第3讲 相似多边形 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第3讲 相似多边形 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例 · 掌握相似多边形的性质：对应边成比例、对应角相等 · 掌握周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 · 会判断两个多边形是否相似，能补全相似条件 · 运用相似多边形性质解决求角、求边、求面积及生活实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.相似多边形定义 两个边数相同的多边形，对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形相似 用符号“∽”表示，如四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数） 全等是相似比为1的特殊情况 概念辨析例题：下列说法中正确的是（C）A．矩形都相似　B．菱形都相似　C．正方形都相似　D．平行四边形都相似 解析：所有正方形的对应角都相等（均为90°）、对应边都成比例，故都相似；矩形、菱形、平行四边形不能保证对应边成比例或对应角相等，不都相似 ☆ 2.相似比与基本性质 相似多边形对应边成比例：==…=k（k为相似比） 对应角相等：∠A=∠A'，∠B=∠B'，… 周长比等于相似比：=k 面积比等于相似比的平方：=k2 概念辨析例题：两个相似多边形一组对应边分别为3cm、9cm，它们的相似比为（A）1：3 解析：相似比=对应边的比=3：9=1：3 ☆ 3.判断多边形相似 两个多边形相似必须同时满足：对应角相等且对应边成比例 矩形是否相似看长宽比是否相等；正方形都相似 菱形对应边成比例但角不一定相等，故不一定相似 平行四边形既不能保证角相等也不能保证边成比例，一般不相似 概念辨析例题：观察图中矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ 解析：计算两组对应边的比：≠，对应边不成比例，故两矩形不相似 ☆ 4.相似多边形与实际问题 放大（缩小）图形按比例k：边长×k、周长×k、面积×k2 开本纸（A1、A2、A3）逐次对折，各开本矩形相似，长宽比固定 黄金矩形：宽与长之比为，内部作正方形后余下部分仍是黄金矩形 装裱、边框问题：内外矩形相似可列比例方程求参数 概念辨析例题：已知正五边形ABCDE与正五边形A'B'C'D'E'的相似比为1：3，则它们的面积比为（C）1：9 解析：面积比等于相似比的平方：()2= 📋 知识总结表 【考点1】判断多边形相似（第1-8题） · 相似判定两条件缺一不可：对应角相等、对应边成比例 · 特殊图形：所有正方形相似、所有等边三角形相似 · 矩形比长宽、菱形查角度、平行四边形一般不相似 · 相似比=对应边的比，注意对应顺序 1．（2025春•招远市期末）下列说法中，正确的是（　　） A．矩形都相似 B．菱形都相似 C．正方形都相似 D．平行四边形都相似 【分析】利用相似多边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、所有的矩形的对应角相等但对应边不成比例，故不相似，不符合题意； B、所有的菱形的对应边成比例但对应角不相等，故不相似，不符合题意； C、所有的正方形的对应角相等，对应边成比例，相似，符合题意； D、所有的平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的多边形相似，难度不大． 2．（2024•渝北区自主招生）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸ABCD沿EF对开后，再把矩形纸EBCF沿GH对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A．0.618 B． C． D．2 【分析】根据矩形ABCD与矩形ADFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ADFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得解． 【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ADFE面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），黄金分割，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 3．（2025秋•开鲁县期末）已知正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′的相似比为1：3，则它们的面积比为（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．2：6 【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此即可解答． 【解答】解：∵正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′的相似比为1：3，即 ， ∴根据相似多边形的性质得，，即则它们的面积比为1：9， 故选：C． 【点评】本题考查相似多边形的性质，正多边形和圆，关键是相关性质的熟练掌握． 4．（2020秋•顺德区校级期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，9cm，那么它们的相似比为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用相似多边形的性质化简得出答案． 【解答】解：∵两个相似多边形一组对应边分别为3cm，9m， ∴它们的相似比为：3：9＝1：3， 故选：A． 【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确把握相似比等于对应边的比是解题关键． 5．（2026•惠济区校级开学）下面三句话中，表述正确的有（　　）句． ①方队总人数一定，每行人数与每列人数成反比例关系． ②折扣一定，原价和售价成正比例关系． ③将一个长方形按2：1放大后，面积变成原来的4倍． A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】利用相似三角形的性质，正比例关系的性质，反比例关系的性质一一判断即可． 【解答】解：①方队总人数一定，每行人数与每列人数成反比例关系．正确； ②折扣一定，原价和售价成正比例关系．正确； ③将一个长方形按2：1放大后，面积变成原来的4倍．正确． 故选：C． 【点评】本题考查相似多边形的性质，一次函数的应用，正比例的应用，反比例，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 6．（2025秋•神木市期末）已知四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5，若四边形ABCD的周长为4，则四边形A'B'C'D'的周长为　20　 ． 【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比计算． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5， ∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比1：5， ∵四边形ABCD的周长为4， ∴四边形A'B'C'D'的周长20， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 7．（2026秋•同步）如图，正方形和菱形的边长都是3，它们相似吗？为什么？ 【分析】根据如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形解答． 【解答】解：∵正方形和菱形的对应角不相等， ∴边长为3的正方形和菱形不相似． 【点评】本题考查了相似多边形，解题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 8．观察图中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ 【分析】根据相似多边形的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似， 理由：∵，， ∴， ∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点2】相似多边形性质求角、边长、面积（第9-17题） · 对应角相等：先求内角再用四边形内角和360°求未知角 · 对应边成比例：列出比例式代入已知边长求未知边 · 周长比=相似比，面积比=相似比的平方 · 已知相似比求缩放后图形面积：面积乘以k2 9．（2024秋•获嘉县期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【分析】根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【解答】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，乙和丙不相似，不符合题意； C、，乙和丙不相似，不符合题意； D、，乙和丙不相似，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等；对应边的比相等是解题的关键． 10．（2025秋•西安校级期中）一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 【分析】利用相似多边形对应边成比例的性质，通过最长边求比值，再求最短边． 【解答】解：原多边形边长最长边为7，最短边为3， 相似多边形最长边为28， 设比值为k， 则， ∴相似多边形最短边＝3×4＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形的性质，正确进行计算是解题关键． 11．（2024秋•惠州期末）在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【分析】分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【解答】解：在三个矩形中，矩形①，②，③的邻边之比分别为：3：4，1：2，1：2， ∴相似的是②③， 故选：B． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键． 12．（2025秋•铁西区期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．都不相似 【分析】根据对应边成比例、对应角相等的多边形相似判断． 【解答】解：∵， ∴矩形②和③对应边成比例、对应角相等， ∴矩形②和③相似， 故选：A． 【点评】本题考查的是相似多边形，熟记相似多边形的定义是解题的关键． 13．如图，四边形ABCD为平行四边形，直线EF∥CD交BC于点F，交AD于点E，已知AB＜AD，要使平行四边形AEFB与平行四边形ABCD相似，请你增加一个条件：　（答案不唯一）　 ． 【分析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例，求解即可． 【解答】解：∵EF∥CD，∴∠AEF＝∠D，∠EFB＝∠C，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B， 要使平行四边形AEFB与平行四边形ABCD相似， 要满足时，或时， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边相等． 14．（2025•肇源县开学）把一个长是5cm，宽是3cm的长方形按2：1的比例放大，放大后的长方形的面积是　60　 cm2． 【分析】根据题意，求出放大后的长方形的长和宽，再根据面积公式进行计算即可． 【解答】解：把一个长是5cm，宽是3cm的长方形按2：1的比例放大，放大后的长方形的长和宽分别为10cm和6cm， 故放大后的长方形的面积为10×6＝60cm2； 故答案为：60． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 15．（2026•湘桥区一模）一个矩形如果满足宽和长的比等于，那么这个矩形叫做“黄金矩形”．如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到的四边形CDEF也是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 　（1）π　 ．（结果用π表示） 【分析】根据“黄金矩形”先计算出AB1，再利用四边形ABFE为正方形得到EA＝AB＝EF＝BF1，∠AEF＝90°，接着根据正方形的性质得到GH＝GF＝FC＝CH＝2﹣（1）＝3，∠FGH＝90°，LH＝DH1﹣（3）＝24，∠HLK＝90°，然后根据弧长公式计算三段弧的长度的和即可． 【解答】解：∵黄金矩形ABCD的边AD＝2， ∴ABAD1， ∵四边形ABFE为正方形， ∴EA＝AB＝EF＝BF1，∠AEF＝90°， ∵四边形GFCH为正方形， ∴GH＝GF＝FC＝CH＝2﹣（1）＝3，∠FGH＝90°， ∵四边形DHLK为正方形， ∴LH＝DH1﹣（3）＝24，∠HLK＝90°， ∴“黄金螺线”AFHK的长（1）π． 故答案为：（1）π． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．也考查了矩形的性质、正方形的性质和黄金分割． 16．（2025秋•东丰县期末）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°，则∠D′＝　130　 度． 【分析】先根据四边形内角和定理求出∠D，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°， ∴∠D＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠A＝360°﹣50°﹣80°﹣100°＝130°． ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠D′＝∠D＝130°（相似多边形对应角相等）． 则∠D′的度数为130°， 故答案为：130． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，多边形的内角与外角，关键是相关性质的熟练掌握． 17．（2026春•道外区期末）动手操作 （1）按2：1画出平行四边形放大后的图象，按1：3画出长方形缩小后的图象． （2）直接写出放大后的平行四边形和缩小后的长方形的面积的比为：　4：1　 ． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）求出放大后的平行四边形的面积和缩小后的长方形的面积可得结论 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）放大后的平行四边形和缩小后的长方形的面积的比＝24：6＝4：1． 故答案为：4：1． 【点评】本题考查相似多边形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【考点3】相似多边形解决实际问题（第18-27题） · 折叠、开本、装裱问题：利用对应边成比例列方程求参数 · 黄金矩形：内部作正方形，余下矩形仍为黄金矩形（比值为） · 边框内外矩形相似：求对应边比是否相等 · 多步计算先设未知数，用相似比建立等量关系 18．（2023秋•垣曲县期中）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，若∠A＝110°，∠C＝68°，∠B1＝88°，则∠D的度数为（　　） A．74° B．84° C．94° D．104° 【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠B1＝88°， ∴∠B＝∠B1＝88°． ∵四边形ABCD的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，∠A＝110°，∠C＝68°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣110°﹣88°﹣68°＝94°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是利用相似多边形的对应角相等求得答案． 19．（2025秋•汨罗市期末）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AD＝3，CD＝7，A′D′＝1.5，∠C′＝57°，则C′D′和∠C的度数分别为（　　） A．3.5和57° B．7和57° C．3.5和75° D．7和75° 【分析】根据相似多边形的性质得出，∠C＝∠C′，进而解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴，∠C＝∠C′， ∵AD＝3，CD＝7，A′D′＝1.5，∠C′＝57°， ∴，∠C＝57°， ∴C′D′＝3.5， 故选：A． 【点评】此题考查相似多边形的性质，掌握以上性质是解题的关键． 20．（2024秋•廊坊期末）如图，一张矩形报纸的宽AB＝2，长BC＝m，直线l1⊥AD，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线l1折叠，则边AB落在直线l2上，将报纸沿直线l2折叠，则边CD落在直线l1上，若矩形ABEF∽矩形BCDA，则m的值为（　　） A． B．6 C． D．12 【分析】由折叠的性质得到AF＝FM＝DM，求出AFm，由相似多边形的性质推出AF：AB＝AB：BC，代入有关数据即可求出m的值． 【解答】解：由折叠的性质得到：AF＝FM，DM＝FM， ∴AF＝FM＝DM， ∵BC＝m， ∴AFm， ∵矩形ABEF∽矩形BCDA， ∴AF：AB＝AB：BC， ∴m：2＝2：m， ∴m＝2（舍去负值）． 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质得到AF＝FM＝DM，由相似多边形的性质推出AF：AB＝AB：BC． 21．如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么的值为 　　 ． 【分析】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则AG＝b，BG＝a+b，BE＝2b﹣a，CE＝2b，利用相似多边形的性质可得，即，求得，进而得，AD＝5a，然后根据相似图形的性质求出的值． 【解答】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则AG＝b，BG＝a+b，BE＝2b﹣a，CE＝2b， ∴AB＝2b+a，BC＝2b+2b﹣a＝4b﹣a， ∵矩形BEFG∽矩形ABCD， ∴，即， ∴， ∴BG＝b+a ， AD＝4b﹣a ＝6a﹣a ＝5a． ∵矩形BEFG∽矩形ABCD， ∴ ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，正方形的性质，中心对称图形，熟练掌握相似多边形的性质，正方形的性质，中心对称图形的概念是解题的关键． 22．（2023秋•郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 　12　 ． 【分析】根据相似多边形的性质即可解答． 【解答】解：由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A'B'＝（90+2a）cm，A'D'＝30+8＝38cm， ∵矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'， ∴， ∴， 解得a＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 23．（2025秋•子洲县期末）已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积比为1：3，若AB的长为2，则A1B1的长为　　 ． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积比为1：3， ∴， ∵AB的长为2， ∴， ∴． ∴故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 24．（2026秋•同步）一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在它外围的木质边框宽7.5cm．边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【分析】先计算出边框的外边缘所成的矩形的长为315cm，宽为165cm，再计算对应的长的比与宽的比不相等，从而可判断边框的内外边缘所成的矩形不相似． 【解答】解：边框的内外边缘所成的矩形不相似． 理由如下： ∵3m＝300cm，1.5m＝150cm， ∴边框的外边缘所成的矩形的长为300+2×7.5＝315（cm），宽为150+2×7.5＝165（cm）， ∵， ∴边框的内外边缘所成的矩形不相似． 【点评】本题考查了相似多边形，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．也考查了矩形的性质． 25．（2026春•榆阳区校级期末）如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 【分析】先求出通道的面积，再用通道的面积乘以单位造价即可得到答案． 【解答】解：∵某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米， ∴（2）2﹣4（1）（1） ＝50+204﹣4×（7﹣1） ＝54+2024 ＝30+20（平方米）， ∵通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖， ∴（元）． 答：需要花费元． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，二次根式的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 26．如图，在矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在边AD上的点F处，且四边形FDCE与矩形ABCD相似． （1）求证：四边形ABEF是正方形． （2）求证：AF2＝FD•AD． 【分析】（1）根据折叠的性质得到AB＝AF，BE＝EF，∠BAE＝∠FAE，根据矩形的性质得到∠B＝∠BAF＝90°，求得∠BAE＝45°，得到AB＝BE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似多边形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在边AD上的点F处， ∴AB＝AF，BE＝EF，∠BAE＝∠FAE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAF＝90°， ∴∠BAE＝45°， ∴∠BAE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝BE， ∴AB＝BE＝EF＝AF， ∴四边形ABEF是正方形． （2）∵四边形FDCE与矩形ABCD相似， ∴， ∵AB＝CD＝AF， ∴AF2＝FD•AD． 【点评】本题考查相似多边形的性质，正确记忆相似图形的性质是解题关键． 27．（2023秋•滨江区校级月考）如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，一分为二成为A3纸…，它们都是相似的矩形． （1）求的值． （2）若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长． 【分析】分别设A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，再由相似多边形的对应边成比例列出比例式，求出的值即可． 【解答】解：（1）∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，它们都是相似的矩形， ∴A1、A2纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵A1纸的周长为286厘米，； ∴A2纸的周长＝286143． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2023秋•东昌府区期中）如图，已知四边形AEFD∽四边形EBCF，若AD＝3，EF＝4，则BC的长为 　　 ． 【分析】由相似多边形对应边的比相等，得到AD：EF＝EF：BC，代入有关数据即可求出BC． 【解答】解：∵四边形AEFD∽四边形EBCF， ∴AD：EF＝EF：BC， ∵AD＝3，EF＝4， ∴3：4＝4：BC， ∴BC． 故答案为：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边成比例． 【练习 2】（2025•亭湖区校级二模）若两个相似多边形的对应边长分别为4cm和8cm，则它们的面积比为 　1：4　 ． 【分析】根据相似多边形的性质，即可解答． 【解答】解：若两个相似多边形的对应边长分别为4cm和8cm， ∴它们的相似比＝4：8＝1：2， ∴它们的面积比＝1：4， 故答案为：1：4． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•临渭区校级期末）若两个相似多边形的面积比为1：16，较小的多边形周长为2，则较大的多边形周长是　8　 ． 【分析】先根据相似多边形面积的比得出其相似比，根据周长比等于相似比即可得出结论． 【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为1：16， ∴周长比＝相似比＝1：4， ∵较小的多边形周长为2， ∴较大的多边形周长为2×4＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是根据相似多边形面积的比得出其相似比解答． 【练习 4】（2023秋•永州期末）若两个相似多边形的周长分别为6cm和9cm，若较小多边形的面积为8cm2，则较大多边形的面积为 　18　 cm2． 【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可． 【解答】解：∵两个相似多边形的周长分别为6cm和9cm， ∴两个相似多边形的周长比是2：3， ∴两个相似多边形的相似比是2：3， ∴两个相似多边形的面积比是4：9， ∵较小多边形的面积为8cm2， ∴较大多边形的面积为18cm2， 故答案为：18． 【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 【练习 5】（2024秋•绥德县期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH． （1）求∠H的度数； （2）若，CD＝15，求HG的长． 【分析】（1）根据四边形内角和是360°求出∠D，再根据相似多边形的对应角相等解答即可； （2）根据相似多边形对边的比相等列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∠A＝72°，∠B＝135°，∠C＝95°， 则∠D＝360°﹣72°﹣135°﹣95°＝58°， ∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴∠H＝∠D＝58°； （2）∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴，即， 解得：HG＝12． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等、对边的比相等是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 相似多边形必须同时满足对应角相等、对应边成比例 · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · 矩形是否相似看长宽比；正方形、等边三角形等正多边形都相似 · 求未知边先列比例式，求未知角先用内角和定理 · 实际问题先把图形抽象成相似模型，列方程求解 【作业 1】用放大镜看一个多边形，下列说法中，正确的是（　　） A．放大镜里看到的多边形的边长与角的大小都保持不变 B．放大镜里看到的多边形的边长与角的大小都会改变 C．放大镜里看到的多边形的边长保持不变，角的大小会改变 D．放大镜里看到的多边形的边长会改变，角的大小保持不变 【分析】根据相似多边形的性质，即可解答． 【解答】解：用放大镜看一个多边形，放大镜里看到的多边形的边长会改变，角的大小保持不变， 故选：D． 【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似多边形的定义是解题的关键． 【作业 2】（2024秋•石家庄校级期末）若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′＝3：5，已知B′C′＝15，则BC的长是（　　） A．25 B．9 C．20 D．15 【分析】由相似多边形的性质推出AB：A′B′＝BC：B′C′，代入有关数据，即可求出BC的值． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴AB：A′B′＝BC：B′C′， ∵AB：A′B′＝3：5，B′C′＝15， ∴BC＝9． 故选：B． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例． 【作业 3】（2025秋•龙泉驿区期中）如图，已知矩形ABCD∽矩形CFED，点D，C分别在线段AE，BF上，若AB＝3，BC＝5，则线段CF的长为　　 ． 【分析】先根据矩形的性质得出AB＝CD，DE＝CF，再由矩形ABCD∽矩形DEFC，AB＝3，BC＝5，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD，四边形DEFC均为矩形，AB＝3，BC＝5， ∴AB＝CD＝EF＝3，DE＝FC， ∵矩形ABCD∽矩形DEFC， ∴， 即， 解得DE， ∴CF＝DE． 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，熟知相似多边形对应边的比相等是解题的关键． 【作业 4】如图，有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． （1）填写长与宽的比相等的两个矩形：图　甲　 和图　乙　 ．（填“甲”“乙”或“丙”） （2）改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽的比相等，请给出一种更改方案，并说明理由． 【分析】（1）将三个图中求出长与长的比值、宽与宽的比值，比较即可得解； （2）设图丙中，长减少x时，与图甲的长与宽成比例，构造方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵图甲和图乙中，， 图乙和图丙中，， 图甲和图丙中，， ∴图甲和图乙的长与宽成比例； 故答案为：甲，乙； （2）方案：图丙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例， 理由如下：设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例， 则， 解得x＝7， ∴图丙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•甘井子区月考）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长BC＝13厘米，宽AB＝6厘米，想在AD边上找点E，作EF∥AB，交BC于点F，使矩形ABFE∽矩形DEFC（不全等），求AE的长度． 【分析】根据相似的性质，得到，即可求出AE的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝13厘米，AB＝6厘米， ∴AD＝BC＝13厘米，AB＝CD＝6厘米， ∵EF∥AB，交BC于点F， ∴DE＝AD﹣AE＝13﹣AE， ∵矩形ABFE∽矩形DEFC相似， ∴， ∴， 解得AE＝4或9， 经检验，AE＝4或9符合题意， ∴AE的长度为4厘米或9厘米． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 【作业 6】如图，这是两个相似四边形，求x的值和角α的度数． 【分析】由相似多边形的对应边成比例，对应角相等，即可求解． 【解答】解：∵两个四边形相似， ∴8：4＝x：6，∠β＝117°， ∴x＝12，∠α＝360°﹣（77°+83°＝117°）＝83°． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 【作业 7】（2024秋•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′． （1）求α的度数； （2）求边x的长度． 【分析】（1）利用相似多边形的性质求解； （2）利用相似多边形的性质求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠B＝∠B′＝75°，∠A＝∠A′＝62°， ∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°； （2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴， ∴， ∴x＝12． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边相等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 相似多边形 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例 · 掌握相似多边形的性质：对应边成比例、对应角相等 · 掌握周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 · 会判断两个多边形是否相似，能补全相似条件 · 运用相似多边形性质解决求角、求边、求面积及生活实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.相似多边形定义 两个边数相同的多边形，对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形相似 用符号“∽”表示，如四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数） 全等是相似比为1的特殊情况 概念辨析例题：下列说法中正确的是（C）A．矩形都相似　B．菱形都相似　C．正方形都相似　D．平行四边形都相似 解析：所有正方形的对应角都相等（均为90°）、对应边都成比例，故都相似；矩形、菱形、平行四边形不能保证对应边成比例或对应角相等，不都相似 ☆ 2.相似比与基本性质 相似多边形对应边成比例：==…=k（k为相似比） 对应角相等：∠A=∠A'，∠B=∠B'，… 周长比等于相似比：=k 面积比等于相似比的平方：=k2 概念辨析例题：两个相似多边形一组对应边分别为3cm、9cm，它们的相似比为（A）1：3 解析：相似比=对应边的比=3：9=1：3 ☆ 3.判断多边形相似 两个多边形相似必须同时满足：对应角相等且对应边成比例 矩形是否相似看长宽比是否相等；正方形都相似 菱形对应边成比例但角不一定相等，故不一定相似 平行四边形既不能保证角相等也不能保证边成比例，一般不相似 概念辨析例题：观察图中矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ 解析：计算两组对应边的比：≠，对应边不成比例，故两矩形不相似 ☆ 4.相似多边形与实际问题 放大（缩小）图形按比例k：边长×k、周长×k、面积×k2 开本纸（A1、A2、A3）逐次对折，各开本矩形相似，长宽比固定 黄金矩形：宽与长之比为，内部作正方形后余下部分仍是黄金矩形 装裱、边框问题：内外矩形相似可列比例方程求参数 概念辨析例题：已知正五边形ABCDE与正五边形A'B'C'D'E'的相似比为1：3，则它们的面积比为（C）1：9 解析：面积比等于相似比的平方：()2= 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相似多边形 对应角相等，对应边成比例 边数相同是前提 相似比 k= 注意对应顺序 对应角 ∠A=∠A'，∠B=∠B'… 对应顶点对准 周长比 周长比=相似比k 各边同比例变化 面积比 面积比=k2 平方关系勿忘 黄金矩形 宽:长= 作正方形后仍为黄金矩形 ⚠️ 核心考点 【考点1】判断多边形相似（第1-8题） · 相似判定两条件缺一不可：对应角相等、对应边成比例 · 特殊图形：所有正方形相似、所有等边三角形相似 · 矩形比长宽、菱形查角度、平行四边形一般不相似 · 相似比=对应边的比，注意对应顺序 1．（2025春•招远市期末）下列说法中，正确的是（　　） A．矩形都相似 B．菱形都相似 C．正方形都相似 D．平行四边形都相似 2．（2024•渝北区自主招生）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸ABCD沿EF对开后，再把矩形纸EBCF沿GH对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A．0.618 B． C． D．2 3．（2025秋•开鲁县期末）已知正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′的相似比为1：3，则它们的面积比为（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．2：6 4．（2020秋•顺德区校级期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，9cm，那么它们的相似比为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•惠济区校级开学）下面三句话中，表述正确的有（　　）句． ①方队总人数一定，每行人数与每列人数成反比例关系． ②折扣一定，原价和售价成正比例关系． ③将一个长方形按2：1放大后，面积变成原来的4倍． A．1 B．2 C．3 D．0 6．（2025秋•神木市期末）已知四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5，若四边形ABCD的周长为4，则四边形A'B'C'D'的周长为_______ ． 7．（2026秋•同步）如图，正方形和菱形的边长都是3，它们相似吗？为什么？ 8．观察图中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ 【考点2】相似多边形性质求角、边长、面积（第9-17题） · 对应角相等：先求内角再用四边形内角和360°求未知角 · 对应边成比例：列出比例式代入已知边长求未知边 · 周长比=相似比，面积比=相似比的平方 · 已知相似比求缩放后图形面积：面积乘以k2 9．（2024秋•获嘉县期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 10．（2025秋•西安校级期中）一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 11．（2024秋•惠州期末）在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 12．（2025秋•铁西区期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．都不相似 13．如图，四边形ABCD为平行四边形，直线EF∥CD交BC于点F，交AD于点E，已知AB＜AD，要使平行四边形AEFB与平行四边形ABCD相似，请你增加一个条件：____________________ ． 14．（2025•肇源县开学）把一个长是5cm，宽是3cm的长方形按2：1的比例放大，放大后的长方形的面积是_______ cm2． 15．（2026•湘桥区一模）一个矩形如果满足宽和长的比等于，那么这个矩形叫做“黄金矩形”．如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到的四边形CDEF也是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 ____________________ ．（结果用π表示） 16．（2025秋•东丰县期末）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°，则∠D′＝________ 度． 17．（2026春•道外区期末）动手操作 （1）按2：1画出平行四边形放大后的图象，按1：3画出长方形缩小后的图象． （2）直接写出放大后的平行四边形和缩小后的长方形的面积的比为：________ ． 【考点3】相似多边形解决实际问题（第18-27题） · 折叠、开本、装裱问题：利用对应边成比例列方程求参数 · 黄金矩形：内部作正方形，余下矩形仍为黄金矩形（比值为） · 边框内外矩形相似：求对应边比是否相等 · 多步计算先设未知数，用相似比建立等量关系 18．（2023秋•垣曲县期中）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，若∠A＝110°，∠C＝68°，∠B1＝88°，则∠D的度数为（　　） A．74° B．84° C．94° D．104° 19．（2025秋•汨罗市期末）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AD＝3，CD＝7，A′D′＝1.5，∠C′＝57°，则C′D′和∠C的度数分别为（　　） A．3.5和57° B．7和57° C．3.5和75° D．7和75° 20．（2024秋•廊坊期末）如图，一张矩形报纸的宽AB＝2，长BC＝m，直线l1⊥AD，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线l1折叠，则边AB落在直线l2上，将报纸沿直线l2折叠，则边CD落在直线l1上，若矩形ABEF∽矩形BCDA，则m的值为（　　） A． B．6 C． D．12 21．如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么的值为 __________________ ． 22．（2023秋•郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 _______ ． 23．（2025秋•子洲县期末）已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积比为1：3，若AB的长为2，则A1B1的长为________________ ． 24．（2026秋•同步）一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在它外围的木质边框宽7.5cm．边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 25．（2026春•榆阳区校级期末）如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 26．如图，在矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在边AD上的点F处，且四边形FDCE与矩形ABCD相似． （1）求证：四边形ABEF是正方形． （2）求证：AF2＝FD•AD． 27．（2023秋•滨江区校级月考）如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，一分为二成为A3纸…，它们都是相似的矩形． （1）求的值． （2）若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2023秋•东昌府区期中）如图，已知四边形AEFD∽四边形EBCF，若AD＝3，EF＝4，则BC的长为 ___________________ ． 【练习 2】（2025•亭湖区校级二模）若两个相似多边形的对应边长分别为4cm和8cm，则它们的面积比为 ________ ． 【练习 3】（2025秋•临渭区校级期末）若两个相似多边形的面积比为1：16，较小的多边形周长为2，则较大的多边形周长是_____ ． 【练习 4】（2023秋•永州期末）若两个相似多边形的周长分别为6cm和9cm，若较小多边形的面积为8cm2，则较大多边形的面积为 _______ cm2． 【练习 5】（2024秋•绥德县期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH． （1）求∠H的度数； （2）若，CD＝15，求HG的长． 💯 课后巩固 【作业 1】用放大镜看一个多边形，下列说法中，正确的是（　　） A．放大镜里看到的多边形的边长与角的大小都保持不变 B．放大镜里看到的多边形的边长与角的大小都会改变 C．放大镜里看到的多边形的边长保持不变，角的大小会改变 D．放大镜里看到的多边形的边长会改变，角的大小保持不变 【作业 2】（2024秋•石家庄校级期末）若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′＝3：5，已知B′C′＝15，则BC的长是（　　） A．25 B．9 C．20 D．15 【作业 3】（2025秋•龙泉驿区期中）如图，已知矩形ABCD∽矩形CFED，点D，C分别在线段AE，BF上，若AB＝3，BC＝5，则线段CF的长为__________________ ． 【作业 4】如图，有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． （1）填写长与宽的比相等的两个矩形：图_____ 和图_____ ．（填“甲”“乙”或“丙”） （2）改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽的比相等，请给出一种更改方案，并说明理由． 【作业 5】（2025秋•甘井子区月考）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长BC＝13厘米，宽AB＝6厘米，想在AD边上找点E，作EF∥AB，交BC于点F，使矩形ABFE∽矩形DEFC（不全等），求AE的长度． 【作业 6】如图，这是两个相似四边形，求x的值和角α的度数． 【作业 7】（2024秋•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′． （1）求α的度数； （2）求边x的长度． 复习建议 · 相似多边形必须同时满足对应角相等、对应边成比例 · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · 矩形是否相似看长宽比；正方形、等边三角形等正多边形都相似 · 求未知边先列比例式，求未知角先用内角和定理 · 实际问题先把图形抽象成相似模型，列方程求解 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $