第12讲 一元二次方程应用 (8类必考题型)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第12讲 一元二次方程应用 优等生讲义 (8类必考题型) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程 · 掌握数字、传播、循环、增长率、销售、面积、动态几何等8类典型题型 · 会检验方程的解是否符合实际意义（舍根） · 培养数学建模思想，将生活问题抽象为方程问题 · 提升列方程解应用题的分析与表达能力 📚 知识梳理 ☆ 1.列一元二次方程解应用题步骤 审：审题，明确已知量、未知量和等量关系 设：设未知数（直接设或间接设），写清单位 列：根据等量关系列出一元二次方程 解：解方程，求根并检验是否符合实际意义 答：写出完整答案，含单位 概念辨析例题：数字问题：两个连续偶数的积为168，求这两个数 解析：设较小偶数为x，较大偶数为x+2，列方程x(x+2)=168，解得x=12或-14，结合实际取正 ☆ 2.增长率与传播问题 增长率：a(1+x)n=b，a为原量、b为增长后量、n为期数 连续两次增长：a(1+x)2=b；连续两次下降：a(1-x)2=b 传播问题：每轮1人传染m人，n轮后共(1+m)n人 单循环比赛：=总场数；双循环比赛：n(n-1)=总场数 概念辨析例题：一只鸡患传染病，两轮后共81只鸡患病，求每轮每只鸡传染几只鸡 解析：设每轮传染x只，(1+x)2=81，解得x=8（负值舍） ☆ 3.销售利润与面积问题 利润=每件利润×销售量，单件利润=售价-进价 涨价/降价问题：每涨m元少卖n件，列总利润方程 图形面积：矩形/边框/道路问题用(长-2x)(宽-2x)=目标面积 边框/镶边问题：注意内外图形对应边长都要加/减两边宽 概念辨析例题：每千克盈利5元时卖1000kg，每涨0.5元少卖40kg，要日利润6000元，应涨多少元？ 解析：设涨0.5x元，(5+0.5x)(1000-40x)=6000，解出x后注意取值 ☆ 4.动态几何与围栏问题 动点问题：用时间t表示线段长度，再列面积/勾股方程 围栏/靠墙问题：注意一面靠墙，三边总长=周长-靠墙边 通道/进出口问题：通道宽要在对应边长中减去 解出后必须检验速度、时间、线段长是否符合运动范围 概念辨析例题：Rt△ABC中∠B=90°，AB=6cm、BC=8cm，P从A以1cm/s向B，Q从B以2cm/s向C，几秒后△PBQ面积为8cm2？ 解析：t秒后PB=6-t，BQ=2t，(6-t)·2t=8，解t并检验 📋 知识总结表 【考点1】数字问题（第1-5题） · 两位数=十位数字×10+个位数字 · 连续整数差1、连续偶数/奇数差2 · 数位对调问题：原数与新数作差/和列方程 · 解出后检验数字是否在0-9范围内 1．（2024秋•惠阳区校级期中）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．12 B．13 C．12或13 D．15 【分析】先求出方程的根，再由三角形的三边关系确定出该三角形的边长，进而可得出结论． 【解答】解：∵方程x2﹣7x+12＝0可化成（x﹣4）（x﹣3）＝0， ∴x＝4或x＝3， ∵3+3＝6，不能构成三角形，舍去． ∴第三边的长为4． 故三角形的周长为：3+4+6＝13． 故选：B． 【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程及三角形的三边关系，先根据题意求出x的值是解题的关键． 2．（2023秋•细河区期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4） 这两个数的平方和为：x2+（x+4）2， ∵两数相差4， ∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 3．（2024春•开化县期中）从﹣1，5，10三个数中任意选取两个数作为方程x2+bx+c＝0的根，可得到三个方程：x2+b1x+c1＝0，x2+b2x+c2＝0，x2+b3x+c3＝0．分别计算b1+c1，b2+c2，b3+c3的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 【分析】分别计算﹣1、5，5、10，﹣1、10是方程x2+bx+c＝0的根时b1+c1，b2+c2，b3+c3的值，进行比较． 【解答】解：①当﹣1、5是方程x2+bx+c＝0的根时， ， 解得：b1＝﹣4，c1＝﹣5， b1+c1＝﹣9， ②当5、10是方程x2+bx+c＝0的根时， ， 解得：b2＝﹣15，c2＝50， b2+c2＝35， ③当﹣1、10是方程x2+bx+c＝0的根时， ， 解得：b3＝﹣9，c3＝﹣10， b3+c3＝﹣19， ∵﹣19＜﹣9＜35， ∴b2+c2的值最大为35， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，分别计算三个方程b1+c1，b2+c2，b3+c3的值是本题的关键． 4．（2023秋•陇县期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可． 【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x， 依题意得：x2＝10（x﹣3）+x， ∴x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， ∴x﹣3＝2或3． 答：这个两位数是25或36． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 5．（2024•苏州模拟）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7， 依题意，得（x+7+x）2＝10（x+7）+x， 整理得：4x2+17x﹣21＝0， 解得：x1＝1，（舍去）， 所以，x＝1，x+7＝8． 答：这个两位数是81． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 【考点2】传播问题（第6-9题） · 每轮传染后总人数=(1+每轮传染数)轮数 · 注意「经过n轮」与「第n轮新增」的区别 · 列出方程后先开方再求x，负值舍去 · 类似模型：裂变、细胞分裂、信息传播 6．（2025秋•沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有　125　 个人患流感． 【分析】根据两轮传染后的总人数列出方程，求解即可． 【解答】解：（1+x）2＝25， 解得x＝4或﹣6（舍去）， 25+25×4＝125人． 故答案为：125． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题的公式并应用，是解决本题的关键． 7．（2024秋•大兴区期中）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 x2+x+1＝43　 ． 【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程． 【解答】解：根据题意列方程得：x2+x+1＝43． 故答案为：x2+x+1＝43． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 8．（2024秋•新会区校级月考）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【分析】（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数×（1+8），即可求出结论． 【解答】解：（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：81×（1+8） ＝81×9 ＝729（人）， ∵729＞700， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（2023•临潼区三模）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？ 【分析】设在两轮传染过程中，平均一人会传染给x个人，则第一轮传染中有3x人被传染，第二轮传染中有（3+3x）x人被传染，根据“经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【解答】解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给x个人，则第一轮传染中有3x人被传染，第二轮传染中有（3+3x）x人被传染， 根据题意得：3+3x+（3+3x）x＝27， 整理得：（1+x）2＝9， 解得：x1＝2，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给2个人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点3】单循环问题（第10-13题） · 单循环总场次= · 握手、比赛、通话等两两相遇问题 · n为参赛人数/队数，解出后取正整数 · 区分单循环（只赛一次）与双循环（主客场） 10．（2024春•南岗区校级期中）剑桥三中组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 　9　 ． 【分析】设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【解答】解：设这次参加比赛的球队个数为x个， 根据题意得： 36， 解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝9， 即这次参加比赛的球队个数为9个， 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 11．（2024秋•南岸区校级月考）重庆市近期开展了一次绿色有机农产品交易会，参会的每两家企业都签订了一份合同，会后经统计，共签订了1275份合同，则共有 　51　 个商家参加了交易会． 【分析】设共有x个商家参加了交易会，利用签订合同的总数量＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设共有x个商家参加了交易会， 根据题意得：x（x﹣1）＝1275， 整理得：x2﹣x﹣2550＝0， 解得：x1＝51，x2＝﹣50（不符合题意，舍去）， ∴共有51个商家参加了交易会． 故答案为：51． 【点评】本题考查了一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2024秋•道县期中）2024年“奔跑吧•少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛66场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【分析】设初中组共有x支球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设初中组共有x支球队参加比赛，根据题意，得 x（x﹣1）＝66， 整理，得x2﹣x﹣132＝0， 解方程，得x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）． 答：初中组共有12支球队参加比赛． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2023秋•乾安县期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 【分析】设：应该邀请x个球队参加，由题意得：x（x﹣1）＝21，即可求解． 【解答】解：设：应该邀请x个球队参加， 由题意得：x（x﹣1）＝21， 解得：x＝7或x＝﹣6（舍去）， 答：应邀请7个球队参赛． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，此类题目找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【考点4】双循环问题（第14-17题） · 双循环总场次=n(n-1) · 主客场赛制、互寄贺卡、互送礼物 · 列方程n(n-1)=总次数，解一元二次方程 · 解出后检验n为不小于2的正整数 14．（2024秋•津南区期中）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？可列方程为 x（x﹣1）＝90　 ． 【分析】设共有x个队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设共有x个队参加比赛， 依题意得：x（x﹣1）＝90． 故答案为：x（x﹣1）＝90． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．某年全国足球甲A联赛采用主客场循环赛，已知该年全国足球甲A联赛一共踢了132场比赛，则该年全国共有 　12　 支甲A足球队参加了比赛． 【分析】设该年全国共有x支甲A足球队参加了比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍支数×（参赛队伍支数﹣1），可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【解答】解：设该年全国共有x支甲A足球队参加了比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝132， 整理得：x2﹣x﹣132＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）， ∴该年全国共有12支甲A足球队参加了比赛． 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．某市要组织一次排球邀请赛，赛制为双循环模式（即每两个球队之间比赛两次），赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，比赛组织者应邀请多少个球队参赛？ 【分析】设比赛组织者应邀请x个球队参赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个球队参赛， 依题意得：x（x﹣1）＝10×3， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：比赛组织者应邀请6个球队参赛． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．在一次会议上，参加会议的人之间互送名片，一共送出了210张名片，求参加这次会议的人数． 【分析】设参加这次会议的人数有x人，每人送出礼物（x﹣1）件，共送出x（x﹣1）件，根据题意列出方程，求解即可得到结果． 【解答】解：设参加这次会议的人数有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝210， 解得：x1＝15，x2＝﹣14（不合题意，舍去）， 答：参加这次会议的人数有15人． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解决问题的关键． 【考点5】增长率问题（第18-22题） · a(1+x)n=b，n为增长次数（不是年数-1） · 下降率用a(1-x)n=b · 三年总产量=a+a(1+x)+a(1+x)2 · 解出x后检验是否为合理百分数 18．（2025秋•沁水县期末）天气越来越冷，家用暖风机的市场需求量逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（　　） A．256% B．260% C．160% D．60% 【分析】设10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为x，利用12月该款暖风机的销售额＝10月该款暖风机的销售额×（1+10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为x， 根据题意得：30000（1+x）2＝76800， 解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不符合题意，舍去）， ∴10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为60%． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（2025秋•武汉校级月考）某超市7月销售某商品500件，8月和9月共销售该商品1320件，如果每月的增长率x相同，那么可列方程为（　　） A．500（1+x）2＝1320 B．500（1+x）+500（1+x）2＝1320 C．500+500（1+x）2＝1320 D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1320 【分析】根据该超市7月份销售该商品的销售量及月销售量的增长率，可得出该超市8月销售该商品500（1+x）件，9月销售该商品500（1+x）2件，结合该超市8月和9月共销售该商品1320件，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵该超市7月销售该商品500件，且每月销量的增长率为x， ∴该超市8月销售该商品500（1+x）件，9月销售该商品500（1+x）2件． 根据题意得：500（1+x）+500（1+x）2＝1320． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2024秋•鼓楼区期中）某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次．设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为 　300（1+x）2＝363　 ． 【分析】利用该景区九月份游客接待量＝该景区六月份游客接待量×（1+游客接待量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：300（1+x）2＝363． 故答案为：300（1+x）2＝363． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（2026秋•同步）随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达21.6万辆．若该市这两年汽车保有量增长率相同．求这个增长率． 【分析】设该市这两年汽车保有量的增长率为x，利用2012年底该市汽车保有量＝2010年底该市汽车保有量×（1+该市这两年汽车保有量的增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该市这两年汽车保有量的增长率为x， 根据题意得：15（1+x）2＝21.6， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该市这两年汽车保有量的增长率为20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（2025秋•龙港区期中）“动动手指，商品到家”，网购不仅仅是一种现代消费方式，更是成为一种当下的指尖潮流．某网络购物平台的交易额逐年增长，2022年交易额为1.1亿元，2024年交易额为1.584亿元． （1）2022年至2024年交易额的年平均增长率是多少？ （2）若保持原来的增长率不变，求2025年该平台的交易额约为多少亿元？（结果保留小数点后两位） 【分析】（1）设2022年至2024年交易额的年平均增长率是x，然后根据经过连续两年增长后从1.1亿元增长到1.584亿元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求，求出2025年该平台的交易额即可得到答案． 【解答】解：（1）设 2022 年至 2024 年交易额的年平均增长率为x， 由题意，2022 年为1.1亿元，每年在上一年基础上乘（1+x）， 所以2023 年为1.1（1+x）亿元，2024 年为1.1（1+x）2亿元， 而 2024 年交易额为1.584亿元， 故1.1（1+x）2＝1.584， 解得：1+x＝1.2或1+x＝﹣1.2， 解得x＝0.2或x＝﹣2.2， 因为交易额逐年增长，增长率不能为负数，所以x＝﹣2.2不符合题意，舍去， ∴x＝0.2＝20%， 答：2022 年至 2024 年交易额的年平均增长率为20%． （2）保持年增长率20%不变，2025 年的交易额＝2024 年交易额×（1+20%）， 所以1.584×（1+0.2）＝1.584×1.2＝1.9008， 结果保留小数点后两位：1.9008≈1.90， 答：2025 年该平台的交易额约为1.90亿元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程在“增长率“实际问题中的应用（a（1+x）2＝b模型），正确设出年平均增长率并列出方程是解题的关键．本题的教学价值在于数学建模与方程思想的落实——把逐年增长转化为连续两次乘（1+x）． 【考点6】商品销售问题（第23-28题） · 总利润=每件利润×销售量 · 涨价：售价越高、销量越低；降价反之 · 注意题目对利润/价格的限制条件（如每件盈利不少于25元） · 两个解都要结合实际取舍 23．（2026春•鲤城区校级月考）某种新产品进价120元．试销阶段发现产品日销售量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系满足如下表所示的一次函数关系： 每件售价（元） 130 150 165 … 日销售量y（件） 70 50 35 … （1）求日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）不改变上述关系的情况下，请帮助经理策划每件的销售价应定为多少元时，每日销售的利润可达到1500元？ 【分析】（1）从表格中选取两组变量的值，利用待定系数法，即可求出日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）利用每日销售的利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（130，70），（150，50）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式y＝﹣x+200； （2）根据题意得：（x﹣120）（﹣x+200）＝1500， 整理得：x2﹣320x+25500＝0， 解得：x1＝170，x2＝150， ∴每件的销售价应定为170元或150元时，每日销售的利润可达到1500元． 【点评】本题考查了一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24．（2025秋•南充期末）某科技公司研发出了一款电子产品，成本为30元/件．试营销阶段发现：当售价为35元/件时，每天的销量为250件；当每件售价每上涨1元时，每天的销量就减少10件．设每件售价为x元（x为正整数）． （1）当每天的利润为2000元时，为了拓展市场，每件产品的售价应定为多少元？ （2）若要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元．当每件售价定为多少时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【分析】（1）根据题意求出每天的利润为（x﹣30）（600﹣10x）元，根据利润为2000元列方程求解，根据“拓展市场”取合适的值作答即可； （2）根据题意求出x的取值范围，设每天的销售利润为y，由（1）知y＝（x﹣30）（600﹣10x），进而根据二次函数的性质作答即可． 【解答】解：（1）设每件售价为x元（x为正整数），则售价上涨（x﹣35）元，每天的销量减少10（x﹣35）件，每件利润为（x﹣30）元， ∴每天的销量为：250﹣10（x﹣35）＝（600﹣10x）件， ∴每天的利润为（x﹣30）（600﹣10x）元， 依题意得：（x﹣30）（600﹣10x）＝2000， 解得：x1＝40，x2＝50（不合题意，舍去）， 答：每件产品的售价应定为40元； （2）∵要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元， ∴600﹣10x≥100且x﹣30≥18， 解得：x≤50且x≥48， 即48≤x≤50， 设每天的销售利润为y元， 由（1）知y＝（x﹣30）（600﹣10x）＝﹣10（x﹣45）2+2250， 可知对称轴为直线x＝45， ∵a＝﹣10＜0， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵48≤x≤50， ∴当x＝48时，每天的销售利润最大，最大利润：y＝﹣10×（48﹣45）2+2250＝﹣90+2250＝2160（元）， 答：当每件售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润为2160元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数或一元二次方程解析式． 25．（2025秋•左权县期末）山西运城被誉为“北方水果之乡”，近年来通过品种改良与科学种植，苹果产业快速发展．2023年某果园种植“万荣”苹果平均亩产量约为2000kg，为了提高“万荣”苹果产量，该果园大力推广“大苗建园，宽行密植”种植模式及智能化管理技术，到2025年平均亩产量达到3380kg． （1）若该果园2023年到2025年种植“万荣”苹果平均亩产量的年增长率相同，求该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率； （2）2025年该果园苹果大丰收，老板在销售苹果时发现若以每箱75元出售时，每天可卖400箱．若每箱涨价0.5元时，日销售量就减少5箱．已知每箱苹果的成本为45元．求每箱苹果涨价多少元时，日销售总利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设年平均增长率是x，利用2025年平均亩产量＝2023年的平均亩产量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每箱苹果涨价y元，利润为w，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设年平均增长率是x， 由题意得：2000（1+x）2＝3380， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）， 故该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率是30%； （2）设每箱苹果涨价y元，利润为w元， 依题意得：10（y﹣5）2+12250， ∵﹣10＜0， ∴当y＝5时，w有最大值，最大值为12250， 答：每箱苹果涨价5元，日销售总利润最大，最大利润为12250元． 【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． 26．（2025秋•麦积区期末）2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（x＞40）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 【分析】（1）利用该商品的日销售量＝80﹣2×每个售价提高的钱数，即可找出y关于x的函数关系式； （2）利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让利于顾客，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：该商品销售量y与x之间的函数关系为y＝80﹣2（x﹣40）， 即y＝160﹣2x（x＞40）； （2）根据题意得：（x﹣30）（160﹣2x）＝1050， 整理得：x2﹣110x+2925＝0， 解得：x1＝45，x2＝65， 又∵要尽可能让利于顾客， ∴x＝45． 答：每个毛绒玩具售价应定为45元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 27．（2025•贵州模拟）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． （1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ （2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【分析】（1）设原计划购买小叶榕x棵，香樟y棵，利用总价＝单价×数量，结合计划用38800元购买小叶榕和香樟共50棵，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价＝单价×数量，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将其符合题意的值代入（35+215）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设原计划购买小叶榕x棵，香樟y棵， 根据题意得：， 解得：． 答：原计划购买小叶榕35棵，香樟15棵； （2）根据题意得：（680﹣10m）（35+2）+（1000﹣10m）（15）＝38800+3600， 整理得：m2﹣62m+120＝0， 解得：m1＝2，m2＝60（不符合题意，舍去）， ∴35+21535+21556． 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 28．（2025秋•高安市月考）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ （3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 【分析】（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为（x+5）元，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价为x元，实际售价（15﹣x）元，每天可售出[50+10×x]＝（10x+50）件，根据题意，得（15﹣x）（10x+50）＝960，解得即可； （3）设降价为x元，实际售价（15﹣x）元，每天可售出[50+10×x]＝（10x+50）件，销售额为y元，根据题意，得y＝﹣10x2+100x+750＝﹣10（x﹣5）2+1000，解答即可． 【解答】解：（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为（x+5）元， 依题意得：， 解得：x＝10（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 此时x+5＝15， 答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元． （2）设降价为x元，实际售价（15﹣x）元， 依题意得：（15﹣x）（10x+50）＝960， 整理得：x2﹣10x+21＝0， 解得：x1＝3（尽可能让顾客得到实惠，不合题意，舍去），x2＝7， 故B系列产品的实际售价应定为每件（15﹣x）＝8元； （3）设降价为x元，实际售价（15﹣x）元，每天可售出[50+10×x]＝（10x+50）件，销售额为y元，根据题意，得y＝（15﹣x）（10x+50）， 故y＝﹣10x2+100x+750＝﹣10（x﹣5）2+1000， ∵﹣10＜0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且x＝5时，y取得最大值，且最大值为1000元． 故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，分式方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【考点7】图形面积问题（第29-33题） · 边框/镶边：内外矩形边长差=2×宽 · 道路问题：平移道路后用(长-路宽)(宽-路宽)=绿化面积 · 无盖盒子：剪去x后底面长/宽都减2x · 列方程后取舍使边长为正 29．（2025秋•榕城区期末）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【分析】（1）当x＝2时，可分别求出△AEF和△DFG的面积，再得到五边形EFBCG的面积，再根据种植成本可得出花卉所需的费用； （2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．先求出△AEF和△DFG的面积，再得到五边形EFBCG的面积， （3）根据正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）若x＝2，则DE＝2， ∴S△AEFAE×AF＝2，S△DEGDG×DE1×2＝1， ∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝164﹣21＝13． ∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）； （2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米． ∴S△AEFAE×AFx2，S△DEGDG×DE1×（4﹣x）＝2x， ∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16x2﹣2xx2x+14， （3）根据题意得4×[20x2+20×（2x）+10×（x2x+14）]＝715， 整理得4x2﹣4x+1＝0， 解得x1＝x2． 答：当AE＝AF米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 30．如图，有一块长为80m，宽为72m的矩形耕地，为方便灌溉，现需在耕地上挖两条宽度相等的水渠，要求挖完水渠后剩余耕地的总面积为5460m2，求水渠的宽度． 【分析】把两条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程求解即可． 【解答】解：设水渠的宽度为xm， （80﹣x）（72﹣x）＝5460， 整理，得x2﹣152x+300＝0， 解得x1＝150（不含题意，舍去），x2＝2， ∴x＝2， 答：水渠的宽度为2m． 【点评】此题主要考查一元二次方程的应用，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 31．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求x； （2）当围成的苗圃园面积最大时，求平行于墙的边长； （3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出方程，解之可得； （2）利用矩形的面积公式列出面积关于x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得； （3）根据这个苗圃园的面积不小于100平方米得出x的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意，得x（30﹣2x）＝72， 解x1＝3，x2＝12， 当x＝3时，30﹣2x＝24＞18，不符合题意舍去， 所以x＝12； （2）设苗圃园的面积为S， 则S＝x（30﹣2x）＝﹣2（x）2， ∴当x时，面积最大，此时30﹣2x＝15， 答：平行于墙的边长为15米； （3）令x（30﹣2x）＝100，得x2﹣15x+50＝0． 解得x1＝5，x2＝10． ∵30﹣2x≤18， ∴x≥6 ∴x的取值范围是6≤x≤10． 【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 32．（2024秋•红花岗区期末）如图，小明用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．请你帮助小明解决下列问题： （1）求S与x之间的函数关系式； （2）x的取值范围是　6≤x≤10　 ； （3）该矩形菜园的面积为100m2时，AB的长． 【分析】（1）设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为xm，由矩形面积公式建立函数关系式即可； （2）由AD≥AB，矩形长不能超过墙的长度，再建立不等式组解题即可； （3）把S＝100代入（1）中解析式，再解方程并检验即可． 【解答】解：（1）设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为xm， 则BC＝30﹣2x， ∴S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x； （2）由， 解①得：x≤10， 解②得：x≥6， ∴x的取值范围为：6≤x≤10， 故答案为：6≤x≤10； （3）由题意得：﹣2x2+30x＝100， 解得：x1＝5，x2＝10， ∵6≤x≤10， ∴x＝5不符合题意，x＝10符合题意， ∴AB的长为10m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 33．（2025春•拱墅区校级期中）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米． （1）用含x的代数式表示y； （2）如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？ （3）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据各边长度间的关系可得出BC＝（30﹣3x）米，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示y； （2）根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）不能围成面积为78平方米的花圃，根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣4＜0，可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃． 【解答】解：（1）∵AB＝x米， ∴BC＝（30﹣3x）米， ∴y＝x（30﹣3x）． ∵， ∴x＜10． ∴y＝x（30﹣3x）（x＜10）． （2）依题意得：x（30﹣3x）＝63， 整理得：x2﹣10x+21＝0， 解得：x1＝7，x2＝3（不符合题意，舍去）． 答：AB的长为7米． （3）不能围成面积为78平方米的花圃，理由如下： 依题意得：x（30﹣3x）＝78， 整理得：x2﹣10x+26＝0， ∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×26＝﹣4＜0， ∴该方程没有实数根， 即不能围成面积为78平方米的花圃． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示y；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 【考点8】动态几何问题（第34-37题） · 用运动时间t表示PB、BQ等线段长 · 面积题用×两直角边；勾股题用平方和 · 检验t是否在运动范围内（到达端点即停） · 多解时按题目要求取舍 34．（2024秋•永寿县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB以2cm/s的速度向点B运动，点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度向点C运动，如果P，Q分别从A，B同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为12cm2？ （2）是否存在某一时刻t，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据路程＝速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB﹣AP就可以求出PB的值．根据三角形的面积公式 建立方程就可以求出t的值． （2）当∠BPQ＝∠C时，△ABC∽△QBP；当∠BPQ＝∠A时，△ABC∽△PBQ，对应角不同相似三角形的对应边也不相同，所以本题要分两种情况讨论，据此求解即可． 【解答】解：（1）由题意BQ＝4tcm，PB＝（8﹣2t）cm． 12， 解得：t＝1或t＝3， ∴当t为1或3时，△PBQ的面积等于12cm2； （2）存在某一时刻t，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似；理由如下： 点P运动的时间为：8÷2＝4（s），点Q运动的时间为：12÷4＝3（s）， 当运动时间为ts时，BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∴BP＝（8﹣2t）cm， ∵△ABC中，∠B＝90°，以P，B，Q为顶点的三角形中∠B＝90°， ∴如果△ABC和以P，B，Q为顶点的三角形相似， 则有∠BPQ＝∠C或∠BPQ＝∠A， 当∠BPQ＝∠C时，△ABC∽△QBP， ∴， ∴， 解得：t＝1； 当∠BPQ＝∠A时，△ABC∽△PBQ， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻t，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似；此时t的值为1或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 35．（2024秋•端州区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．那么运动几秒后，△PBQ的面积为15cm2？ 【分析】设动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8﹣t）×2t＝15， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． 答：动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，熟练掌握三角形的面积计算公式是解题的关键． 36．（2023秋•浦北县校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P以2cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，动点Q以3cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，若P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． （1）AP＝　2tcm ，BP＝　（12﹣2t）cm ，BQ＝　3tcm ；（用含t的式子表示） （2）t为何值时，△PBQ的面积为24cm2； （3）t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，求出AP和BQ，然后再根据BP＝AB﹣AP求出BP即可； （2）根据直角三角形的面积＝两条直角边乘积的一半，列出关于t的一元二次方程，解方程求出t即可； （3）根据直角三角形的面积公式求出△PBQ的面积，从而得到△PBQ的面积与时间t的二次函数解析式，再把解析式化成顶点式 【解答】解：（1）由题意可知：AP＝2tcm，BQ＝3tcm， ∵AB＝12cm，BC＝24cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm， 故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，3tcm； （2）∵∠B＝90°， ∴△PBQ的面积， BP•BQ＝48， 3t（12﹣2t）＝48， ﹣6t2+36t﹣48＝0， t2﹣6t+8＝0， （t﹣2）（t﹣4）＝0， t﹣2＝0，t﹣4＝0， 解得：t＝2或4， ∴当t＝2或4时，△PBQ的面积为24cm2； （3）∵△PBQ的面积 ＝18t﹣3t2 ＝﹣3（t2﹣6t+9）+27 ＝﹣3（t﹣3）2+27， ∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积为27cm2． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值和一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，列出算式，能够把二次函数的一般式化成顶点式，求出最值． 37．（2023秋•淮安区期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问： （1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）几秒时点P点Q间的距离是10厘米？ （3）P，Q两点间距离何时最小？ 【分析】（1）表示出PB和CQ，利 用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过Q作QM⊥AB于M，如果设出发x秒后，QP＝10厘米．那么可根据路程＝速度×时间，用未知数表示出PM、PQ的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值； （3）在直角三角形PMQ中，PM为0时，PQ就最小，那么可根据这个条件和（1）中用勾股定理得出的PQ的式子，令PM＝0，得出此时时间的值． 【解答】解：（1）当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm， 依题意，得：， 解得：t＝5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）设出发x秒后P、Q两点间的距离是10厘米． 则AP＝3x，CQ＝2x． 作QM⊥AB于M， 则PM＝|16﹣2x﹣3x|＝|16﹣5x|， （16﹣5x）2+62＝102， 解得：或， ∴P、Q出发1.6或4.8秒时，P，Q间的距离是10厘米； （3）∵， ∴当16﹣5x＝0时，即时，PQ最小． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键要结合几何知识并根据题意列出方程，然后求解． 💯 课后巩固 复习建议 · 列方程解应用题五步：审、设、列、解、答，缺一不可 · 8类题型先识别模型：数字/传播/循环/增长率/销售/面积/动态几何 · 增长率注意n是增长次数；传播注意(1+x)n · 销售与面积问题两个解要结合实际取舍 · 动态几何一定用t表示线段，再检验运动时间范围 【作业 1】（2025秋•承德县期末）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（　　） A．若设门宽为x尺，则可列方程为（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2 B．若设门高为y尺，则可列方程为（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2 C．门宽6尺 D．门对角线长8尺 【分析】若设门宽为x尺，则竿长为（x+4）尺，门高为（x+4﹣2）尺，列方程为：（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2；若设门高为y尺，竿长为（y+2）尺，门宽为（y+2﹣4）尺，列方程为（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2，解方程即可． 【解答】解：设门宽为x尺，则竿长为（x+4）尺，门高为（x+4﹣2）尺， 依题意得：（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2， 解得：x＝6或x＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴门宽为6尺，竿长为：6+4＝10（尺），门高为：6+4﹣2＝8（尺）； 设门高为y尺，竿长为（y+2）尺，门宽为（y+2﹣4）尺， 依题意得：（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2， 故选项A、B、C均正确，不符合题意； 选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，根据已知条件列出方程是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•唐河县期中）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【解答】解：由题意得，底面长方形的长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， ∵要使长方体盒子的底面积为300cm2， ∴（50﹣2x）（30﹣2x）＝300， 故选：B． 【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键． 【作业 3】（2025•盐城一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 【分析】根据篱笆的总长及AB的长，可得出BC的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵篱笆的总长为18米，AB的长为x米， ∴BC的长为18+2﹣3x＝（20﹣3x）米． 根据题意得：x（20﹣3x）＝40． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•重庆校级期中）某服装公司今年10月的营业额为200万元，按计划第四季度的总营业额要达到900万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　） A．200（1+x）2＝900 B．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝900 C．200[1+x+（1+x）2]＝900 D．900（1+x）2＝200 【分析】由该服装公司今年10月的营业额及该公司11，12两个月营业额的月均增长率，可得出该服装公司今年11月的营业额为200（1+x）万元，12月的营业额为200（1+x）2万元，结合该服装公司第四季度的总营业额要达到900万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵该服装公司今年10月的营业额为200万元，该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x， ∴该服装公司今年11月的营业额为200（1+x）万元，12月的营业额为200（1+x）2万元． 根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝900， 即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝900． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 5】（2024秋•虎林市期末）“绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车年销售量为690万辆．预计2024年新能源汽车销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．690（1+x）2＝1166 B．1166（1﹣x）2＝690 C．690+690（1+x）2＝1166 D．1166（1﹣2x）＝690 【分析】利用预计2024年新能源汽车年销售量＝2022年新能源汽车年销售量×（1+这两年新能源汽车销售量年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：690（1+x）2＝1166． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 6】（2024秋•海伦市期末）有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 　729　 只鸡受到传染． 【分析】设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x（1+x）只鸡被传染，根据“有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入81+81x中即可求出结论． 【解答】解：设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x（1+x）只鸡被传染， 依题意得：1+x+x（1+x）＝81， 整理得：（1+x）2＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴81+81x＝81+81×8＝729， ∴经过3轮传染后共有729只鸡受到传染． 故答案为：729． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 7】（2025•市北区校级二模）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使风景画面积占整个挂图面积的85%，求金色纸边的宽．设金色纸边的宽为x分米，请根据题意列出方程：　85%（8+2x）（6+2x）＝48　 ． 【分析】由矩形风景画的长、宽及四周镶的金色纸边的宽，可得出整个挂图为（8+2x）分米，宽为（6+2x）分米的矩形，结合风景画面积占整个挂图面积的85%，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵矩形风景画的长为8分米，宽为6分米，且四周镶的金色纸边的宽为x分米， ∴整个挂图为（8+2x）分米，宽为（6+2x）分米的矩形． 根据题意得：85%（8+2x）（6+2x）＝48． 故答案为：85%（8+2x）（6+2x）＝48． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 8】（2025春•蜀山区期中）如图，一块长12m，宽8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，则道路的宽应为 　2　 m． 【分析】设道路的宽度为xm，则剩余部分可合成长为（12﹣x）m，宽为（8﹣x）m的长方形，根据栽种花草的面积为60m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：设道路的宽度为xm，则剩余部分可合成长为（12﹣x）m，宽为（8﹣x）m的长方形， 依题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝60， 整理得：x2﹣20x+36＝0， 解得：x1＝2，x2＝18（不合题意，舍去）， ∴道路的宽度为2m． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 9】（2024秋•潍坊期中）由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2022﹣2024这三年的总产量为95万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 　20+20（1+x）+20（1+x）2＝95　 ． 【分析】根据已知可知2023年的产量为20（1+x）万斤；在2023年的基础上，可得2024年的产量为20（1+x）2万斤，再根据2022﹣2024这三年的总产量为95万斤可列方程． 【解答】解：根据题意可得，20+20（1+x）+20（1+x）2＝95． 故答案为：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 10】（2024秋•端州区校级期中）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度．设道路的宽度为x（m），则可列方程 　（30﹣2x）（20﹣x）＝468　 ． 【分析】根据长方形田地的长、宽及所修道路的宽，可得出剩余田地可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的长方形，再结合剩余田地的面积为468m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵长方形田地的长为30m，宽为20m，且道路的宽度为xm， ∴剩余田地可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的长方形． 根据题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝468． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 11】（2026秋•同步）某水果批发商经销一种高档水果，卖出每千克水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000千克．经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价涨0.5元，每天销量将减少40千克．若水果批发商想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价格不太贵，则每千克水果应涨价多少元？ （1）解法1：设每千克水果应涨价x元，由题意得方程：　（5+x）（1000﹣80x）＝6000　 ； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，由题意得方程：x（1400﹣80x）＝6000　 ． （2）请你选择一种解法完成解答． 【分析】（1）解法1：设每千克水果应涨价x元，则每千克的销售利润为（5+x）元，每天可售出（1000﹣80x）千克，利用水果批发商每天销售这种水果的毛利润＝每千克的毛利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程；解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，则每天可售出（1400﹣80x）千克，利用水果批发商每天销售这种水果的毛利润＝每千克的毛利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程； （2）选择解法1，解之可得出x的值，结合要使顾客觉得价格不太贵，即可确定结论；选择解法2，解之可得出x的值，结合要使顾客觉得价格不太贵，可确定x的值，再将其代入（x﹣5）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）解法1：设每千克水果应涨价x元，则每千克的毛利润为（5+x）元，每天可售出1000﹣40（1000﹣80x）千克， 根据题意得：（5+x）（1000﹣80x）＝6000； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，则每天可售出1000﹣40（1400﹣80x）千克， 根据题意得：x（1400﹣80x）＝6000． 故答案为：（5+x）（1000﹣80x）＝6000，x（1400﹣80x）＝6000； （2）选择解法1：（5+x）（1000﹣80x）＝6000， 整理得：2x2﹣15x+25＝0， 解得：x1＝2.5，x2＝5， 又∵要使顾客觉得价格不太贵， ∴x＝2.5． 答：每千克水果应涨价2.5元； 选择解法2：x（1400﹣80x）＝6000， 整理得：2x2﹣35x+150＝0， 解得：x1＝7.5，x2＝10， 又∵要使顾客觉得价格不太贵， ∴x＝7.5， ∴x﹣5＝7.5﹣5＝2.5． 答：每千克水果应涨价2.5元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•奈曼旗期末）某商家展销如图所示的矩形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． （1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件．为了清库存，商家决定降价促销，要求销售单价不能低于成本．根据销售经验，如果将销售单价每降低1元，那么每天可多售出20件．当销售单价定为多少元时，才能使当日的销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设丝绸花边的宽度为xcm，根据长方形的面积公式可得关于x的方程，求解即可； （2）设销售单价降低y元，利润为W，求出W关于y的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，设丝绸花边的宽度为xcm（0＜x＜40）， 依题意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750， 解得：x1＝5，x2＝65（不合题意，舍去）， 答：丝绸花边的宽度为5cm； （2）设每件工艺品降低y（0＜y≤60）元出售，利润为W元， 依题意得：W＝（100﹣y﹣40）（200+20y）＝﹣20（y﹣25）2+24500． ∵﹣20＜0， ∴当y＝25时，W取得最大值24500，此时销售单价为：100﹣25＝75（元）． 答：当销售单价定为75元时，才能使当日的销售利润最大，最大利润是24500元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【作业 13】（2025秋•汝州市期中）某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站“模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【分析】设每个模型应降价x元，根据题意列出方程求出x的值，进而根据每个模型盈利不少于25元即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【解答】解：设每个模型应降价x元， 由于每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个， 所以每个模型降低x元，平均每天可以多售出2x个， 由题意得，（40﹣x）（20+2x）＝1200， 解得x1＝10，x2＝20， ∵每个模型盈利不少于25元， ∴40﹣x≥25，即x≤15， ∴x2＝20不符合题意，舍去， ∴x＝10， 答：每个模型应降价10元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出方程以及求出未知数x的范围． 【作业 14】（2025•三水区自主招生）企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利w（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意x的取值范围； （3）利用销售该玩偶每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 由题意可知：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150； （2）根据题意得：（﹣5x+150）（x﹣8）＝360， 解得：x1＝12，x2＝26（舍去）， 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元； （3）根据题意得：w＝y（x﹣8） ＝（﹣5x+150）（x﹣8） ＝﹣5x2+190x﹣1200 ＝﹣5（x﹣19）2+605， ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x＜19时，w随x的增大而增大， ∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件玩偶的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点评】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【作业 15】（2025秋•文山市期末）如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙MN，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． （1）若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）当AD为多少时，矩形花园ABCD的面积最大，最大值是多少？ 【分析】（1）设AB＝x，则：AD＝BC＝50﹣2x，所围成的矩形花园的面积为S，根据面积公式列出函数关系式，令S＝92，求出x的长即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【解答】解：（1）设AB＝x米，所围成的矩形花园的面积为S平方米， ∵矩形花园ABCD的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏， ∴AD＝BC＝（50﹣2x）米， 依题意得：S＝x（50﹣2x）＝﹣2x2+50x， ∵0＜AD≤MN， ∴0＜50﹣2x≤40， ∴5≤x＜25， 当S＝92时，得：﹣2x2+50x＝92， 解得：x1＝23，x2＝2（不合题意，舍去）， ∴AD＝50﹣2×23＝4（米）； 答：所利用旧墙AD的长为4米； （2）由（1）可知：S＝﹣2x2+50x（5≤x＜25）， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当x＝12.5时，S的值最大为：﹣2×12.52+50×12.5＝312.5， 答：矩形花园ABCD面积的最大值为312.5平方米． 【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的列出二次函数关系式是解题的关键． 【作业 16】（2025秋•榆阳区校级月考）某化工厂为了防止进厂人员携带易燃易爆危险品，准备在工厂外搭建一个检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为AE）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在BC边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽均为1米． （1）若设AB＝x米，则用含x的代数式表示BF为 　（36﹣3x）　 米； （2）所围成矩形ABFE的面积能否达到96平方米？如果能，求出AB的长；如果不能，说明理由； （3）检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，现有的33米隔离带，能否围出120平方米的面积？并说明理由． 【分析】（1）根据隔离带总长为33米，通道宽均为1米，结合图形列式即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，解方程即可； （3）根据矩形的面积公式列出方程，利用根的判别式，即可求解． 【解答】解：（1）设AB＝x米， 根据题意得：BF﹣1+（3AB﹣2）＝33， ∴BF＝33+3﹣3AB＝36﹣3x， 故答案为：（36﹣3x）； （2）能围出120平方米的面积；理由如下： 根据题意得：x（36﹣3x）＝96， 整理得：x2﹣12x+32＝0， 解得：x1＝4，x2＝8， 答：AB的长为4米或8米； （3）不可能围出120平方米的面积；理由如下： 根据题意得：x（36﹣3x）＝120， 整理得：x2﹣12x+40＝0， Δ＝b2﹣4ac＝144﹣160＝﹣16＜0， ∴方程x2﹣12x+40＝0没有实数根， ∴不可能围出120平方米的面积． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解答二题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． 【作业 17】（2023秋•楚雄州期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一，分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可； （2）根据勾股定理列出方程求解即可； 【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一，根据题意得： 2t（6﹣t）6×8， 解得：t＝2或4． 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一． （2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得： （6﹣x）2+（2x）2＝36， 解得：x＝0（舍去）或x． 答：秒时，P、Q相距6厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段PB和QB的长是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一元二次方程应用 优等生讲义 (8类必考题型) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程 · 掌握数字、传播、循环、增长率、销售、面积、动态几何等8类典型题型 · 会检验方程的解是否符合实际意义（舍根） · 培养数学建模思想，将生活问题抽象为方程问题 · 提升列方程解应用题的分析与表达能力 📚 知识梳理 ☆ 1.列一元二次方程解应用题步骤 审：审题，明确已知量、未知量和等量关系 设：设未知数（直接设或间接设），写清单位 列：根据等量关系列出一元二次方程 解：解方程，求根并检验是否符合实际意义 答：写出完整答案，含单位 概念辨析例题：数字问题：两个连续偶数的积为168，求这两个数 解析：设较小偶数为x，较大偶数为x+2，列方程x(x+2)=168，解得x=12或-14，结合实际取正 ☆ 2.增长率与传播问题 增长率：a(1+x)n=b，a为原量、b为增长后量、n为期数 连续两次增长：a(1+x)2=b；连续两次下降：a(1-x)2=b 传播问题：每轮1人传染m人，n轮后共(1+m)n人 单循环比赛：=总场数；双循环比赛：n(n-1)=总场数 概念辨析例题：一只鸡患传染病，两轮后共81只鸡患病，求每轮每只鸡传染几只鸡 解析：设每轮传染x只，(1+x)2=81，解得x=8（负值舍） ☆ 3.销售利润与面积问题 利润=每件利润×销售量，单件利润=售价-进价 涨价/降价问题：每涨m元少卖n件，列总利润方程 图形面积：矩形/边框/道路问题用(长-2x)(宽-2x)=目标面积 边框/镶边问题：注意内外图形对应边长都要加/减两边宽 概念辨析例题：每千克盈利5元时卖1000kg，每涨0.5元少卖40kg，要日利润6000元，应涨多少元？ 解析：设涨0.5x元，(5+0.5x)(1000-40x)=6000，解出x后注意取值 ☆ 4.动态几何与围栏问题 动点问题：用时间t表示线段长度，再列面积/勾股方程 围栏/靠墙问题：注意一面靠墙，三边总长=周长-靠墙边 通道/进出口问题：通道宽要在对应边长中减去 解出后必须检验速度、时间、线段长是否符合运动范围 概念辨析例题：Rt△ABC中∠B=90°，AB=6cm、BC=8cm，P从A以1cm/s向B，Q从B以2cm/s向C，几秒后△PBQ面积为8cm2？ 解析：t秒后PB=6-t，BQ=2t，(6-t)·2t=8，解t并检验 📋 知识总结表 题型 基本等量关系 易错点 数字问题 设十位/个位为x，列和差积商 两位数=10a+b 传播问题 (1+x)n=最终数 每轮新增=原数×x 单循环 =场数 两队只赛一次 双循环 n(n-1)=场数 主客场各赛一次 增长率 a(1+x)n=b n为增长次数 销售利润 (单件利润)×(销量)=总利润 注意取值取舍 图形面积 (长-2x)(宽-2x)=面积 边框两边都加/减 动态几何 用t表示线段再列方程 检验运动时间范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字问题（第1-5题） · 两位数=十位数字×10+个位数字 · 连续整数差1、连续偶数/奇数差2 · 数位对调问题：原数与新数作差/和列方程 · 解出后检验数字是否在0-9范围内 1．（2024秋•惠阳区校级期中）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．12 B．13 C．12或13 D．15 2．（2023秋•细河区期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 3．（2024春•开化县期中）从﹣1，5，10三个数中任意选取两个数作为方程x2+bx+c＝0的根，可得到三个方程：x2+b1x+c1＝0，x2+b2x+c2＝0，x2+b3x+c3＝0．分别计算b1+c1，b2+c2，b3+c3的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 4．（2023秋•陇县期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 5．（2024•苏州模拟）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【考点2】传播问题（第6-9题） · 每轮传染后总人数=(1+每轮传染数)轮数 · 注意「经过n轮」与「第n轮新增」的区别 · 列出方程后先开方再求x，负值舍去 · 类似模型：裂变、细胞分裂、信息传播 6．（2025秋•沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有________ 个人患流感． 7．（2024秋•大兴区期中）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 ______________ ． 8．（2024秋•新会区校级月考）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 9．（2023•临潼区三模）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？ 【考点3】单循环问题（第10-13题） · 单循环总场次= · 握手、比赛、通话等两两相遇问题 · n为参赛人数/队数，解出后取正整数 · 区分单循环（只赛一次）与双循环（主客场） 10．（2024春•南岗区校级期中）剑桥三中组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 _____ ． 11．（2024秋•南岸区校级月考）重庆市近期开展了一次绿色有机农产品交易会，参会的每两家企业都签订了一份合同，会后经统计，共签订了1275份合同，则共有 _______ 个商家参加了交易会． 12．（2024秋•道县期中）2024年“奔跑吧•少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛66场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 13．（2023秋•乾安县期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 【考点4】双循环问题（第14-17题） · 双循环总场次=n(n-1) · 主客场赛制、互寄贺卡、互送礼物 · 列方程n(n-1)=总次数，解一元二次方程 · 解出后检验n为不小于2的正整数 14．（2024秋•津南区期中）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？可列方程为 ______________ ． 15．某年全国足球甲A联赛采用主客场循环赛，已知该年全国足球甲A联赛一共踢了132场比赛，则该年全国共有 _______ 支甲A足球队参加了比赛． 16．某市要组织一次排球邀请赛，赛制为双循环模式（即每两个球队之间比赛两次），赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，比赛组织者应邀请多少个球队参赛？ 17．在一次会议上，参加会议的人之间互送名片，一共送出了210张名片，求参加这次会议的人数． 【考点5】增长率问题（第18-22题） · a(1+x)n=b，n为增长次数（不是年数-1） · 下降率用a(1-x)n=b · 三年总产量=a+a(1+x)+a(1+x)2 · 解出x后检验是否为合理百分数 18．（2025秋•沁水县期末）天气越来越冷，家用暖风机的市场需求量逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（　　） A．256% B．260% C．160% D．60% 19．（2025秋•武汉校级月考）某超市7月销售某商品500件，8月和9月共销售该商品1320件，如果每月的增长率x相同，那么可列方程为（　　） A．500（1+x）2＝1320 B．500（1+x）+500（1+x）2＝1320 C．500+500（1+x）2＝1320 D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1320 20．（2024秋•鼓楼区期中）某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次．设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为 __________________ ． 21．（2026秋•同步）随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达21.6万辆．若该市这两年汽车保有量增长率相同．求这个增长率． 22．（2025秋•龙港区期中）“动动手指，商品到家”，网购不仅仅是一种现代消费方式，更是成为一种当下的指尖潮流．某网络购物平台的交易额逐年增长，2022年交易额为1.1亿元，2024年交易额为1.584亿元． （1）2022年至2024年交易额的年平均增长率是多少？ （2）若保持原来的增长率不变，求2025年该平台的交易额约为多少亿元？（结果保留小数点后两位） 【考点6】商品销售问题（第23-28题） · 总利润=每件利润×销售量 · 涨价：售价越高、销量越低；降价反之 · 注意题目对利润/价格的限制条件（如每件盈利不少于25元） · 两个解都要结合实际取舍 23．（2026春•鲤城区校级月考）某种新产品进价120元．试销阶段发现产品日销售量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系满足如下表所示的一次函数关系： 每件售价（元） 130 150 165 … 日销售量y（件） 70 50 35 … （1）求日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）不改变上述关系的情况下，请帮助经理策划每件的销售价应定为多少元时，每日销售的利润可达到1500元？ 24．（2025秋•南充期末）某科技公司研发出了一款电子产品，成本为30元/件．试营销阶段发现：当售价为35元/件时，每天的销量为250件；当每件售价每上涨1元时，每天的销量就减少10件．设每件售价为x元（x为正整数）． （1）当每天的利润为2000元时，为了拓展市场，每件产品的售价应定为多少元？ （2）若要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元．当每件售价定为多少时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 25．（2025秋•左权县期末）山西运城被誉为“北方水果之乡”，近年来通过品种改良与科学种植，苹果产业快速发展．2023年某果园种植“万荣”苹果平均亩产量约为2000kg，为了提高“万荣”苹果产量，该果园大力推广“大苗建园，宽行密植”种植模式及智能化管理技术，到2025年平均亩产量达到3380kg． （1）若该果园2023年到2025年种植“万荣”苹果平均亩产量的年增长率相同，求该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率； （2）2025年该果园苹果大丰收，老板在销售苹果时发现若以每箱75元出售时，每天可卖400箱．若每箱涨价0.5元时，日销售量就减少5箱．已知每箱苹果的成本为45元．求每箱苹果涨价多少元时，日销售总利润最大？最大利润是多少元？ 26．（2025秋•麦积区期末）2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（x＞40）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 27．（2025•贵州模拟）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． （1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ （2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 28．（2025秋•高安市月考）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ （3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 【考点7】图形面积问题（第29-33题） · 边框/镶边：内外矩形边长差=2×宽 · 道路问题：平移道路后用(长-路宽)(宽-路宽)=绿化面积 · 无盖盒子：剪去x后底面长/宽都减2x · 列方程后取舍使边长为正 29．（2025秋•榕城区期末）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 30．如图，有一块长为80m，宽为72m的矩形耕地，为方便灌溉，现需在耕地上挖两条宽度相等的水渠，要求挖完水渠后剩余耕地的总面积为5460m2，求水渠的宽度． 31．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求x； （2）当围成的苗圃园面积最大时，求平行于墙的边长； （3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围． 32．（2024秋•红花岗区期末）如图，小明用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．请你帮助小明解决下列问题： （1）求S与x之间的函数关系式； （2）x的取值范围是___________ ； （3）该矩形菜园的面积为100m2时，AB的长． 33．（2025春•拱墅区校级期中）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米． （1）用含x的代数式表示y； （2）如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？ （3）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由． 【考点8】动态几何问题（第34-37题） · 用运动时间t表示PB、BQ等线段长 · 面积题用×两直角边；勾股题用平方和 · 检验t是否在运动范围内（到达端点即停） · 多解时按题目要求取舍 34．（2024秋•永寿县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB以2cm/s的速度向点B运动，点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度向点C运动，如果P，Q分别从A，B同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为12cm2？ （2）是否存在某一时刻t，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 35．（2024秋•端州区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．那么运动几秒后，△PBQ的面积为15cm2？ 36．（2023秋•浦北县校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P以2cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，动点Q以3cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，若P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． （1）AP＝__________ ，BP＝______________ ，BQ＝__________ ；（用含t的式子表示） （2）t为何值时，△PBQ的面积为24cm2； （3）t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 37．（2023秋•淮安区期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问： （1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）几秒时点P点Q间的距离是10厘米？ （3）P，Q两点间距离何时最小？ 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•承德县期末）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（　　） A．若设门宽为x尺，则可列方程为（x+4）2＝x2+（x+4﹣2）2 B．若设门高为y尺，则可列方程为（y+2）2＝y2+（y+2﹣4）2 C．门宽6尺 D．门对角线长8尺 【作业 2】（2025秋•唐河县期中）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 【作业 3】（2025•盐城一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 【作业 4】（2025秋•重庆校级期中）某服装公司今年10月的营业额为200万元，按计划第四季度的总营业额要达到900万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　） A．200（1+x）2＝900 B．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝900 C．200[1+x+（1+x）2]＝900 D．900（1+x）2＝200 【作业 5】（2024秋•虎林市期末）“绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车年销售量为690万辆．预计2024年新能源汽车销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．690（1+x）2＝1166 B．1166（1﹣x）2＝690 C．690+690（1+x）2＝1166 D．1166（1﹣2x）＝690 【作业 6】（2024秋•海伦市期末）有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 ________ 只鸡受到传染． 【作业 7】（2025•市北区校级二模）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使风景画面积占整个挂图面积的85%，求金色纸边的宽．设金色纸边的宽为x分米，请根据题意列出方程：____________________ ． 【作业 8】（2025春•蜀山区期中）如图，一块长12m，宽8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，则道路的宽应为 _____ m． 【作业 9】（2024秋•潍坊期中）由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2022﹣2024这三年的总产量为95万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 ____________________ ． 【作业 10】（2024秋•端州区校级期中）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度．设道路的宽度为x（m），则可列方程 ____________________ ． 【作业 11】（2026秋•同步）某水果批发商经销一种高档水果，卖出每千克水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000千克．经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价涨0.5元，每天销量将减少40千克．若水果批发商想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价格不太贵，则每千克水果应涨价多少元？ （1）解法1：设每千克水果应涨价x元，由题意得方程：____________________ ； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，由题意得方程：____________________ ． （2）请你选择一种解法完成解答． 【作业 12】（2025秋•奈曼旗期末）某商家展销如图所示的矩形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． （1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件．为了清库存，商家决定降价促销，要求销售单价不能低于成本．根据销售经验，如果将销售单价每降低1元，那么每天可多售出20件．当销售单价定为多少元时，才能使当日的销售利润最大？最大利润是多少？ 【作业 13】（2025秋•汝州市期中）某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站“模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【作业 14】（2025•三水区自主招生）企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利w（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【作业 15】（2025秋•文山市期末）如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙MN，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． （1）若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）当AD为多少时，矩形花园ABCD的面积最大，最大值是多少？ 【作业 16】（2025秋•榆阳区校级月考）某化工厂为了防止进厂人员携带易燃易爆危险品，准备在工厂外搭建一个检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为AE）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在BC边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽均为1米． （1）若设AB＝x米，则用含x的代数式表示BF为 ____________ 米； （2）所围成矩形ABFE的面积能否达到96平方米？如果能，求出AB的长；如果不能，说明理由； （3）检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，现有的33米隔离带，能否围出120平方米的面积？并说明理由． 【作业 17】（2023秋•楚雄州期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 复习建议 · 列方程解应用题五步：审、设、列、解、答，缺一不可 · 8类题型先识别模型：数字/传播/循环/增长率/销售/面积/动态几何 · 增长率注意n是增长次数；传播注意(1+x)n · 销售与面积问题两个解要结合实际取舍 · 动态几何一定用t表示线段，再检验运动时间范围 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $