即， ∵， ∴EB≈4.7km． 答：该小组成员徐汇出南门O后沿道路MB向东行走，徐汇离点B不超过4.7km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 【点评】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 44．（2026•包河区校级模拟）某环保监测员上午9：00从湿地监测站A出发，沿北偏西30°方向骑行6km到达鸟类观测点B，观测50分钟后从B处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站A南偏西53°方向的水文监测点C处，此时为上午10：30，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点B骑行到水文监测点C的途中，他与湿地监测站A之间的最短距离； （2）上午11：00，监测员完成工作后，若以20km/h的平均速度从水文监测点C骑行回湿地监测站A，他能否在上午11：20前到达？（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，利用AB＝6及方向角求出AD的长，即为最短距离． （2）在Rt△ADC中，利用∠ACD＝53°和AD＝3求出AC的长，再计算骑行所需时间与20分钟比较即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵监测员从B处沿正南方向骑行到C处， ∴BC为正南方向，AD为东西方向， ∵AB＝6km，从A到B沿北偏西30°方向， ∴∠ABD＝30°， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin30°， ∴（km）， ∴他与湿地监测站A之间的最短距离为3km． （2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，， ∵点C位于A的南偏西53°方向， ∴∠ACD＝53°， ∴， ∵骑行速度为20km/h， ∴所需时间． ∵0.1875h＝0.1875×60＝11.25分钟， ∴从C骑行回A需要11.25分钟， ∵11：00出发，经过11.25分钟后为11：11：15， ∴能在上午11：20前到达． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 💯 课后巩固 复习建议 · 解直角三角形先画图，再选合适关系 · 已知两边用勾股，已知一边一角用三角函数 · 坡度i=tanα=铅直高：水平宽 · 仰角俯角问题设公共未知量列方程，别忘了测角仪高 · 方向角以正北正南为基准，转换为三角形内角 【作业 1】（2026•榆树市一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部A处的仰角为α1，看底部B处的俯角为β1；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部A处的仰角为α2，看底部B处的俯角为β2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．α1＞α2且β1＞β2 B．α1＞α2且β1＜β2 C．α1＜α2且β1＞β2 D．α1＜α2且β1＜β2 【分析】设点是小明的位置，点Q是小丽的位置，PC⊥AB于点C，QD⊥AB于点D，依题意得∠APC＝α1，∠BPC＝β1，∠AQD＝α2，∠BQD＝β2，根据∠PAC+α1＝90°，∠QAD+α2＝90且∠PAC＜∠QAD得α1＞α2；根据∠PBC+β1＝90°，∠QBD+β2＝90°且∠PBC＞∠QBD得β1＜β2，由此即可得出答案． 【解答】解：设点是小明的位置，点Q是小丽的位置，PC⊥AB于点C，QD⊥AB于点D，如图所示： ∴△PAC，△PBC，△QAD和△QBD都是直角三角形， 依题意得：∠APC＝α1，∠BPC＝β1，∠AQD＝α2，∠BQD＝β2， 在Rt△PAC中，∠PAC+∠APC＝90°， ∴∠PAC+α1＝90°， 在Rt△QAD中，∠QAD+∠AQD＝90°， ∴∠QAD+α2＝90°， ∵∠PAC＜∠QAD， ∴α1＞α2； 在Rt△PBC中，∠PBC+∠BPC＝90°， ∴∠PBC+β1＝90°， 在Rt△QBD中，∠QBD+∠BQD＝90°， ∴∠QBD+β2＝90°， ∵∠PBC＞∠QBD， ∴β1＜β2， 综上所述：α1＞α2且β1＜β2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解仰角和俯角的定义，角的大小比较是解决问题的关键． 【作业 2】（2026•龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可． 【解答】解：∵∠ABC＝α，AC＝50m， 由三角函数可得：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是根据正切的定义求解． 【作业 3】（2025秋•浦东新区期末）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【分析】过点B作BC垂直地面于点C，设BC＝x米，则AC＝2.4x米，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，过点B作BC垂直地面于点C， 由题意可得：， 设BC＝x米，则AC＝2.4x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即x2+（2.4x）2＝262， 解得：x＝10， ∴物体离地面的高度为10米， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，知道坡比的定义是解题的关键． 【作业 4】（2026•郑州一模）拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长AB＝54cm，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度BC＝acm，拉杆与水平面夹角为α，则拉杆把手一处C到地面的距离CD为（　　） A．（54+a）tanα cm B．（54+a）sinα cm C． D． 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【解答】解：拉杆伸长长度BC＝acm，拉杆与水平面夹角为α， AC＝AB+BC＝（54+a）cm， ， ∴CD＝（54+a）sinαcm． 故答案为：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业 5】（2025秋•潍坊期中）如图，小亮一家自驾到风景区C游玩．当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东15°方向，但导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，则A，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．6千米 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意分别求出∠ABD＝30°，∠ACB＝45°，解直角三角形得到答案． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D， 由题意可知：∠BAC＝45°+15°＝60°，∠ABC＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠ABD＝30°，∠ACB＝45°， 在Rt△ABD中，AB＝6千米，∠ABD＝30°， 则ADAB＝3千米，BD＝AB•cos∠ABD＝63千米， 在Rt△ADC中，∠ACB＝45°， ∴CD＝BD＝3千米， ∴AC＝（3+3）千米， 故选：B． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【作业 6】（2026•浦东新区二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　68　 cm． 【分析】过A作AE⊥CP于点E，过B作BF⊥DQ于点F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为8cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【解答】 解：过A作AE⊥CP于点E，过B作BF⊥DQ于点F， 则Rt△ACE中，， 同理可得，BF＝30cm， 又∵点A与B之间的距离为8cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为30+8+30＝68（cm）． 故答案为：68． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 7】（2025秋•松江区校级月考）图为机器上用的螺丝钉，它上面的螺纹以一定的倾斜角度旋转上升．工人旋转螺丝时，螺丝会向前推进．已知一颗直径为6毫米的螺丝钉，若每转一圈螺丝会向前推进1.5毫米，则螺纹初始角的正切值为　　 ． 【分析】根据锐角三角函数列式计算即可． 【解答】解：如图， 根据题意可知：AB＝6π毫米，CA＝1.5毫米， ∴根据锐角三角函数得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形． 【作业 8】（2026春•潜山市期末）如图，大坝横截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为2：5，已知迎水坡AD＝50m，坝顶宽CD＝15m，则坝底AB为 　145　 m． 【分析】设DE＝4xm，根据坡度的概念用x表示出AE，根据勾股定理求出x，再根据坡度的概念求出FB，计算即可． 【解答】解：设DE＝4xm， ∵迎水坡AD的坡比为4：3， ∴， ∴AE＝3xm， 由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2，即502＝（3x）2+（4x）2， 解得：x＝10（负值舍去）， ∴DE＝40m，AE＝30m， 由题意可知：四边形DEFC为矩形， ∴CF＝DE＝40m，EF＝CD＝15m， ∵背水坡BC的坡比为2：5， ∴FB＝100m， ∴AB＝AE+EF+FB＝30+15+100＝145（m）， 故答案为：145． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 【作业 9】（2026•滨湖区二模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 【分析】（1）求出∠PBQ＝53°，再由锐角三角函数定义求出BQ的长即可； （2）过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D，则四边形ACQD是矩形，得AD＝CQ，DQ＝AC，设AC＝x米，则BC＝3x米，由勾股定理求出ABx米，则PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，进而求出∠PAD＝27°，再由锐角三角函数定义求出AD≈（32﹣2x）米，然后由AD＝CQ列出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵在坡角点B处时，电子眼的俯角为53°， ∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°， ∵∠PQB＝90°， ∴∠PBQ＝53°， ∵tan∠PBQ＝tan53°， ∴BQ12（米）， 答：路段BQ的长约为12米； （2）如图，过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D， 则四边形ACQD是矩形， ∴AD＝CQ，DQ＝AC， ∵引桥坡度i＝1：3， ∴， 设AC＝x米，则BC＝3x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：ABx（米）， ∴PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米， ∵在面点A处，此时电子眼的俯角为27°， ∴∠APD＝90°﹣27°＝63°， ∵∠ADP＝90°， ∴∠PAD＝27°， ∵tan∠PAD＝tan27°， ∴AD（32﹣2x）（米）， ∵CQ＝BC+BQ＝（3x+12）米， ∴3x+12＝32﹣2x， 解得：x＝4， ∴ABx≈12.8（米）， ∴该车的平均速度为v6.4（米/秒）＝23.04km/h， ∵23.04km/h＜30km/h， ∴小汽车没有超速． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【作业 10】（2026•常州模拟）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝ 　58　 °； （2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （3）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 【分析】（1）过点B作直线MN∥l，根据平行线的性质解答即可． （2）过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，从而求出∠CBN＝58°，进而求出∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，进行计算即可解答． （3）过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，求得CM，再算出∠CDM＝30°，∠DCM＝60°，得出∠BCD＝∠DCM﹣∠BCN＝60°﹣32°＝28°． 【解答】解：（1）过点B作直线MN∥l， ∵CD∥l， ∴∠ABN＝90°， ∵MB∥l， ∴MN∥CD， ∴∠BCD＝∠CBN＝148°﹣90°＝58°． 故答案为：58°． （2）过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G， 则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l， ∵∠ABC＝148°， ∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°， 在Rt△CBN中，BC＝40cm， ∴CN＝40•sin58°≈40×0.85＝34（cm）， ∴CF＝CN+NF＝34+18＝52， ∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm． （3）过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G， 则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l， ∵摄像头点D到桌面l的距离为30cm， ∴MF＝30cm， ∴CM＝CF﹣MF＝52﹣30＝22cm， 在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM＝22cm， ∴sin∠CDM， ∴∠CDM＝30°，∠DCM＝60°， 在Rt△CBN中，∠CBN＝58°， ∴∠BCN＝32°， ∴∠BCD＝∠DCM﹣∠BCN＝60°﹣32°＝28°． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【作业 11】（2025秋•梅州校级期末）如图1，一种抢险救援车由底座与活动支撑臂等组成，如图2是该救援车工作的示意图，其中大臂CD为3米，小臂DE长为4米，其夹角∠CDE可变化，大臂CD与底座平台AB夹角也可变化，底座平台AB与水平地面GH平行，且离地面的距离CM为1.5米，CD、DE、CM在同一平面内． （1）若∠ACD＝60°，∠CDE＝105°，求此时点E离水平地面GH的距离； （2）一电线杆PQ垂直于水平面，PQ＝5.5米，MQ＝3米，当点E位于点P时，求∠DCE的正弦值． 【分析】（1）过点D作DR⊥EF于R，DS⊥AB于S，解Rt△CDS可求出DS的长，证明DR∥AB得到∠CDR＝∠DCS＝60°，则∠EDR＝∠CDE﹣∠CDR＝45°，解Rt△DER求出ER的长，进而求出EF的长即可得到答案； （2）延长AB交PQ于T，可证明四边形CMQT是矩形，得到QT＝CM＝1.5米，CT＝MQ＝3米，由勾股定理可得米，证明△PDC≌△PTC（SSS），得到∠PDC＝∠PTC＝90°，则． 【解答】解：（1）如图2，在Rt△CDS中，CD＝3米，∠DCS＝60°，过点D作DR⊥EF于R，DS⊥AB于S， ∴（米）， ∵EF⊥GH，DR⊥EF，AB∥GH， ∴DR∥AB， ∴∠CDR＝∠DCS＝60°， ∵∠CDE＝105°， ∴∠EDR＝∠CDE﹣∠CDR＝105°﹣60°＝45°， 在Rt△DER中，DE＝4米， ∴（米）， ∴米， 答：此时点E离水平地面GH的距离为米； （2）如图3，AB∥GH，PQ⊥GH，PQ＝5.5米，MQ＝3米，当点E位于点P时，延长AB交PQ于T， ∴AB⊥PQ， 又∵CM⊥GH， ∴四边形CMQT是矩形， ∴QT＝CM＝1.5米，CT＝MQ＝3米， ∴PT＝PQ﹣TQ＝4米， 在直角三角形CPT中，由勾股定理得：米， 在△PDC和△PTC中， ， ∴△PDC≌△PTC（SSS）， ∴∠PDC＝∠PTC＝90°， ∴． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•徐汇区期末）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚AB长为3.9m，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高AD为5m． （1）求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离； （2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板BC（与墙面垂直），示意图如图2所示．已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m．根据以上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果． （结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747．） 【分析】（1）依据题意，过B点作BM⊥AD于M，在Rt△ABM中，cosα，则sinα，故BM＝ABsinα＝3.93.6（m），从而得解； （2）依据题意，在Rt△ABM中，AM＝AB•cosα＝1.5m，则MD＝AD﹣AM＝5﹣1.5＝3.5（m），又C作CN⊥AD于N，过C作CP⊥AB于P，故BE＝MD＝3.5m，DF＝2.6m，则EF＝ED﹣FD＝3.6﹣2.6＝1（m），在Rt△CEF中，CE＝EF•tan70°≈1×2.747＝2.747（m），可得BC＝BE﹣CE＝3.5﹣2.747＝0.753（m），要确保DF≥2.6m，求得BC＝0.76． 【解答】解：（1）过B点作BM⊥AD于M， 在Rt△ABM中，cosα， ∴sinα， ∴BM＝ABsinα＝3.93.6（m）． 答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离为3.6m； （2）如图，在Rt△ABM中，AM＝AB•cosα＝1.5m， ∴MD＝AD﹣AM＝5﹣1.5＝3.5（m）， 过C作CN⊥AD于N，过C作CP⊥AB于P， ∴BE＝MD＝3.5m，DF＝2.6m， ∴EF＝ED﹣FD＝3.6﹣2.6＝1（m）． 在Rt△CEF中，CE＝EF•tan70°≈1×2.747＝2.747（m）， ∴BC＝BE﹣CE＝3.5﹣2.747＝0.753， ∵DF≥2.6m， ∴BC至少要0.76m才能确保遮阳效果． 答：档板BC至少要0.76m才能确保遮阳效果． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业 13】（2025秋•嘉定区期末）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在A处用测角仪测得塔顶M的仰角为37°，再往塔的方向前进30米至B处（点N为塔底中心，且点A、B、N在同一水平线上），测得此时塔顶M的仰角为60°，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：sin37°1.73，结果精确到0.1米）． 【分析】先利用矩形的判定与性质求出AC、CD的长，再利用直角三角形的边角间关系用含ME的代数式表示出ED、CE，最后利用线段的和差关系得方程，求解方程后得结论． 【解答】解：由题意可知，四边形ENAC、ENBD、DBAC都是矩形， ∴AC＝BD＝EN＝1.5米，AB＝CD＝30米，∠MEC＝90°． 在Rt△MEC中， ∴tan∠MCE， ∴ECME． 在Rt△MED中， ∴tan∠MDE， ∴EDME． ∵EC＝CD+ED， ∴ME＝30． ∴ME≈39.65（米）． ∴MN＝ME+EN≈39.65+1.5＝41.15≈41.2（米）． 答：法华塔的高度约为41.2米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握矩形的性质与判定、直角三角形的边角间关系等知识点是解决本题的关键． 【作业 14】（2026•钢城区模拟）某学校开展综合实践活动，如图，AB，CD为两栋楼房，山坡EF长为15m，∠EFH＝60°，楼房AB位于山坡顶部平地EM上，底部A到E点的距离为4m．楼房CD底层窗台P处至地面C处的高度为1m，在点P处观察点B的仰角为39°，底部C距F处距离为32.5m．图中所有点均在同一平面内，CF∥EM． （1）求山坡EF的垂直高度EH； （2）求楼房AB的高度．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，，结果精确到0.1m） 【分析】（1）直接解Rt△EFH求出EH的长即可得到答案； （2）延长BA交直线CF于点Q，则∠BQC＝90°，过点P作PG⊥BQ于点G，则四边形 EHQA和四边形CPGQ都是矩形，由矩形的性质得到EH＝AQ＝13.0m，解Rt△EFH得到FH＝7.5m，则可得到PG＝CQ＝44m，解Rt△BPG求出BG的长，进而可求出AB的长． 【解答】解：（1）在Rt△EFH中，EF＝15m，∠EHF＝90°，∠EFH＝60°， ∴， ∴山坡EF的垂直高度EH约为13.0m． （2）如图，延长BA交直线CF于点Q，则∠BQC＝90°，过点P作PG⊥BQ于点G， ∴四边形EHQA和四边形CPGQ都是矩形， ∴CP＝GQ＝1m，PG＝CQ，AE＝HQ＝4m，EH＝AQ＝13.0m， 在Rt△EFH中，∠EFH＝60°， ∴， ∴CQ＝CF+FH+HQ＝44m， ∴PG＝CQ＝44m， 在Rt△BPG中，∠BPG＝39°， ∴BG＝PG•tan∠BPG＝44•tan39°≈35.64m， ∴AB＝BG+GQ﹣AQ≈35.64+1﹣13.0≈23.6m， ∴楼房AB的高度约为23.6m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 15】（2026•新抚区模拟）如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC＝2cm，GE＝1.5cm，压杆CF＝6cm，∠FCD＝150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，AB∥MN，求压杆端点F到底座MN的距离； （2）使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图3，测得∠GBE＝15°，求压杆端点F到底座MN的高度．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm） 【分析】（1）构造直角三角形，在Rt△CFG中由直角三角形的边角关系求出FQ即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，在Rt△BCK和Rt△CFQ中分别求出CK，FQ即可． 【解答】解：（1）如图2，过点F作FP⊥MN于点P， 延长DC交FP于点Q，则PQ＝BC+EG＝3.5cm， 在Rt△CFG中，CF＝6cm，∠FCQ＝180°﹣150°＝30°， ∴FQCF＝3cm， ∴FP＝FQ+QP＝6.5cm， 即压杆端点F到底座MN的距离为6.5cm； （2）如图3，过点F作FP⊥MN于点P，过点C作CQ⊥FP于点Q，过点C作CK⊥MN于点K，在Rt△BCK中，BC＝2cm，∠BCK＝∠ABM＝15°， ∴CK＝cos15°•BC≈1.94（cm）， 在Rt△CFQ中，CF＝6cm，∠FCQ＝360°﹣150°﹣90°﹣90°﹣15°＝15°， ∴FQ＝sin15°•CF≈1.56（cm）， ∴FP＝FQ+PQ≈3.5（cm）， 即压杆端点F到底座MN的高度约为3.5cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键，构造直角三角形是正确解答的前提． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 解直角三角形及应用 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解解直角三角形的含义，会由已知元素求未知元素 · 掌握直角三角形边角关系（三边、两锐角、三角函数） · 会解决坡度坡角、仰角俯角、方向角三类实际问题 · 能将实际问题抽象为直角三角形模型 · 培养数学建模与计算能力 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形边角关系 三边：a2+b2=c2（勾股定理） 两锐角：∠A+∠B=90° 边角：sinA=，cosA=，tanA= 已知两个元素（至少一边）可求其余三个元素 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，a=6，b=8，求c和∠A 解析：c==10，tanA==0.75，查表得∠A≈36.9° ☆ 2.坡度与坡角 坡面与水平面的夹角α叫坡角 坡度（坡比）i=tanα=铅直高度：水平宽度 坡度越大坡角越陡 常见坡度1：m表示每升高1单位、水平前进m单位 概念辨析例题：斜坡坡度i=1：2.4，斜坡长26m，求坡高 解析：设高x、水平宽2.4x，x2+(2.4x)2=262，解得x=10 ☆ 3.仰角与俯角 仰角：视线在水平线上方与水平线的夹角 俯角：视线在水平线下方与水平线的夹角 测高问题常构造两个直角三角形 注意测角仪高度要加上 概念辨析例题：A处测塔顶仰角37°，前进30m到B处测仰角60°，测角仪高1.5m，求塔高 解析：设塔顶到测角仪水平线高h，cot37°·h-cot60°·h=30，解得h后加1.5 ☆ 4.方向角问题 方向角：北/南偏东/西多少度 正北正南为基准线 航海、行路问题中常构造多个直角三角形 注意图形中的角度关系与方向转换 概念辨析例题：C在A北偏东15°，从A沿北偏西45°走6km到B，再沿北偏东60°到C，求AC 解析：在△ABC中求∠ABC、∠BAC，用正弦/余弦定理求AC 📋 知识总结表 类型 关系/公式 注意 三边 a2+b2=c2 勾股定理 锐角 ∠A+∠B=90° 两锐角互余 边角 sinA=，cosA= 对边比斜边 坡度 i=tanα=铅直高：水平宽 1：m含义 仰/俯角 视线与水平线夹角 仰上俯下 方向角 北/南偏东/西 基准正北正南 ⚠️ 核心考点 【考点1】解直角三角形（第1-10题） · 先画图标注已知元素 · 选合适的三角函数关系式 · 已知边+角→三角函数；已知两边→勾股 · 结果按精度要求保留 1．（2026•深圳三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 2．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 3．（2026•拱墅区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC＝∠BEC，那么的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•朝阳区校级三模）伊通河作为长春市的“母亲河”全长约343公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边A点处垂直上升60米到达点B处悬停，测得河对岸C点的俯角为α，则此处的河道宽度AC为（　　） A．60sinα B．60tanα C． D． 5．（2025秋•嘉定区期中）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为（　　）千米． A． B． C．3tanα D．3cotα 6．（2026•海州区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，tanB，E，D分别为AB，AC边上的点，且∠B＝2∠AED，BE＝AD，则AD的长为 ___________________ ． 7．（2026•武汉一模）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若∠A＝90°，∠B＝65°，AB＝10cm，则原直角三角形玻璃的面积为 ________ cm2．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 8．（2025秋•姜堰区期末）已知一个斜坡的坡度i＝1：1，那么该斜坡的坡角为 _______ 度． 9．（2025秋•宝山区校级期末）如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠ADB＝90°，，，AB＝AC，，∠AOD＝∠ACB． （1）求证：； （2）求∠CAB的正弦值． 10．（2026•保定校级模拟）☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝10cm，∠ABC＝35°． （1）图（2）中，∠BCD＝________ °． （2）靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，如图（3），杯托E处凹陷深度为0.7cm，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）． ①∠ACD＝_______ °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：tan35°≈0.70，tan55°≈1.43，sin35°≈0.57，sin55°≈0.82） 【考点2】解直角三角形应用（第11-19题） · 抽象实际问题为直角三角形 · 选三角函数或勾股定理 · 注意单位统一 · 检验结果合理性 11．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 12．（2026•扶沟县模拟）如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠BAC＝46°，则小河宽AB为多少米？（　　） A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44° 13．（2025秋•东台市期末）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝36°，自动扶梯的长度AB＝15 米．则该自动扶梯的高度BC等于（　　） A．15sin36°米 B．米 C．15tan36°米 D．米 14．（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　） A． B．cos2α+1 C． D．sin2α+1 15．（2026•长沙模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 _______ ． 16．（2025秋•杨浦区期末）如图是一辆小M汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门 _______ 碰到墙．（填“会”或“不会”）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 17．（2025秋•常州校级月考）2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座AB与地面垂直，基座AB＝1米，大臂BC＝2米，小臂CD＝3米，大臂与水平线的张角为α，小臂与大臂的张角为β，其中30°≤α≤60°，15°≤β≤90°（图中点线在同一个平面内）． （1）经过实验发现，当β取最大值，且点D、B、A三点共线时（如图2），抓手D距离地面高度最大，则抓手D距离地面的最大高度是____________________ 米．（结果保留根号） （2）设抓手D到直线AB的水平距离为r． ①当α＝40°，β＝73°时，求r的值． ②当α＝60°时，则r的最大值为_____ 米（结果保留两位小数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）． 18．（2026•海门区校级模拟）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 【考点3】坡度坡角问题（第20-27题） · 坡度i=tanα=铅直高：水平宽 · 用k表示铅直高与水平宽 · 斜坡长用勾股或三角函数 · 坝体、传送带、坡道长问题通用 19．（2025•衢州三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝________________ m．（结果保留根号） 20．（2026•武汉模拟）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是________ m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）． 21．（2025秋•奉贤区期末）景区新建了一条通往山顶观景台的缓坡步道，设计要求是坡度为1：2.4，施工方测得观景台距离地面的垂直高度为10米，为满足设计要求，这段缓坡步道的长度应为_______ 米． 22．（2026•三元区二模）为响应2026年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于2026年3月14日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为的山坡上种植了两棵树（如图），斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为4米，则相邻两树间的水平距离AC为________________ 米．（结果保留准确数） 23．（2025•丹阳市校级模拟）根据背景素材，探索解决问题： 测算发射塔的高度 背景素材 博雅小组在一幢楼房窗前测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A、B、C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 测得A、B之间的图上距离为4mm； 测得A、C之间的图上距离为12mm． 测得D、E之间的图上距离为5mm． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 获取数据 选择两个观察位置： 点_____ 和点_____ ． 任务2 推理计算 直接写出所选位置且需要的观测角的正切值：____________________ ； 直接写出已测得且需要的线段的图上距离：___________ ． 计算发射塔的图上高度MN． 任务3 换算高度 楼房的实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 24．（2025•东光县二模）下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹E的高度DE＝29cm，水平放置的水槽高度，MN＝9cm，试管长AB＝27cm，固定夹E正好在试管AB靠近开口B的三等分点上，试管倾斜角为12°，直导管BF过水槽端点M．点C，D，N均在一条直线上． （1）BE＝_____ cm，并求管口B的高度； （2）若∠NMF＝45°，求铁架与水槽之间的距离DN．（参考数据：sin12°取0.21，cos12°取0.98） 25．（2026•长垣市二模）带购物篮的手推步行辅助器（如图1）可以提高老年人出行购物的安全性，如图2是步行辅助器的侧面示意图．其中横杆EF与地面平行，框架AG与横杆EF的夹角∠GEF＝62°，框架HF与把手HI（与地面平行）的夹角，∠GHI＝120°．已知AG长为75cm，HG长为16cm，点A和点B是车轮的圆心，车轮的半径为5cm．求把手HI到地面的高度．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，） 26．（2025秋•宣城期末）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为50cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACP＝50°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACP＝35°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70） 【考点4】仰角俯角问题（第28-38题） · 两个观测点构造两个直角三角形 · 设公共未知量h列方程 · 测角仪高度不要漏加 · 前进距离=两水平距离之差 27．（2026•南山区校级模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为____________________ m（结果保留根号）． 28．（2025•金山区二模）如图，小海想测量塔CD的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部C的距离，于是小海在观测点A处仰望塔顶，测得仰角为α，再往塔的方向前进m（m＞0）米至观测点B处，测得塔顶的仰角为β（β＞α＞0），点A、B、C在一直线上，小海测得塔的高度为 ____________________ 米（小海的身高忽略不计，用含α、β的三角比和m的式子表示）． 29．（2026•信都区校级模拟）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C，D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．则顶棚的E处离地面的高度EF＝_________ m．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m） 30．（2025春•同步）小明想要测量如图所示的大树AB的高度，从树的底部B处沿BC方向走15米到了坡比为3：4的斜坡坡底C处，再沿斜坡向上走10米到D处，测得大树顶部A的仰角为24°．已知小明的身高DE＝1.6米，则树高AB为 _______ 米．（结果精确到1米，参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） 31．（2025秋•门头沟区校级期末）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_______ 米． 32．（2026•浙江一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是__________ 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 33．（2026•汝南县三模）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°． 问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）． 34．（2026•槐荫区一模）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心P（点P是AB中点）的视线EP与水平线EA形成的夹角∠E＝18°时，观看屏幕最舒适，此时AC⊥CD，∠BCD＝30°，∠APE＝90°．已知液晶显示屏的宽AB为34cm． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE（结果精确到1cm）； （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC（结果精确到1cm）． （参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，， 35．（2025秋•浦东新区月考）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头都需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm． （1）身高205cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）身高115cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27sin20°＝0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 36．（2026•巴中）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡NC的长为12m，坡比为1：．（计算结果保留整数） （参考数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61tan，52.4°≈1.30） （1）求无人机距河面的高度PM． （2）求两艘皮划艇之间的距离AB． 37．（2026•甘肃）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B，C，D在同一条直线上），CD⊥AB，在点A分别测得塔顶C的仰角∠CAB＝16.73°、塔底D的仰角∠DAB＝14.01°，查阅资料可知塔的高度CD＝17米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平距离AB．（结果精确到1米）． 参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30． 【考点5】方向角问题（第39-45题） · 以正北正南为基准画方向线 · 方位角转换为三角形内角 · 用正弦/余弦定理求边 · 多步方向问题逐步分解 38．（2026•科尔沁区二模）如图，某校组织了一次消防安全检查．检查人员从A点出发，途中经过B、C两个检查点，行进路线为A→B→C→A，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，则检查点B和C之间的距离是____________________ km． 39．（2024春•江岸区校级月考）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距A港口100海里处，一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向上，B港口在货轮的北偏西70°方向，则此时货轮与A港口的距离为 ________ 海里．（结果取整数）（sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，） 40．（2024秋•杨浦区期末）如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有 ____________________ 海里．（结果保留根号） 41．（2026•吉首市模拟）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮在A处调整航向，沿着北偏东30°方向航行到B处后，再沿着南偏东75°方向航行40海里到达码头C．求货轮从A到码头C的距离．（结果保留根号） 42．（2024•海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：∠PAB＝ _______ °，∠APC＝ _______ °，AB＝ _____ 海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：1.41，1.73，2.45） 43．（2024秋•徐汇区月考）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑的仰角为45°，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．结合探究，请解决一下问题： （1）∠CA2A1＝_______ 度；[提示：多边形的内角和公式为180°（n﹣2）] （2）点A1到道路BC的距离＝_____ 千米； （3）若该小组成员徐汇出南门O后沿道路MB向东行走，求他离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1） [参考数据：，α，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66] 44．（2026•包河区校级模拟）某环保监测员上午9：00从湿地监测站A出发，沿北偏西30°方向骑行6km到达鸟类观测点B，观测50分钟后从B处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站A南偏西53°方向的水文监测点C处，此时为上午10：30，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点B骑行到水文监测点C的途中，他与湿地监测站A之间的最短距离； （2）上午11：00，监测员完成工作后，若以20km/h的平均速度从水文监测点C骑行回湿地监测站A，他能否在上午11：20前到达？（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•榆树市一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部A处的仰角为α1，看底部B处的俯角为β1；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部A处的仰角为α2，看底部B处的俯角为β2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．α1＞α2且β1＞β2 B．α1＞α2且β1＜β2 C．α1＜α2且β1＞β2 D．α1＜α2且β1＜β2 【作业 2】（2026•龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【作业 3】（2025秋•浦东新区期末）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【作业 4】（2026•郑州一模）拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长AB＝54cm，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度BC＝acm，拉杆与水平面夹角为α，则拉杆把手一处C到地面的距离CD为（　　） A．（54+a）tanα cm B．（54+a）sinα cm C． D． 【作业 5】（2025秋•潍坊期中）如图，小亮一家自驾到风景区C游玩．当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东15°方向，但导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，则A，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．6千米 【作业 6】（2026•浦东新区二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______ cm． 【作业 7】（2025秋•松江区校级月考）图为机器上用的螺丝钉，它上面的螺纹以一定的倾斜角度旋转上升．工人旋转螺丝时，螺丝会向前推进．已知一颗直径为6毫米的螺丝钉，若每转一圈螺丝会向前推进1.5毫米，则螺纹初始角的正切值为___________________ ． 【作业 8】（2026春•潜山市期末）如图，大坝横截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为2：5，已知迎水坡AD＝50m，坝顶宽CD＝15m，则坝底AB为 ________ m． 【作业 9】（2026•滨湖区二模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 【作业 10】（2026•常州模拟）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝ _______ °； （2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （3）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 【作业 11】（2025秋•梅州校级期末）如图1，一种抢险救援车由底座与活动支撑臂等组成，如图2是该救援车工作的示意图，其中大臂CD为3米，小臂DE长为4米，其夹角∠CDE可变化，大臂CD与底座平台AB夹角也可变化，底座平台AB与水平地面GH平行，且离地面的距离CM为1.5米，CD、DE、CM在同一平面内． （1）若∠ACD＝60°，∠CDE＝105°，求此时点E离水平地面GH的距离； （2）一电线杆PQ垂直于水平面，PQ＝5.5米，MQ＝3米，当点E位于点P时，求∠DCE的正弦值． 【作业 12】（2025秋•徐汇区期末）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚AB长为3.9m，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高AD为5m． （1）求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离； （2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板BC（与墙面垂直），示意图如图2所示．已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m．根据以上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果． （结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747．） 【作业 13】（2025秋•嘉定区期末）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在A处用测角仪测得塔顶M的仰角为37°，再往塔的方向前进30米至B处（点N为塔底中心，且点A、B、N在同一水平线上），测得此时塔顶M的仰角为60°，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：sin37°1.73，结果精确到0.1米）． 【作业 14】（2026•钢城区模拟）某学校开展综合实践活动，如图，AB，CD为两栋楼房，山坡EF长为15m，∠EFH＝60°，楼房AB位于山坡顶部平地EM上，底部A到E点的距离为4m．楼房CD底层窗台P处至地面C处的高度为1m，在点P处观察点B的仰角为39°，底部C距F处距离为32.5m．图中所有点均在同一平面内，CF∥EM． （1）求山坡EF的垂直高度EH； （2）求楼房AB的高度．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，，结果精确到0.1m） 【作业 15】（2026•新抚区模拟）如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC＝2cm，GE＝1.5cm，压杆CF＝6cm，∠FCD＝150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，AB∥MN，求压杆端点F到底座MN的距离； （2）使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图3，测得∠GBE＝15°，求压杆端点F到底座MN的高度．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm） 复习建议 · 解直角三角形先画图，再选合适关系 · 已知两边用勾股，已知一边一角用三角函数 · 坡度i=tanα=铅直高：水平宽 · 仰角俯角问题设公共未知量列方程，别忘了测角仪高 · 方向角以正北正南为基准，转换为三角形内角 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $