2.4 解直角三角形的应用 同步训练 2026-2027学年 湘教版九年级上册数学

2.4 解直角三角形的应用 同步训练 一、选择题 1． 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（　　） A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 2．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（　　）.（参考数据：，） A．58J B．159J C．1025J D．1732J 3．松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡的坡度（），若坝高，则坡面的水平宽度长度约为（　　）（参考数据：，，） A． B． C． D． 4．如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 二、填空题 9．如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 　 　（m）． 10．某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是　 　． 11．如图，一航班沿北偏东方向从地飞往地，到达地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降地，已知地在地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为　 　． 12．某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是　 　米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43） 13．在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为　 　．（精确到．参考数据：） 三、解答题 14．教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，．黑板上投影图像的高度，CB与AB的夹角，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，） 15．某次军事演习中，一艘船以千米每小时的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行到B处时与小岛C的距离．（结果保留根号） 四、综合题 16．如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段的方向以每秒1单位长度的速度向终点A运动，以点P为旋转中心，将线段顺时针旋转90°，得到线段，连接，设与重合部分的面积为，点P运动时间为秒（）． （1）　 　； （2）当点落在上时，求的值； （3）点运动过程中，求与的关系式； （4）当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，直接写出此时的值． 17．小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． （1）求两楼之间的距离（结果保留根号）； （2）求大厦的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】平行线的性质；解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【解答】解：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向， 故答案为：D 【分析】根据平行线的性质结合方向角的定义即可求解。 2．【答案】B 【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为： 1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J. 故答案为：B. 【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可. 3．【答案】C 【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：∵大坝某段横截面迎水坡的坡度， ∴AC=60m， 由勾股定理得m， 故答案为：C 【分析】先根据解直角三角形得到AC的长，再根据勾股定理即可求解。 4．【答案】A 【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：设这个斜坡的坡角为α， 由题意得：tanα=1：.=， ∴α=30°； 故答案为：A. 【分析】设这个斜坡的坡角为α，根据坡度可得tanα=，利用特殊角三角函数值即可求解. 5．【答案】B 【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【解答】 解：如图： 由题意得： ∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF， ∴∠EAB+∠ABF = 180°， ∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°， ∵∠α是△ ACB 的一个外角， ∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°. 故答案为： B 【分析】根据题意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，再由平行线的性质得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可. 6．【答案】B 【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【解答】解：由题意得， ∴AC=， 故答案为：B 【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。 7．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：如图所示：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF， ∵GM⊥EF， ∴EF = 2FM=， ∴当GM的值最小时，EF的值最大， ∵A (6，0)，B (0，8)， ∴AB=10， ∴sin ∠OAB =， ∴OM=4.8， ∵CD=6， ∴OG=3， ∴GM =OM-OG=1.8， ∴FM=2.4， ∴EF =2FM= 4.8， ​​​​​​​故答案为：B. 【分析】先作图，再利用勾股定理求出EF = 2FM=，最后利用锐角三角函数计算求解即可。 8．【答案】A 【知识点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：如图， 过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=90°， 在△ABC中， ∠A＝88°，∠C＝42°， ∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-88°-42°=50°， 在Rt△ADB中，AB=60， ∵ ∴AD=60sin50°. 即点A到BC的距离为60sin50°. 故答案为：A. 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，进而在Rt△ADB中，根据∠B的正弦函数即可求出AD，从而得出答案. 9．【答案】 【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m， ∴BC=6， ∴迎水坡AB的长为（m）. 故答案为： . 【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。 10．【答案】 【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：如图所示： 由题意得四边形CANM、四边形CABD、四边形DBNM为矩形， ∴DC=BA=30，CA=NM=1， 由题意得∠DCE=30°，∠MDE=60°， ∴∠CED=30°=∠DCE， ∴DC=DE=30， ∴， 解得， ∴EN=m， 故答案为： 【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，进而根据题意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，从而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再运用解直角三角形的知识即可求出ME，进而即可得到EN。 11．【答案】75° 【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【解答】解：对图形进行点标注： 由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF， ∴∠AFB=∠EAC=60°. ∵∠α+∠CBF+∠CFB=180°， ∴∠α=180°-∠CBF-∠CFB=75°. 故答案为：75°. 【分析】对图形进行点标注，由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，根据平行线的性质可得∠AFB=∠EAC=60°，然后利用内角和定理进行计算. 12．【答案】19.95 【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠A=45°， ∴OA=OB. ∵AC=6， ∴OC=(OB-6)米. ∵Rt△COB中，∠BCO=55°， ∴tan∠BCO=， ∴≈1.43， 解得OB≈19.95. 故答案为：19.95. 【分析】分别在Rt△AOB、Rt△COB中，根据三角函数的概念可得OA=OB，则OC=(OB-6)米，然后根据∠BCO正切函数的概念进行求解. 13．【答案】55 【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm， 在Rt△ABC中，∠ACB=50°，AC=xm，由得： 在Rt△BEF中，EF=AD=AC+CD=（x+60）m，∠BEF=26.6°， 由得： 又由题意知AF=DE=2m，AB=AF+BF， ∴1.2x=2+0.5（x+60），解方程，得：，所以AB=1.2x≈55. 故第1空答案为：55. 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，分别解Rt△ABC和Rt△BEF，得出AB和BF（用含有x的表达式），又AF=DE=2，根据AB=AF+BF，列出方程，解方程，即可解决问题。 14．【答案】解：在Rt△ABC中，，，， ∴ ． ∴AC的长约为80cm． 【知识点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】直接利用∠B的正切函数可求出AC的长. 15．【答案】解：过点作，垂足为， 解：∵，，，，， ∴，，， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴， 在中，（）， ∴该船在航行过程中与小岛的距离为． 【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【分析】过点作，垂足为，利用特殊角的三角函数值，即可求出答案。 16．【答案】（1）10 （2）解：当点落在上时，如图： 由旋转性质可知：，， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴（秒） 答：当点落在上时，的值为； （3）解：当时，点在内部或边上，如图： 此时，与重合部分的面积为的面积， ∴， 当时，点在外，与交于点N，与交于点M，过点N做，垂足为H，如图： 此时，， ∴， 与重合部分的面积为四边形的面积， ∴， 由（2）可知：， ， ∴ 综上所述： （4）解： 【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用 【解析】【解答】（1）解：，在中，，， ∴，即：， 又∵在中，， ∴， 解得：，（负值已舍去）， 故答案为：． （4）当所在直线平分直线平分面积时，如图： 此时与交于点D，， ， 又∵，， ∴，解得：， ∴（秒） 当所在直线平分直线平分面积时，如图： 此时与交于点E，是中点； ∵， ∴， ， 又∵，， ∴，解得：， ∴（秒） 综上所述：当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，或 【分析】（1）利用之间三角形三角函数的定义及勾股定理即可求出答案。 （2）利用旋转性质，三角函数定义即可求出答案。 （3）根据Q在三角形内部或外部二分情况讨论，利用三角形面积公式即可求出答案。 （4）作辅助线，利用直角三角形中三角函数定义即可求出答案。 17．【答案】（1）解：如图，作于点E，则， 由题意知，，， 故， 即两楼之间的距离为米； （2）解：由题意知， 四边形是矩形， ，， 中，， ， ， 即大厦的高度为92米． 【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长. （2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE，CE的长；再在Rt△BED中，利用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE，代入计算求出CD的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $