2.4.2解直角三角形的应用 教案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该教案聚焦解直角三角形应用中的坡度、坡角与方向角知识点，以“哪条路陡”生活情境导入，衔接锐角三角函数及解直角三角形基础，引导学生从直观观察过渡到用数量刻画陡峭程度，搭建知识学习支架。 此资料亮点在于情境化建模与分层探究，通过多媒体课件动态演示坡度与坡角关系，学生自主推导i=tanα，培养抽象能力与几何直观。方向角问题中构造双直角三角形并设元列方程，体现推理能力与方程思想。分层练习与变式训练助学生巩固建模方法，提升应用意识，为教师提供清晰教学路径与资源支持。

湘教新版教学设计 学科 数学 年级 九年级上册 课型 新授课 单元 第二单元 课题 2.4.2解直角三角形的应用 课时 第二课时 课标要求 义务教育数学课程标准在“图形与几何”领域明确指出，学生应“探索并掌握直角三角形边角之间的关系”，并“能运用勾股定理、锐角三角函数等解直角三角形，以及解决一些简单的实际问题”。本节课“坡度、坡角与方向角”正是解直角三角形知识在工程测量、航海定位等领域的具体应用。学生需要在理解坡度（坡比）、坡角、方向角等概念的基础上，将实际问题抽象为直角三角形数学模型，灵活运用锐角三角函数进行求解，并最终回归实际问题进行解释和检验。这一定位要求学生经历“实际问题→数学问题→数学求解→实际解答”的完整建模过程。 教材分析 本节课是湘教版九年级上册第2章“锐角三角函数”第4节“解直角三角形的应用”的第二课时。在单元中，本节课处于从“仰角、俯角测高测距”向“坡度、坡角与方向角综合应用”递进的关键位置。在此之前，学生已经学习了锐角三角函数定义、特殊角三角函数值以及解直角三角形的基本方法（已知两边或已知一边一角求其余元素）。教材以“哪条路陡”的生活问题引入坡度概念，通过例2（山坡坡度求上升高度）巩固坡度与坡角的关系，再以例3（航海暗礁安全问题）引入方向角的应用。三个内容呈递进关系：坡度概念建立→坡度问题求解→方向角综合应用，引导学生逐步掌握用解直角三角形知识解决工程与航海中的实际问题，为后续学习更复杂的三角应用奠定基础。 学情 分析 九年级学生已经系统学习了勾股定理、直角三角形两锐角互余以及正弦、余弦、正切的定义，掌握了在直角三角形中“已知两边”或“已知一边一角”求其余元素的基本技能，具备了解直角三角形的运算能力。学生正处于由形象思维向抽象思维过渡的关键时期，对“用数学解决实际问题”有浓厚的兴趣，这为情境创设提供了良好的切入点。可能遇到的困难主要体现在以下四个方面：第一，坡度（坡比）是一个比值而非角度，学生容易将坡度与坡角混淆，不清楚 这一核心关系；第二，方向角以正北或正南为基准的表示方法（如“北偏东45°” “北偏东30°”），学生容易与以正东或正西为基准的角度表示相混淆；第三，从文字描述中准确识别并构造出直角三角形模型、将分散的条件“组装”到一个或两个关联的直角三角形中，是普遍的思维障碍；第四，在例3这类需要综合运用方向角构造双直角三角形的综合题中，学生难以从复杂图形中分离出可解的直角三角形。 核心素养目标 1.知识与技能：掌握坡度、坡角、方向角的定义及相互关系，会识别方向角，能利用解直角三角形知识解决相关实际计算问题。 2.过程与方法：经历实际问题的建模求解全过程，在双直角三角形问题中体会数形结合与方程思想。 3.情感态度与价值观：感受数学在工程、航海中的应用价值，提升运用数学解决实际问题的兴趣与信心。 教学重点 1.理解坡度（坡比）、坡角的概念及其关系 ，能运用坡度知识解决山坡、斜坡等实际问题【2.4-5】。 2.理解方向角的概念，能正确识别实际问题中的方向角，并运用解直角三角形知识解决航海、定位等实际问题。 教学难点 难点一：学生易混淆坡度（比值）与坡角（角度），在已知坡度、斜边求高度时，完成坡度到坡角的转化并选取合适三角函数存在困难。 难点二：方向角问题需找准角度位置，通过作辅助线构造双直角三角形，依靠设元列方程解题，思维链条长，对学生作图与方程思想要求高。 教学 准备 教师准备： 多媒体课件（含教材图2.4-5、图2.4-6、图2.4-7的动画演示，动态展示坡度与坡角的关系、方向角的构成） 坡度实物模型或图片素材（如山坡、斜坡、屋顶等实景图片，用于情境导入） 三角板、量角器（课堂演示用） 导学案（含坡度定义、例2、例3的完整解题框架） 学生准备： 复习2.3节“解直角三角形”的三种基本题型及解题方法 复习2.4.1节“仰角与俯角”的建模方法 科学计算器（用于非特殊角的三角函数计算，如 、 等【2.4-6】） 直尺、铅笔（用于根据题意画示意图） 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 问题1： 在Rt△ABC中，∠C=90°，请写出∠A的正弦、余弦和正切的定义。 标准答案： ， ， 。 问题2： 在Rt△ABC中，已知一条边和一个锐角，如何求其他边？ 标准答案： 根据锐角三角函数的定义建立方程求解，如已知斜边和锐角A，则，。 问题3： 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知，你能求出∠A的度数吗？ 标准答案： ，查表或利用已知条件可知（因为）。 学生独立思考后口答，并在练习本上默写公式，为新课学习做好知识准备。 通过回顾锐角三角函数的定义和解直角三角形的基本方法，为本节课利用正切定义坡度、利用正弦（或余弦、正切）解决实际问题做好知识铺垫，实现“温故孕新” 二、引新 创设情境，引入课题 展示教材图2.4-4，创设以下情境： “同学们，假如我们要去爬山，从山脚到山顶有两条路AB与BD（呈现图形）。请大家观察一下，这两条路哪一条比较陡？你是怎么判断的？” 引导学生观察、比较并说出判断理由。 然后追问：刚才我们是用眼睛观察来判断的，但生活中我们需要用准确的数量来刻画道路的陡峭程度。比如工程师在设计道路、修建大坝时，不能只说“这条路比较陡”，而需要用具体的数字来说明。那么，如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 由此引出课题：与坡度、坡角有关的实际问题。 学生阅读教材，观察图形，在教师的引导下逐步认识坡度和坡角的定义；在Rt△ABC中自主推导的关系式；根据坡度独立计算坡角，并在小组内交流结果。 通过“概念认识→关系推导→初步应用”三个层次递进的探究活动，引导学生从具体图形中抽象出坡度和坡角的数学概念，自主发现坡度与坡角的正切关系，突破教学重点，培养学生的观察能力、推理能力和数学建模意识。 三、探究 合作探究，活动领悟 探究活动一：认识坡度与坡角 呈现教材图2.4-5，引导学生阅读教材相关内容： “请大家看大屏幕，从坡脚点A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，用字母i表示。即，坡度通常写成的形式。” “图中∠BAC叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作α。” 提问：（1）坡度是一个比还是一个角？ 坡度是一个比（比值），而不是一个角。它是坡面的垂直高度（h）与水平距离（l）的比，通常写作 的形式。它反映的是山坡的陡峭程度，是一个没有单位的数值。 （2）坡角是哪个角？ 坡角是坡面与水平面的夹角。在教材的图2.4-5中，坡角是指∠BAC即线段AB与水平线AC之间的夹角），记作 。 【注意】虽然坡度（）和坡角（）是两个不同的概念（一个是比值，一个是角度），但它们在数学上有着紧密的联系——坡度等于坡角的正切，即 。坡度越大，坡角就越大，山坡也就越陡。 探究活动二：推导坡度与坡角的关系 引导学生在Rt△ABC中观察： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=α。根据正切的定义，等于什么？ 学生回答后板书：。 而，所以我们得到：坡度等于坡角的正切，即。 追问：（1）坡度越大，坡角怎样变化？山坡怎样变化？ 坡度 ，在 范围内，正切函数随角度的增大而增大。因此，坡度越大，坡角也越大，山坡越陡。 从两个方面理解：一是从生活经验感知——坡度数值大，说明相同水平距离内上升的高度更大，自然更陡；二是从数学关系理解——由 可知，在 到 之间， 随 的增大而增大，因此坡度与坡角同向变化。 （2）坡度表示什么意思？ 坡度 表示坡面的垂直高度与水平距离的比为 ，即 。也就是说，在水平方向上前进 2 个单位长度，竖直方向上升（或下降）1 个单位长度。同时，这也意味着坡角 满足 ，即 。 教师应强调：坡度写为 ，表示 ，即 ，也就是水平距离是竖直高度的 倍。 例如 中，，水平距离是竖直高度的 2 倍。 探究活动三：初步应用——求坡角 例题2.如图2.4‑6，一山坡的坡度．小华从山脚出发，沿山坡向上到达点，已知，两点间的直线距离为，问：他从点到点高度上升了多少米？ （，，结果精确到） 解：由于坡度， 即 又，于是。 在中，，， 所以 又， 因此 答：小华从点到点高度上升了约。 【你还可以用其他方法求出吗？】 例3.如图2.4‑7，一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 分析：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔到航线的距离是否大于。 解：作，交的延长线于点．设。 在中，因为 所以 同理，在中， 因为， 所以 解得 又， 因此，该船能继续安全地向东航行。 通过“做一做”的完整探究，让学生经历“实际问题→数学问题→求解→解释”的完整建模过程；在讨论中明确仰角的概念，突破“从文字中抽象图形”这一难点。 四、变式 变式1（基础——知坡度求坡角） 已知一斜坡的坡度，求坡角α的度数。 答案： ，∴。 变式2（中等——知坡角求坡度） 已知一山坡的坡角，求该山坡的坡度i。 答案： ，写成。 变式3（提升——综合应用） 如图，一山坡的坡角为30°，小华从山脚沿山坡向上走了200m到达点B，求他上升的高度。 答案： ，∴（m）。 学生独立审题、解答，请3位同学上台板演，其余同学在练习本上完成。完成后同桌互评、集体订正。 通过“知坡度求坡角” “知坡角求坡度” “综合应用”三个层次的变式训练，帮助学生从不同角度理解坡度与坡角的关系，实现举一反三、灵活运用，为后续解决更复杂的实际问题做铺垫。 五、尝试 练习1（基础）： 一斜坡的坡角为30°，则坡度为______。 答案： 练习2（基础）： 一斜坡的坡度，则坡角为______。 答案： 45° 练习3：一山坡的坡度，小华从山脚A出发，沿山坡向上到达点B，已知A、B两点间的水平距离为120m，求他上升的高度。 解：坡度 ，即 。 设小华上升的高度（即铅直高度）为 m，水平距离 m。 根据坡度的定义（坡度等于铅直高度与水平距离的比）： 代入数据： 解方程得： 答： 小华从点 到点 高度上升了 30 m。 学生独立完成4道练习题，完成后同桌交换互查，纠正错误，教师选取典型错误进行集体讲评。 通过由浅入深的课堂练习，引导学生及时巩固坡度与坡角的核心知识，在独立思考和纠错中深化理解，达到“当堂学习、当堂巩固”的效果。 六、提升 适时小结，兴趣延伸 教师活动： 引导学生从以下三个方面进行课堂小结： （1）知识内容： 本节课我们学习了哪些概念？它们之间有什么关系？ （2）研究方法： 我们是如何从生活情境中抽象出数学概念的？运用了什么数学思想？ （3）运用过程： 解决坡度实际问题时，关键的步骤是什么？ 拓展延伸： 用坡度解决实际问题时，要注意两个转化：一是把实际问题转化为解直角三角形的数学问题；二是构造直角三角形把坡度转化为直角三角形的内角。 课后请思考：教材例2中，你还可以用其他方法求出BC吗？ 学生自主发言，梳理本节课知识脉络，提出自己尚存的疑问。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 课题：2.4.2 解直角三角形的应用——坡度、方向角 一、核心概念 1. 坡度(坡比)：竖直高度 水平宽度 ：坡角（坡面与水平面夹角） 注意：坡度是比值，不是角度 1. 方向角：以正北、正南为基准 例：北偏东，北偏东 二、解题模型 1.坡度问题：实际坡面，利用转化边角 2.方向角问题：作垂线双直角三角形 设公共高为，利用线段的和、差列方程 三、例题 例2 坡度 已知：，，求 答：上升高度约 例3 方向角（航海） ，航行， 作，设 船可以安全航行 四、思想&易错点 数学思想：数形结合、方程思想 ❶ 坡度是比值，不等于坡角 ❷ 方向角基准：正北/正南 ❸ 双直角三角形抓住公共边 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 1、如图，一艘船从A处出发，匀速向正北方向航行30海里至点B，从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上，从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船沿此航线继续航行，则礁石与船的最短距离是（　B　）海里． A.10 B.15 C.20 D.30 2、如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（  B  ） A. B. C. D. 3、如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若AB的长度为米，则斜坡CD的长度为（ B　　） A.6米 B.米 C.米 D.米 4、如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（  C ）米 A. B. C. D. 5、小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　B ) A. (600－250)米 B. (600－250)米 C. (350＋350)米 D. 500米 6、一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 　100　米． 7、如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了，则该小车上升的高度为   30     ． 8、为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动.如图，在坡度i=1∶的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2 米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为　　4　　米.  9、如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　  8   　m．（结果保留根号） 10、水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为： ． （2）在中，， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 11、为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 【答案】 解　如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E， 由题意得AF⊥BC，DE=AF， ∵斜面AB的坡度i=3∶4， ∴=， ∴设AF=3x米，则BF=4x米， 在Rt△ABF中，AB===5x(米)， 在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20米， ∴DE=CD·sin 18°≈20×0.31=6.2(米)， ∴AF=DE=6.2米， ∴3x=6.2， 解得x=， ∴AB=5x=5×=≈10.3(米)， ∴斜坡AB的长约为10.3米. 12、为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1∶. (1)求通道斜面AB的长为____3____米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．(结果保留根号) 【答案】解　(1)过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD＝135°，∴∠DCM＝45°. ∵在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6，∴DM＝CM＝CD＝3，∴AN＝DM＝3， ∵通道斜面AB的坡度i＝1∶，∴tan ∠ABN＝＝，∴BN＝AN＝6， ∴AB＝＝3.即通道斜面AB的长约为3米；故答案为3； (2)∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3， ∴EM＝DM＝3，∴EC＝EM－CM＝3－3， ∴BE＝BC－EC＝8－(3－3)＝8＋3－3.即此时BE的长约为(8＋3－3)米． 教学反思 本节课以“从山脚到山顶哪条路比较陡”这一生活情境导入，较好地激发了学生的学习兴趣。在探究环节，通过引导学生观察图2.4-5，从具体图形中抽象出坡度和坡角的概念，并自主推导出的关系式，体现了“学生为主体、教师为主导”的教学理念。变式训练和课堂练习的设计体现了层次性，从基础到提升逐步推进，大部分学生能够完成练习1至练习3，少数学生在练习4的列方程环节需要教师点拨，整体教学效果较好。 部分学生在解决坡度实际问题时，仍然存在“不能准确识别和构造直角三角形”的困难。在后续教学中，应进一步加强“从实际问题中抽象出直角三角形”的训练，可以增加一些图形识别和辅助线添加的专项练习。此外，课堂小结环节时间略显仓促，未能让更多学生充分表达自己的收获和疑问。今后应更加合理地分配各环节时间，确保小结环节有充足的时间让学生回顾和反思。对于教材例2中“你还可以用其他方法求出BC吗”的思考题，可作为下一节课的引入问题，引导学生用不同的思路（如利用勾股定理结合坡度）解决同一问题，进一步培养学生的发散思维。 学科网（北京）股份有限公司 $